Blochovy rovnice

Ve fyzice a chemii, zejména v nukleární magnetické rezonanci (NMR) , v zobrazování magnetickou rezonancí (MRI) a v elektronové paramagnetické rezonanci (EPR) , jsou Blochovy rovnice souborem makroskopických rovnic používaných k výpočtu l ' nukleární magnetizace M = ( M x , M y , M z ) v závislosti na čase, kdy relaxační časy T 1 a T 2 jsou přítomny. Blochovy rovnice se někdy nazývají pohybové rovnice nukleární magnetizace. Tyto rovnice představil Félix Bloch v roce 1946 a jsou analogické s Maxwellovými-Blochovými rovnicemi, které popisují účinek elektromagnetického pole na dvouúrovňový systém a relaxace, které zde lze pozorovat.

Tyto rovnice nejsou mikroskopické : nepopisují pohybovou rovnici jednotlivých magnetických momentů . Ty jsou řízeny a popsány zákony kvantové mechaniky . Blochovy rovnice jsou makroskopické : popisují pohybové rovnice makroskopické nukleární magnetizace, které lze získat sečtením všech nukleárních magnetických momentů vzorku.

Blokujte rovnice v pevném referenčním rámci

Nechť M (t) = (M x (t), M y (t), M z (t)) , nukleární magnetizace. Blochovy rovnice se poté zapíší:

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {x} (t)} {dt}} = \ gamma (\ mathbf {M} (t) \ times \ mathbf {B} (t)) _ {x} - {\ frac {M_ {x} (t)} {T_ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {y} (t)} {dt}} = \ gamma (\ mathbf {M} (t) \ times \ mathbf {B} (t)) _ {y} - {\ frac {M_ {y} (t)} {T_ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = \ gamma (\ mathbf {M} (t) \ times \ mathbf {B} (t)) _ {z} - {\ frac {M_ {z} (t) -M_ {0}} {T_ {1}}}}

kde γ je gyromagnetický poměr a B (t) = (B x (t), B y (t), B 0 + ΔB z (t)) je magnetické pole působící na atomová jádra. Složka z magnetického pole B se skládá ze dvou členů:

první, B 0 , což odpovídá konstantní oblasti v průběhu času;
druhá, ΔB z (t) , může být časově závislá. Je přítomen v zobrazování magnetickou rezonancí a pomáhá při prostorovém dekódování signálu NMR.

M (t) × B (t) je křížovým produktem těchto dvou vektorů. M 0 je rovnovážný stav nukleární magnetizace, je orientován ve směru z.

Fyzický obsah

Když T 1 a T 2 mají sklon k nekonečnu, to znamená, že nedochází k relaxaci, redukují se rovnice na:

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {x} (t)} {dt}} = \ gamma (\ mathbf {M} (t) \ times \ mathbf {B} (t)) _ {x}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {y} (t)} {dt}} = \ gamma (\ mathbf {M} (t) \ times \ mathbf {B} (t)) _ {y}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = \ gamma (\ mathbf {M} (t) \ times \ mathbf {B} (t)) _ {z}}

nebo ve vektorovém zápisu:

{\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {M} (t)} {dt}} = \ gamma \ mathbf {M} (t) \ krát \ mathbf {B} (t)}

To je rovnice Larmor precese jaderné magnetizace M do vnějšího magnetického pole B .

Blochovy rovnice jsou potom Larmorovy rovnice, ke kterým jsme přidali následující relaxační výrazy:

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {M_ {x}} {T_ {2}}}, - {\ frac {M_ {y}} {T_ {2}}}, - {\ frac {M_ {z } -M_ {0}} {T_ {1}}} \ vpravo)}

Příčný relaxace je popsán charakteristický čas T 2 a podobně podélné relaxace v době, kdy T 1 .

Tyto termíny překládají interakce s vnějším prostředím, podélná relaxace ( T 1 ) nebo spin-mřížková relaxace je výsledkem výměn mezi točením a okolním prostředím za účelem přenosu přebytečné energie poskytované magnetickým polem, a tedy návratu k termodynamické rovnováze. Příčná relaxace ( T 2 ) nebo dokonce spin-spin relaxace odpovídá postupnému fázovému posunu všech rotací materiálu pocházejících z lokálních nehomogenit magnetického pole. Tyto nehomogenity znamenají mírné rozdíly ve Larmorově frekvenci. Při absenci relaxace jsou momenty v koherentní precesi kolem magnetického pole a dochází k příčné magnetizaci. Jelikož je magnetizace součtem všech magnetických momentů, vede jejich progresivní dekoherence k průměrné hodnotě příčné složky, která má tendenci se rušit.

Alternativní formy Blochových rovnic

Vývoj křížového produktu v Blochových rovnicích vede k:

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {x} (t)} {dt}} = \ gamma \ vlevo (M_ {y} (t) B_ {z} (t) -M_ {z} (t) B_ {y } (t) \ right) - {\ frac {M_ {x} (t)} {T_ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {y} (t)} {dt}} = \ gamma \ vlevo (M_ {z} (t) B_ {x} (t) -M_ {x} (t) B_ {z } (t) \ right) - {\ frac {M_ {y} (t)} {T_ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = \ gamma \ vlevo (M_ {x} (t) B_ {y} (t) -M_ {y} (t) B_ {x } (t) \ right) - {\ frac {M_ {z} (t) -M_ {0}} {T_ {1}}}}

Později uvidíme, že tento vzorec je zjednodušený pózováním:

{\ displaystyle M_ {xy} = M_ {x} + iM_ {y}}

{\ displaystyle B_ {xy} = B_ {x} + iB_ {y}}

kde i je imaginární jednotka.

Získáváme:

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {xy} (t)} {dt}} = - i \ gamma \ vlevo (M_ {xy} (t) B_ {z} (t) -M_ {z} (t) B_ {xy} (t) \ right) - {\ frac {M_ {xy} (t)} {T_ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = i {\ frac {\ gamma} {2}} \ vlevo (M_ {xy} (t) {\ overline {B_ {xy} (t)}} - {\ overline {M_ {xy} (t)}} B_ {xy} (t) \ right) - {\ frac {M_ {z} (t) -M_ {0}} {T_ { 1}}}}

Jako :

{\ displaystyle {\ overline {M_ {xy}}} = M_ {x} -iM_ {y}}

{\ displaystyle {\ overline {B_ {xy}}} = B_ {x} -iB_ {y}}

Tato množství jsou konjugovaná komplexní čísla M xy a B xy . Skutečná a imaginární část M xy odpovídá M x a M y . M xy se někdy nazývá příčná nukleární magnetizace .

Maticová forma Blochových rovnic

Blochovy rovnice lze přepracovat pomocí ekvivalentní definice křížového produktu, která se zapíše do maticového zápisu:

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ vlevo ({\ begin {pole} {c} M_ {x} \\ M_ {y} \\ M_ {z} \ end {pole}} \ vpravo) = \ left ({\ begin {array} {ccc} - {\ frac {1} {T_ {2}}} & \ gamma B_ {z} & - \ gamma B_ {y} \\ - \ gamma B_ {z } & - {\ frac {1} {T_ {2}}} & \ gamma B_ {x} \\\ gamma B_ {y} & - \ gamma B_ {x} & - {\ frac {1} {T_ { 1}}} \ end {array}} \ right) \ left ({\ begin {array} {c} M_ {x} \\ M_ {y} \\ M_ {z} \ end {array}} \ right) + \ left ({\ begin {array} {c} 0 \\ 0 \\ {\ frac {M_ {0}} {T_ {1}}} \ end {array}} \ right)}

Blokujte rovnice v rotujícím referenčním rámci

U otočného rámu, je snazší pochopit chování jaderné magnetizace M .

Řešení Blochových rovnic s T 1 , T 2 → ∞

Předpokládejme, že:

v čase t = 0, příčná jaderné magnetizace M xy (0) prochází konstantního magnetického pole B ( t ) = (0, 0, B 0 );
B 0 je kladné;
není podélná nebo příčná relaxace od T 1 a T 2, mají tendenci k nekonečnu.

Blochovy rovnice se pak stanou:

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {xy} (t)} {dt}} = - i \ gamma M_ {xy} (t) B_ {0}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = 0}

Jedná se o dvě nespojené lineární diferenciální rovnice. Jejich řešení jsou:

{\ displaystyle M_ {xy} (t) = M_ {xy} (0) e ^ {- i \ gamma B_ {0} t}}

{\ displaystyle M_ {z} (t) = M_ {0} = {\ text {const}} \,}

Tudíž příčná magnetizace, M xy rotuje kolem osy z s úhlovou frekvencí ω 0 = γ B 0 ve směru hodinových ručiček (to je důvod záporného znaménka v exponentu). Podélná magnetizace M z zůstává v průběhu času konstantní. To je také důvod, proč se příčná magnetizace zdá pozorovateli v pozemském referenčním rámci (viděném stacionárním pozorovatelem ).

M xy ( t ) lze rozložit na pozorovatelné veličiny M x ( t ) a M y (t) :

{\ displaystyle M_ {xy} (t) = M_ {xy} (0) e ^ {- i \ gamma B_ {z0} t} = M_ {xy} (0) \ left [\ cos (\ omega _ {0 } t) -i \ sin (\ omega _ {0} t) \ vpravo]}

My máme :

{\ displaystyle M_ {x} (t) = {\ text {Re}} \ vlevo (M_ {xy} (t) \ vpravo) = M_ {xy} (0) \ cos (\ omega _ {0} t) }

{\ displaystyle M_ {y} (t) = {\ text {Im}} \ vlevo (M_ {xy} (t) \ vpravo) = - M_ {xy} (0) \ sin (\ omega _ {0} t )}

kde Re ( z ) a Im ( z ) jsou funkce, které dávají příslušnou skutečnou a imaginární část komplexního čísla z. V tomto výpočtu se předpokládalo, že M xy (0) je reálné číslo.

Transformace do rotujícího referenčního rámce

Toto je závěr předchozí části: v konstantním magnetickém poli B 0 podél osy z se příčná magnetizace M xy otáčí kolem této osy ve směru hodinových ručiček s úhlovou frekvencí ω 0 . Pokud by se pozorovatel otáčel kolem stejné osy ve stejném směru as úhlovou frekvencí Ω, zdálo by se mu M xy rotující s úhlovou frekvencí ω 0 - Ω. Přesněji řečeno, pokud by se pozorovatel otáčel kolem stejné osy ve směru hodinových ručiček s úhlovou frekvencí ω 0 , příčná magnetizace M xy by se mu jevila jako stacionární.

To lze vyjádřit matematicky takto:

(x, y, z) je pozemský kartézský souřadný systém nastavený jako referenční rámec;
(x ′, y ′, z ′) = (x ′, y ′, z) je kartézský souřadný systém, který se otáčí kolem osy z pozemského referenčního rámce s úhlovou frekvencí Ω. Říká se tomu otočný referenční rámec . Fyzické proměnné v tomto úložišti jsou označeny apostrofem.

Jasně:

{\ displaystyle M_ {z} '(t) = M_ {z} (t) \,}

Pro M xy ′ ( t ) je transformace zapsána:

{\ displaystyle M_ {xy} '(t) = M_ {xy} (t) e ^ {+ i \ Omega t} \,}

Rovnice pohybu magnetizace v rotujícím referenčním rámci

Pohybová rovnice M xy ′ ( t ) v poli B (t) = (B x (t), B y (t), B 0 + ΔB z (t)) je:

{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {dM '_ {xy} (t)} {dt}} & = i (\ Omega - \ omega _ {0}) M_ {xy}' (t) - i \ gamma \ Delta B_ {z} (t) M_ {xy} '(t) + i \ gamma B_ {xy}' (t) M_ {z} (t) - {\ frac {M_ {xy} '( t)} {T_ {2}}} \\\ end {zarovnáno}}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = i {\ frac {\ gamma} {2}} \ left (M '_ {xy} (t) {\ overline {B' _ {xy} (t)}} - {\ overline {M '_ {xy} (t)}} B' _ {xy} (t) \ right) - {\ frac {M_ {z} (t) - M_ {0}} {T_ {1}}}}

Demonstrace

Evoluční rovnici získáme jednoduše odvozením veličiny M ' xy vzhledem k času :

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {xy} '(t)} {dt}} = {\ frac {d \ left (M_ {xy} (t) e ^ {+ i \ Omega t} \ right)} { dt}} = {\ frac {dM_ {xy} (t)} {dt}} e ^ {+ i \ Omega t} + i \ Omega M_ {xy} (t) e ^ {+ i \ Omega t} = {\ frac {dM_ {xy} (t)} {dt}} e ^ {+ i \ Omega t} + i \ Omega M_ {xy} '(t)}

Vložením Blochovy rovnice:

{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {dM_ {xy} '(t)} {dt}} & = \ left [-i \ gamma \ left (M_ {xy} (t) B_ {z} ( t) -M_ {z} (t) B_ {xy} (t) \ right) - {\ frac {M_ {xy} (t)} {T_ {2}}} \ right] e ^ {+ i \ Omega t} + i \ Omega M_ {xy} '(t) \\ & = \ left [-i \ gamma \ left (M_ {xy} (t) e ^ {+ i \ Omega t} B_ {z} (t ) -M_ {z} (t) B_ {xy} (t) e ^ {+ i \ Omega t} \ vpravo) - {\ frac {M_ {xy} (t) e ^ {+ i \ Omega t}} {T_ {2}}} \ vpravo] + i \ Omega M_ {xy} '(t) \\ & = - i \ gamma \ left (M_ {xy}' (t) B_ {z} '(t) - M_ {z} '(t) B_ {xy}' (t) \ right) + i \ Omega M_ {xy} '(t) - {\ frac {M_ {xy}' (t)} {T_ {2} }} \\\ end {zarovnáno}}}

Hypotéza předchozí části byla, že: B z ′ ( t ) = B z ( t ) = B 0 + Δ B z ( t ). Můžeme tedy pokračovat psaním:

{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {dM_ {xy} '(t)} {dt}} & = - i \ gamma \ left (M_ {xy}' (t) (B_ {0} + \ Delta B_ {z} (t)) - M_ {z} (t) B_ {xy} '(t) \ right) + i \ Omega M_ {xy}' (t) - {\ frac {M_ {xy} ' (t)} {T_ {2}}} \\ & = - i \ gamma B_ {0} M_ {xy} '(t) -i \ gamma \ Delta B_ {z} (t) M_ {xy}' ( t) + i \ gamma B_ {xy} '(t) M_ {z} (t) + i \ Omega M_ {xy}' (t) - {\ frac {M_ {xy} '(t)} {T_ { 2}}} \\ & = i (\ Omega - \ omega _ {0}) M_ {xy} '(t) -i \ gamma \ Delta B_ {z} (t) M_ {xy}' (t) + i \ gamma B_ {xy} '(t) M_ {z} (t) - {\ frac {M_ {xy}' (t)} {T_ {2}}} \\\ end {zarovnáno}}}

Totéž platí pro rovnici M z .

Vysvětlení pojmů vpravo od této rovnice:

i (Ω - ω 0 ) M xy ′ ( t ) sleduje Larmorův člen v rotujícím referenčním rámci s úhlovou frekvencí Ω. Zruší se zejména, když Ω = ω 0 ;
pojem -i γ Δ B z ( t ) M xy ′ ( t ) popisuje účinek nehomogenity magnetického pole na příčnou nukleární magnetizaci. Je to také termín, který odpovídá použití NMR během MRI: je vytvářen gradientními cívkami magnetického pole;
i γ Δ B xy ′ ( t ) M z ( t ) popisuje účinek radiofrekvenčního pole na nukleární magnetizaci (konkrétněji faktor Δ B xy ′ ( t ));
- M xy ′ ( t ) / T 2 popisuje ztrátu koherence příčné magnetizace.

Rovnice nezávislé na čase v rotujícím referenčním rámci

Pokud má externí pole tvar:

{\ displaystyle B_ {x} (t) = B_ {1} \ cos \ omega t}

{\ displaystyle B_ {y} (t) = - B_ {1} \ sin \ omega t}

{\ displaystyle B_ {z} (t) = B_ {0}}

Poté můžeme definovat:

{\ displaystyle \ epsilon = \ gamma B_ {1}}

a ,

{\ displaystyle \ Delta = \ omega - \ omega _ {0}}

Rovnice se poté zapíší jednoduše maticovým zápisem:

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ vlevo ({\ begin {pole} {c} M '_ {x} \\ M' _ {y} \\ M '_ {z} \ end { array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {ccc} - {\ frac {1} {T_ {2}}} & \ Delta & 0 \\ - \ Delta & - {\ frac {1 } {T_ {2}}} & \ epsilon \\ 0 & - \ epsilon & - {\ frac {1} {T_ {1}}} \ end {array}} \ right) \ left ({\ begin {array } {c} M '_ {x} \\ M' _ {y} \\ M '_ {z} \ end {pole}} \ doprava) + \ doleva ({\ začátek {pole} {c} 0 \ \ 0 \\ {\ frac {M_ {0}} {T_ {1}}} \ end {pole}} \ vpravo)}

Demonstrace

{\ displaystyle {\ begin {aligned} B_ {xy} '(t) & = B_ {1} (\ cos \ omega ti \ sin \ omega t) e ^ {i \ Omega t} = B_ {1} e ^ {i (\ Omega - \ omega) t} \\ {\ frac {dM '_ {z}} {dt}} & = i {\ frac {\ gamma} {2}} B_ {1} (M_ {xy } 'e ^ {i (\ omega - \ Omega) t} - {\ overline {M_ {xy}'}} e ^ {- i (\ omega - \ Omega) t}) - {\ frac {M_ {z } -M_ {0}} {T_ {1}}} \\ & = - \ gamma B_ {1} M '_ {y} e ^ {- i (\ omega - \ Omega) t} - {\ frac { M_ {z} -M_ {0}} {T_ {1}}} \\ {\ frac {dM '_ {xy}} {dt}} & = i (\ Omega - \ omega _ {0}) M' _ {xy} + i \ gamma B_ {1} e ^ {- i (\ omega - \ Omega) t} M_ {z} - {\ frac {M '_ {xy}} {T_ {2}}} \ \\ end {zarovnáno}}}

Protože a můžeme rozdělit pohybovou rovnici M ' xy na dvě rovnice, jednu pro skutečnou část a druhou pro imaginární část, kterou identifikujeme na obou stranách rovnosti. To dává: ${\ displaystyle M '_ {x} = {\ text {Re}} (M' _ {xy})}$ ${\ displaystyle M '_ {y} = {\ text {Im}} (M' _ {xy})}$

{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {dM '_ {x}} {dt}} & = (\ Omega - \ omega _ {0}) M' _ {y} + \ gamma B_ {1} \ sin ((\ omega - \ Omega) t) M_ {z} - {\ frac {M '_ {x}} {T_ {2}}} \\ {\ frac {dM' _ {y}} {dt }} & = - (\ Omega - \ omega _ {0}) M '_ {x} + \ gamma B_ {1} \ cos ((\ omega - \ Omega) t) M_ {z} - {\ frac { M '_ {y}} {T_ {2}}} \\\ konec {zarovnáno}}}

S podmínkou zjistíme, že formulace byla oznámena tak, že již neexistuje žádná výslovná závislost s ohledem na čas. ${\ displaystyle \ Omega = \ omega}$

Jednoduchá řešení Blochových rovnic

Uvolnění příčné nukleární magnetizace M xy

Za předpokladu, že:

jaderná magnetizace je vystavena stálému vnějšímu magnetickému poli ve směru z: B z ′ (t) = B z (t) = B 0 . Tedy ω 0 = γB 0 a ΔB z (t) = 0 ' ;
neexistuje žádné radiofrekvenční pole, takže máme B xy ' = 0;
rotace rotujícího referenčního rámce je na úhlové frekvenci Ω = ω 0 .

V rotujícím referenčním rámci se pohybová rovnice pro příčnou nukleární magnetizaci M xy '(t) redukuje na:

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {xy} '(t)} {dt}} = - {\ frac {M_ {xy}' (t)} {T_ {2}}}}

Jedná se o lineární obyčejnou diferenciální rovnici a její řešení je:

{\ displaystyle M_ {xy} '(t) = M_ {xy}' (0) e ^ {- t / T_ {2}}}

kde M xy ' (0) je příčná nukleární magnetizace v rotujícím rámu v čase t = 0 . Představuje počáteční podmínku diferenciální rovnice.

Je třeba poznamenat, že když je rotace rotujícího referenčního rámce přesně na Larmorově frekvenci ω 0 , je příčný vektor nukleární magnetizace M xy (t) stacionární.

Uvolnění podélné nukleární magnetizace M z

Za předpokladu, že:

nukleární magnetizace je vystavena stálému vnějšímu magnetickému poli ve směru z: B z ′ (t) = B z (t) = B 0 . Tedy ω 0 = γB 0 a ΔB z (t) = 0 ' ;
neexistuje žádné radiofrekvenční pole, takže máme B xy '= 0 ;
rotace rotujícího systému je na úhlové frekvenci Ω = ω 0 .

V rotujícím referenčním rámci je pohybová rovnice pro podélnou nukleární magnetizaci M z (t) zjednodušena na:

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = - {\ frac {M_ {z} (t) -M_ {0}} {T_ {1}}}}

Jedná se o lineární obyčejnou diferenciální rovnici a její řešení je:

{\ displaystyle M_ {z} (t) = M_ {0} - [M_ {0} -M_ {z} (0)] e ^ {- t / T_ {1}}}

kde M z (0) je podélná nukleární magnetizace v rotujícím rámu v čase t = 0. Toto je počáteční podmínka pro diferenciální rovnici.

90 ° a 180 ° pulsy v radiofrekvenčním poli

Obvykle se v NMR používají pulzy při 90 ° a 180 ° v radiofrekvenčním poli. Vliv těchto pulzů na magnetizaci ukazuje následující obrázek:

Předchozí předpoklady jsou upraveny přidáním radiofrekvenčního pole B 1, jako například:

při t = 0 se aplikuje radiofrekvenční puls konstantní amplitudy a frekvence ω 0 . Máme B ' xy (t) = B' xy konstantní a τ trvání tohoto pulzu;
T 1 a T 2 → ∞. V praxi to znamená, že τ je malá ve srovnání s T 1 a T 2 .

Pak pro 0 ≤ t ≤ τ:

{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {dM_ {xy} '(t)} {dt}} = i \ gamma B_ {xy}' M_ {z} (t) \ end {aligned}}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = i {\ frac {\ gamma} {2}} \ left (M '_ {xy} (t) {\ overline {B' _ {xy}}} - {\ overline {M '_ {xy}}} (t) B' _ {xy} \ right)}

V průběhu doby má magnetizace tendenci se vracet do stavu rovnováhy. Různé komponenty se chovají následovně:

Podívejte se také

Difúze MRI využívá zobecnění Bloch rovnice: Bloch-Torrey rovnic , které obsahují výrazy přidané v důsledku převodu magnetizace difúzí.

Bibliografie

Funguje

Charles Kittel , Úvod do fyziky pevných látek , kap. 13 , John Wiley & Sons, 8 th ed. , 2004 ( ISBN 978-0-471-41526-8 ) .
Claude Le Sech a Christian Ngô, Nuclear Physics: From quarks to applications , Dunod, Paris, 2010 ( ISBN 978-2-10-055331-0 ) .
Jean-Philippe Grivet, Aplikované numerické metody pro vědce a inženýry , kap. 13 , Řešení Blochových rovnic , EDP Sciences, kol. „Grenoble Sciences“, 2 nd ed. ,duben 2013( ISBN 9782759808298 ) .

externí odkazy

Animovaná Blochova simulace z Dánského centra pro výzkum magnetické rezonance

Reference

F. Bloch , Nuclear Induction , Physical Review , 70, 4604–73, 1946
Jacques Pescia, „ Relaxace elektronických točení se sítí (Základní teorie a metody měření času T1) “, Journal of Physics ,Listopad-prosinec 1966, str. 782-800 ( číst online )
„ Princip NMR: relaxační jevy “ (přístup 25. dubna 2018 )
(v) " Bloch rovnic " na otázky a odpovědi na MRI (přístupné 1 st květen 2018 )
„ ENS Lyonský kurz nukleární magnetické rezonance “ , na ens-lyon.fr ,1 st 08. 2014(zpřístupněno 30. dubna 2018 )
HC Torrey , „ Bloch rovnice s podmínkami difúze “, Physical Review , sv. 104, n o 3, 1956, str. 563–565 ( DOI 10.1103 / PhysRev.104.563 , Bibcode 1956PhRv..104..563T )