Zhutněn z Alexandrova

V matematice , a přesněji v obecné topologii , je komprimovaný Alexandrov (někdy psaný komprimovaný Alexandroff ) objekt představený matematikem Pavlem Aleksandrovem . Jeho konstrukce, zvaná zhutnění Alexandrov , zobecňuje Riemannovu sféru pro lokálně kompaktní prostory, ke kterým přidává „ bod v nekonečnu “.

Definice

Dovolit být lokálně kompaktní topologický prostor . Přidáním bodu můžeme získat kompaktní prostor . Z tohoto důvodu zvážíme kde a definujeme topologii následujícím způsobem. $X$ $X$ ${\ displaystyle {\ tilde {X}} = X \ pohár \ {\ omega \}}$ $\ omega \ ne \ v X$

Sada otvorů se skládá z: ${\ tilda X}$

začátek of ; $X$
podmnožiny formě , kde je doplňkem v kompaktní části . ${\ displaystyle \ {\ omega \} \ šálek K ^ {c}}$ ${\ displaystyle K ^ {c}}$ $X$ $K.$ $X$

Je ověřeno, že takto definujeme topologii na , a že počáteční topologie na je totožná s topologií vyvolanou touto topologií na . ${\ tilda X}$ $X$ $X$ ${\ tilda X}$

Nakonec je ověřeno, že vybaven touto topologií je kompaktní prostor. ${\ tilda X}$

Prostor se pak nazývá Alexandrovský kompaktní lokálně kompaktní prostor ; se nazývá nevlastní bod části , a je také známý . ${\ tilda X}$ $X$ $\ omega$ ${\ tilda X}$ $\ infty$

Tato představa je zajímavá pouze v případě, že počáteční prostor není kompaktní. Ve skutečnosti použití procesu Alexandrovského zhutnění na kompaktní prostor k němu přidá pouze izolovaný bod (protože je pak otevřený ). $\ {\ omega \}$ ${\ tilda X}$

Pokud a jsou dva lokálně kompaktní prostory, kontinuální aplikace se rozšíří do kontinuální aplikace mezi kompaktifikovanými Alexandrovovými právě tehdy, když je čistá . $X$ $Y$ $f: X \ až Y$

Všimněte si, že tato konstrukce také platí, pokud se předpokládá, že je kvazi kompaktní ; pak získáme kvazi-kompaktní prostor a máme následující vlastnost: je samostatný (tedy kompaktní) právě tehdy, když je lokálně kompaktní. $X$ ${\ tilda X}$ ${\ tilda X}$ $X$

Jedinečnost

Je snadno prokázáno, že počínaje lokálně kompaktním topologickým prostorem a od daného bodu je Alexandrov zhuštěný konstruován výše uvedeným způsobem, je jedinou možnou topologií na takovém, že: $X$ $\ omega \ ne \ v X$ ${\ displaystyle {\ tilde {X}} = X \ pohár \ {\ omega \}}$ ${\ tilda X}$

${\ tilda X}$ je kompaktní;
topologie indukovaná na je totožná s počáteční topologií. $X$

Příklady

Alexandrovova compactified z ℝ n je homeomorphic k n -sphere , prostřednictvím, zejména stereografická projekce z jednoho z pólů z n -sphere, projekce dokončena . To znamená, že Alexandrov zhuštěný z ℝ je homeomorfní do kruhu, který z ℝ 2 (nebo ℂ) do koule, běžně nazývané Riemannova koule . Bod přidaný do prostoru si lze představit jako bod „v nekonečnu“: v nekonečnu se skutečná čára „uzavře“ v kruhu. $P$ $P \ mapsto \ omega$
Libovolný pořadový α = [0, α [může být obdařen topologií řádu . Pokud je α limitní ordinál , Alexandrov zkompaktoval [0, α [je α + 1 = [0, α] (pokud naopak α má předchůdce β, pak [0, α [ je kompaktní [0, β + 1 [= [0, β]).
Prostor Fort (en) je Alexandrovova rozšíření o diskrétní prostor nekonečna.

Reference

(in) John L. Kelley , obecná topologie , Van Nostrand,1955( číst online ) , s. 150.

Externí odkaz

Alexandrov se zhustil na webu les-mathematiques.net