Těžiště homogenní desky

V mechanice je těžiště homogenní desky bod, ve kterém je hmota rovnoměrně rozložena. Prakticky v případě jednotného gravitačního pole je těžiště zaměňováno s těžištěm desky.

Těžiště homogenní desky lze vypočítat pomocí integrálního počtu, ale existují jednoduchá pravidla, která umožňují přímo najít těžiště desek, jejichž geometrický tvar je pozoruhodný, pomocí geometrického nástroje barycentra .

Experimentální stanovení

Tato metoda je užitečná, když chcete najít těžiště plochého objektu, jehož tvar je složitý a jehož přesné rozměry nejsou známy.

Krok 1: Deska libovolného tvaru.
Krok 2: Zavěste destičku v bodě blízko vrcholu a dosáhněte rovnovážné polohy. Pomocí olovnice sledujte vertikálu procházející tímto bodem.
Krok 3: Zavěste desku na jiný bod a nakreslete druhou svislou čáru. Těžiště je v průsečíku dvou linií.

Zásady výpočtu

Těžiště trojúhelníku

Pokud má homogenní deska tvar trojúhelníku, její těžiště odpovídá průsečíku mediánů. Je tedy také izobarycentrem vrcholů. Tato situace je natolik pozoruhodná, že je třeba ji poznamenat.

Obecně platí, že těžiště polygonální homogenní desky se neshoduje s isobarycentrem jejích vrcholů. Na druhou stranu lze libovolný polygon vyříznout na trojúhelníky, lze tak snadno určit těžiště každé dílčí části.

Libovolný trojúhelník lze navíc rozložit na dva pravé trojúhelníky: stačí tedy vzít v úvahu výšku tohoto trojúhelníku. Těžiště pravého trojúhelníku je jedna třetina stran pravého úhlu. Tato vlastnost usnadňuje výpočet.

Prvky symetrie

Pokud má homogenní deska osu symetrie, pak se těžiště nachází na této ose. Důsledkem je, že ze dvou os symetrie je těžiště v jejich průsečíku.

Pokud je homogenní deska invariantní rotací netriviálního úhlu, její těžiště se shoduje se středem otáčení. Zejména pokud má homogenní deska střed symetrie, je také jejím těžištěm.

Těžiště rovnoběžníku je tedy průsečík jeho úhlopříček. Těžiště kruhu nebo elipsy se shoduje s jejich středem.

Princip sčítání a odčítání

Homogenní deska složená ze dvou desek a příslušných těžišť a pro těžiště má barycentrum bodů a vážená oblastmi desek a . $P _ {{1}}$ $P _ {{2}}$ $G _ {{1}}$ $G _ {{2}}$ $G _ {{1}}$ $G _ {{2}}$ $P _ {{1}}$ $P _ {{2}}$

Homogenní deska složená z desky , těžiště a plochy , ze které byla odstraněna deska těžiště a plochy , má pro těžiště těžiště bodů a vážené reálemi a . $P$ $G$ $na$ $P _ {{1}}$ $G _ {{1}}$ ${\ displaystyle a_ {1}}$ $G$ $G _ {{1}}$ $na$ ${\ displaystyle -a_ {1}}$

Těžiště polygonální desky lze tedy určit rozřezáním mnohoúhelníku na trojúhelníky, konstrukcí těžiště každého trojúhelníku a výpočtem každé z jejich ploch , těžiště je pak barycentrem váženého systému . V příkladech uvidíme, že se můžeme dokonce obejít bez výpočtu ploch pomocí vlastností zarovnání. ${\ displaystyle G_ {i}}$ $mít}$ ${\ displaystyle {(G_ {i}, a_ {i})}}$

Integrální výpočet

Pokud je deska opatřena ortonormálním souřadnicovým systémem, lze vypočítat úsečku a souřadnici těžiště pomocí integrálního výpočtu . Pokud celkovou délku průřezu desky nazýváme úsečkou úsečky a pokud je to plocha desky, úsečka těžiště je dána vzorcem $l (x)$ $X$ $na$

{\ displaystyle x _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {1} {a}} \ int x \ cdot l (x) \ mathrm {d} x = {\ frac {\ int x \ cdot l ( x) \ mathrm {d} x} {\ int x \ cdot \ mathrm {d} x}}}

Někdy je nutné nebo pohodlnější uchýlit se k více integrálům .

Stavby těžišť a forem

Uvedení principů do praxe

Těžiště desky ve tvaru písmene L.

Deska ve tvaru L je tvořena dvěma obdélníky se středy a a plochou a . Těžiště desky je tedy těžiště z , nachází se mezi a a ověří: $G _ {{1}}$ $G _ {{2}}$ ${\ displaystyle a_ {1}}$ ${\ displaystyle a_ {2}}$ ${\ displaystyle {(G_ {1}, a_ {1}) (G_ {2}, a_ {2})}}$ $G _ {{1}}$ $G _ {{2}}$

{\ displaystyle \ mathrm {G_ {1} G} = {\ frac {a_ {2}} {a_ {1} + a_ {2}}} \ mathrm {G_ {1} G_ {2}}}

Na obrázku níže je malý obdélník dvakrát menší než velký, takže vzdálenost je 1/3 vzdálenosti . ${\ displaystyle G_ {1} G}$ ${\ displaystyle G_ {1} G_ {2}}$

Všimněte si, že bod je zarovnán s a . Tato vlastnost umožňuje vyhnout se výpočtu ploch: stačí si představit dva různé výřezy desky. Bod, který se nachází na přímce i na přímce , pak odpovídá průsečíku těchto dvou přímek. To je pro desku L snadno dosažitelné, protože ji lze rozřezat na dva obdélníky dvěma různými způsoby. $G$ $G _ {{1}}$ $G _ {{2}}$ $G$ ${\ displaystyle (G_ {1} G_ {2})}$ ${\ displaystyle (G_ {3} G_ {4})}$

Těžiště po prvním řezání.
Těžiště podle dvou divizí.

Těžiště čtyřúhelníkové desky

Deska může být řez podél diagonální do dvou trojúhelníků, jejichž středy hmoty a jsou snadno postavit. Těžiště desky se poté vyrovná s těmito dvěma body. $G _ {{1}}$ $G _ {{2}}$

Další vyříznutí desky podél druhé úhlopříčky poskytuje další vyrovnání.

Těžiště je pak průsečík přímek a . Všimněte si, že tento bod se neshoduje s izobarycentrem vrcholů, které by byly středem středů diagonál. ${\ displaystyle (G_ {1} G_ {2})}$ ${\ displaystyle (G_ {3} G_ {4})}$

Teorém Wittenbauer poskytuje jednoduchou konstrukci těžiště čtyřhranu jako centrum rovnoběžníku Wittenbauer. Umožňuje také najít vztah existující mezi průsečíkem úhlopříček, těžištěm a izobarycentrem čtyř vrcholů: $Já$ $G$ $M$

{\ displaystyle {\ overrightarrow {IG}} = {\ frac {4} {3}} {\ overrightarrow {IM}}}

Těžiště „točivého momentu“

Homogenní torque- tvarovaná deska sestává z Center- of-poloměru disku , ve kterém je disk s centrem a poloměrem tangentou k prvnímu kotouči byla snížena . Povrchy desek jsou úměrné čtverci poloměrů. Těžiště točivého momentu je pak barycentrem systému . Takže máme $Ó$ $R$ ${\ displaystyle O_ {1}}$ $r$ ${\ displaystyle {(O, R ^ {2}), (O_ {1}, - r ^ {2})}}$

{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {OG}}} = - {\ frac {r ^ {2}} {\ mathrm {R} ^ {2} -r ^ {2}}} {\ overrightarrow {\ mathrm {OO}}} _ {1}}

Na protějším obrázku je poloměr malého kruhu dvakrát menší než poloměr velké, bodů , a jsou zarovnány v tomto pořadí a . ${\ displaystyle O_ {1}}$ $Ó$ $G$ ${\ displaystyle \ mathrm {OG} = {\ frac {1} {3}} \ mathrm {OO} _ {1} = {\ frac {1} {6}} \ mathrm {R}}$

Formulář

Trapéz Těžiště části lichoběžníku bází a výšky se nachází na střední spojující dvě základny a v odstupu od větší základny rovná . Je to barycentrum středních bodů a váženo pomocí a .