V geometrii , An elipsa je uzavřené rovinné křivky získané průsečíkem jednoho kužele otáčení s rovinou, za předpokladu, že posledně uvedené protíná osa otáčení kužele nebo válce: jde o kuželovitý excentricity striktně mezi 0 a 1. Lze jej také definovat jako místo bodů, jejichž součet vzdáleností ke dvěma pevným bodům, nazývaným ohniska , je konstantní (jeho konstrukce zahradníkovou metodou je velmi jednoduchá).
V každodenním životě je elipsa tvar, který vnímáme pohledem na kruh v perspektivě , nebo postava tvořená stínem disku na rovném povrchu .
Také jsme zjistili, jako první aproximaci, elipsy v trajektoriích z nebeských těles ( planety , komety či umělých družic ) na oběžné dráze kolem hvězdy nebo jiné planety . Země prochází přibližně elipsou, na kterou se zaměřuje Slunce.
Různé definice elipsy mohou v určitých extrémních případech vést ke konstrukci bodu, segmentu nebo kružnice , které se poté považují za zvrhlé elipsy, aniž by měly všechny geometrické vlastnosti.
Elipsa je rovina křivky , která je součástí rodiny kuželoseček . Získává se v průsečíku jednoho letadla s kuželem otáčení (není degenerovanou na lince nebo rovině), když tato rovina prochází skrz kužel.
Kruh je pak speciální případ elipsy (když je rovina řezu je kolmá k ose kužele, aniž by se však přes její vrchol).
Rámec je afinní euklidovský prostor dimenze 2. Nechť ( d ) je čára , F bod , který nepatří k ( d ), e je reálný v ] 0,1 [ . Nechť P je afinní rovina určená ( d ) a F se nazývá pravý elipsový ředitel ( d ), ohniska F a výstřednosti e všechny body M roviny P takové, že:
kde d (M, F) měří vzdálenost od bodu M do bodu F a d (M, ( d )) = d (M, H) , že M k lince ( d ).
Konstanta e proporcionality dvou vzdáleností, nazývaná excentricita elipsy, je bezrozměrná; je charakteristický pro tvar elipsy, nezávisle na jejích izometriích (překlady a / nebo rotace) nebo homothetií (nenulového poměru) v afinní rovině, a tedy pro libovolnou volbu ortonormálního souřadného systému pro tuto rovinu; určuje všechny ostatní poměry vzdálenosti (a všechny úhlové rozdíly) měřené na elipsě.
Označme K ortogonální projekci F na ( d ). Čára (KF) je pak jasně osou symetrie elipsy zvané ohnisková osa . Průsečíky elipsy s její ohniskovou osou se nazývají vrcholy elipsy. Kolmá osa segmentu, jehož konce jsou tyto dva vrcholy, je také osou symetrie elipsy, která se nazývá vedlejší osa elipsy.
Taková elipsa má proto dvě směrové čáry, vzájemně symetrické vzhledem k vedlejší ose elipsy a dvě přidružená ohniska rovněž symetrická vzhledem k vedlejší ose.
Elipsa je také zcela určena polohou jejích ohnisek a jeho výstředností, nebo dokonce polohou jejích směrových linií (vzájemně rovnoběžných) a jeho výstředností.
V euklidovské geometrii tato definice elipsy vylučuje kružnici, úsečku a bod.
Nechť F a F 'jsou dva odlišné body v rovině. Říkáme elipsa ohnisek F a F ', množina bodů M roviny splňující následující vlastnost:
kde 2 a je délka hlavní osy, 2 c = d (F, F ') a 2 b je délka vedlejší osy (kolmo k hlavní ose). Tento vztah vyjadřuje, že součet vzdáleností od bodu M k ohniskům je konstantní a rovná se délce hlavní osy.
Tato definice elipsy umožňuje nakreslit kruh o poloměru a, když jsou obě ohniska sloučena, ale už nemůžeme mluvit o ohniskové ose nebo o vedlejší ose. Umožňuje také nakreslit úsečku, když 2 a = 2 c .
Dandelin teorém mohou být umístěny geometricky dvě ohniska elipsy získané části kruhového kužele rovinou, pomocí dvou koule vepsané do kužele a tečnou k rovině řezu. Podobná úvaha umožňuje dokázat, že průřez válce nebo hyperboloidu na plech rovinou protínající jeho osu je také elipsa, jejíž ohniska jsou body tečnosti koulí vepsaných do povrchu otáčení a tečna k plán.
Nechť (C 1 ) je kruh se středem O a poloměrem b , (C 2 ) kruh se středem O a poloměrem a ( b < a ), nazývaný hlavní kruh , a ( xx ') přímka procházející O. volá elipsu se středem O, poloviční hlavní osou a a malou polořadovkou b obrazem kružnice (C 2 ) afinitou osy ( xx '), směru kolmého na ( xx ') a zprávybna.
Pro konstrukci bodu M elipsy, obrazu bodu M 2 velké kružnice, sestrojíme bod M 1 kružnice (C 1 ) umístěné na [OM 2 ]. Vedeme M 2 kolmo na ( xx ') a M 1 rovnoběžně s ( xx '). Čáry se protínají v M. Opravdu, pokud m je ortogonální projekce M 2 na ( xx '), máme podle Thalesovy věty ,
Taková definice elipsy umožňuje nakreslit kružnici, když je poměr afinity 1, nebo segment, když je poměr afinity 0.
Pokud je A bodem tečnosti mezi elipsou a velkou kružnicí, úhel se nazývá excentrická anomálie a lze jej použít jako jednoduchý parametr v parametrizované rovnici elipsy.
Nechť F a F 'jsou dva odlišné body, (C) kružnice se středem F' a poloměrem 2 a (2 a > FF ').
Říkáme elipsa se směrovací kružnicí (C) a fokusem F, množina středů kruhů tečně interně k (C) a procházejících F.
Abychom vytvořili bod M na elipsu, střed kružnice tečny k (C) v m , nakreslíme kolmou přímku úsečky [F m ]: tato kolmá přímka se setká s poloměrem [F ' m ] v M ( střed tečné kružnice); tato kolmá přímka je také tangensem v M elipsy. Elipsu můžeme také získat složením: na list papíru nakreslíme kružnici ředitele a fokus F a list papíru přeložíme tak, aby překrýval bod kruhu s fokusem F, získaná sada záhybů nakreslí paprsek tečen na elipsu.
Získaný údaj je symetrický vzhledem k segmentu [FF ']. Elipsa má tedy další režijní kružnici se středem F a poloměr 2 A .
Jsou-li dva body F a F 'stejné, umožňuje taková definice nakreslit kružnici se středem F a poloměrem a . Když je poloměr směrovací kružnice přesně stejný jako vzdálenost FF ', vede konstrukce k nakreslení segmentu [FF']: když je bod m na F, středy vnitřně tečných kružnic (C) popisují segment [FF '], když m je odlišné od F, jediná kružnice tečná k (C) a procházející F je samotná kružnice (C) a její střed je F'.
Můžeme si také všimnout, že ohnisko F je promítnuto kolmo na tečnu v M v bodě m 'náležejícímu k hlavní kružnici elipsy (kružnici se středem O a poloměrem a ). Přesněji řečeno, sada výstupků F na tečnách k elipsě kreslí hlavní kružnici elipsy, což činí hlavní kružnici nohou elipsy vzhledem k jejímu ohnisku a elipsu l 'anti-podaire hlavní kruh ve vztahu ke krbu.
Pokud se posuneme bez posunutí kruhu se středem O 'o poloměru R uvnitř kruhu se středem O a poloměrem 2R, prochází lokus bodem M, integrálním s malým kruhem, umístěným ve vzdálenosti d od středu O' elipsa. Jeho střed je O, jeho poloosy jsou R + d a | R - d |. Elipsa je proto zvláštním případem hypotrochoidu.
„Ohnisková osa“ (FF '), nazývaná také „hlavní osa“, procházející ohnisky a kolmá na vodicí linie, je osou symetrie elipsy; totéž platí pro „sekundární osu“, kolmou k ohniskové ose a procházející „středem elipsy“ uprostřed „ohniskového segmentu“ [FF '].
Průsečík ohniskové osy a sekundární osy ve středu elipsy je také středem symetrie.
Průsečíky elipsy s její ohniskovou osou se nazývají hlavní vrcholy , ty elipsy se sekundární osou jsou sekundární vrcholy .
Diametrální segment, který se při průchodu středem elipsy spojuje s hlavními vrcholy (respektive sekundárními), se nazývá „hlavní osa“ (respektive „vedlejší osa“), stejně jako jakákoli míra její délky, jakmile fixuje libovolnou jednotku délky.
Dovolit být elipsa, jejíž ohniska jsou F a F '. V bodě M této elipsy uvažujte půlící úhel úhlového sektoru (FMF '). Poté je tato přímka kolmá na tečnu v M.
Tato vlastnost, nazývaná také „vlastnost reflexivity“, se používá v geometrické optice v eliptických zrcadlech : světelný paprsek, který prochází jedním z ohniskových bodů, když se odráží, prochází druhým ohniskem. Pokud tedy umístíme žárovku do jednoho ohniska eliptického zrcadla, světelný paprsek se zaostří na druhý ohnisko. Používá se také při konstrukci reflektoru světlometu spojeného s konvergující čočkou.
Našli jsme to v akustice: v místnosti eliptického tvaru může osoba umístěná v jednom z ohnisek snadno slyšet, co si osoba umístěná v tom druhém šeptá. Je-li zdroj zvuku v jednom z ohniskových bodů, tato vlastnost zajišťuje, že všechny odražené zvuky budou konvergovat k druhému ohnisku, čímž kompenzují ztrátu zvukové energie v důsledku ujeté vzdálenosti koncentrací směrem k stejný bod více odražených paprsků. Tato vlastnost prostorové konvergence však není dostatečná k zajištění toho, že vnímaný zvuk je totožný se zvukem vydávaným ve zdrojovém ohniskovém bodě, protože signály, které sledují různé cesty, musí pro tento účel přicházet ve fázi v jiném ohniskovém bodě. Pokud je povaha média homogenní (například okolní vzduch), rychlost šíření zvuku je tam konstantní, je pak nutné, aby se signály sbíhaly ve fázi, že vzdálenosti uražené různými cestami jsou identické. Součet vzdáleností od bodu elipsy k ohniskům je však konstantní pro jakýkoli bod, což tedy zajišťuje časovou konvergenci signálů. Jedná se o kombinaci těchto dvou vlastností elipsy, která umožňuje jak porozumět slovům mluveným v jednom ohnisku v druhém (stejná délka cest udržujících signály ve fázi), a slyšet je, i když ne jsou jen zamumlány (konvergence cest koncentrujících energii signálů). Tento akustický vlastnictví eliptické oblouky je známý přinejmenším od XVII -tého století . Bylo by to u zrodu výstavby ozvěn, zpovědnic pro malomocné a vysvětlovalo by to zvukové kvality pařížských stanic metra. Příkladem takových galerií je rotunda budovy hlavního města ve Washingtonu a mormonský stánek v Salt Lake City.
Tato vlastnost se také používá v urologii u mimotělních litotriptorů : rázové vlny vyzařované na jednom z ložisek elipsy se koncentrují po odrazu na elipsoidním reflektoru, na druhé zaměření se uvážlivě umístí na počet při zničení.
Sada bodů M, které „hledí“ na elipsu v pravém úhlu, to znamená, ze kterého odchýlí dvě kolmé tečny k elipsě, nakreslí kružnici se stejným středem jako elipsa a poloměrem , který se nazývá ortoptická kružnice elipsa.
Velikosti (geometrické nebo číselné) elipsy jsou:
Mezi těmito veličinami existují vztahy:
V souřadnicovém systému definovaném polořadovkou a polořadovkou osy elipsy je její rovnice (pokud je ohnisková osa x ):
;s a > b > 0 . Vzdálenost od středu elipsy k jednomu z ohnisek je:
a proto výstřednost stojí za:
V případě, že ohnisková osa y pak a b jsou obrácené.
Pokud elipsa není vycentrována na počátek souřadného systému, ale její hlavní osa a vedlejší osa zůstávají rovnoběžné s osami souřadnic, lze ji určit pomocí následující rovnice:
kde parametry u a v jsou souřadnice středu elipsy.
V případě, že osy elipsy již nejsou vyrovnány s osami roviny, ale jsou otočeny o úhel θ vzhledem k počátečnímu souřadnicovému systému, získáme následující kartézskou rovnici:
Jako každá kuželosečka má elipsa rovnici ve tvaru:
s omezením B² - 4AC <0 . B je reálné, okamžitě odvodíme, že A a C jsou nenulové a mají stejné znaménko ( AC> (B / 2) ≥ ≥ 0 ).
Pak máme vztah:
Koeficient B se rovná 0, pokud jsou osy elipsy rovnoběžné s osami souřadnic. Pak máme:
s, s výjimkou koeficientu proporcionality:
Naopak rovnice tvaru
ve kterém A , C a mají stejné znaménko, je rovnice elipsy, pro kterou
Kartézskou rovnici můžeme vyjádřit v maticové formě:
nebo
Lze provést rotaci matice Q a překlad matice t provedením změny souřadnic:
rovnice se stává:
.Dotazem:
dostaneme rovnici
.Potom můžeme zvolit Q , což je diagonální matice
a to je nula. Poté se napíše kartézská rovnice
.Střed elipsy má poté souřadnice t a hlavní a vedlejší osy se rovnají:
; . Demonstrace Existence matice QBýt pozitivně definitní, existuje ortogonální matice Q tak, že t QAQ je diagonální. Q je ortogonální, lze jej interpretovat jako rotační matici.
Stanovení QMatice rotace je napsáno
.Vývoj produktu dává
Chceme určit φ tak, aby A (1, 2) = 0. Pomocí klasických trigonometrických vzorců můžeme přepsat
Kreslíme
Stanovení t
Matice Q není nula. Aby byla b nulová, je to nutné a dostačující
.Pojďme pózovat
tento stav se stává
je
s δ = B 2 - 4AC (nenulová pro elipsu).
V ortonormálním souřadnicovém systému afinní roviny, jehož směrové vektory jsou rovnoběžné s osami elipsy a kde ( x C , y C ) jsou souřadnice středu elipsy, je možná parametrizace elipsy:
Tato parametrizace je periodická, s periodou 2π , což znamená, že ji lze také omezit na pootevřený interval minimální délky rovný této periodě, například na . Jakékoli omezení parametru na uzavřený interval kratší délky má za následek, že uzavřený oblouk prochází pouze částí elipsy.
U tohoto nastavení je poloměr zakřivení r v bodě M parametru t dán vztahem
Proto zejména na summitech:
Tyto dva poloměry zakřivení umožňují přibližnou konstrukci elipsy pomocí 4 oblouků kruhu.
Budeme-li pracovat v komplexní rovině, parametrické vyjádření elipsy se středem C a semi-os a b je
Pokud nyní osy elipsy již nejsou vyrovnány s osami roviny, ale jsou otočené o úhel θ, získáme parametrickou rovnici vynásobením souřadnic relativně ke středu maticí rotace:
a stane se parametrická rovnice
že si také můžeme všimnout:
s
V souřadnicovém systému definovaném fokusem a ohniskovou osou, bereme-li původ úhlů na straně directrixu, je polární rovnice elipsy s poloosami a a b :
Poznámka: pokud je původ úhlů se odebírá ze strany protilehlé directrix ( , c je poloviční vzdálenost mezi ohniska).
Připomenutí: „parametr“ elipsy, obecně známý p, představující poloviční latus rectum (akord rovnoběžný s directrix a procházející ohniskem).
V referenčním rámci definovaném středem a ohniskovou osou je tato rovnice:
Nastavení elipsy je důležitým bodem pro algoritmy regrese nebo rozpoznávání vzorů. Elipsa je popsána pěti parametry.
Definice | Nastavení | Detaily |
---|---|---|
Zaměření, režisér a výstřednost |
x , y , a , b , e | Souřadnice ( x , y ) F, parametry přímky vycházející z karteziánské rovnice - sklon a souřadnice na počátku ( a , b ) - nebo jiné normální rovnice - (ρ, θ) - a výstřednost e . |
Zaostřování a hlavní osa |
x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , a | Souřadnice ( x 1 , y 1 ) F 1 , ( x 2 , y 2 ) F 2 a délka hlavní poloosy a . |
Kartézská rovnice | B, C, D, E, F nebo A, B, D, E, F |
kvadratická rovnice A x 2 + B xy + C y 2 + D x + E y + F = 0 definuje elipsu; A a C jsou nenulové, takže můžeme rovnici rozdělit jednou ze dvou, abychom ji normalizovali: x 2 + B xy + C y 2 + D x + E y + F = 0 nebo A x 2 + B xy + y 2 + D x + E y + F = 0. |
Parametrická rovnice |
x , y , a , b , θ nebo x , y , a x , a y , b x , b y |
Souřadnice ( x , y ) středu C, délky poloos a a b , sklon θ hlavní osy vzhledem k ose x . Parametrickou rovnici lze také napsat pomocí a x = a cos θ, a y = b sin θ, b x = - b sin θ a b y = b cos θ. |
Výpočet délky oblouku elipsy s poloviční hlavní osou a , malou vedlejší osou b a výstředností e , zahrnutou v prvním kvadrantu, vede k výpočtu
nebo to
pro délku oblouku mezi bodem B (0, b ) a bodem . Tyto integrály však nejsou vyjádřeny pomocí klasických funkcí (algebraické, trigonometrické, logaritmické nebo exponenciální). Tato korekce, společnost od začátku XVIII -tého století po založení nepatrný počet, spolu s tím se lemniscate Bernoulliho , vedly k nové třídě integrálů. Takový integrál se nazývá neúplný eliptický integrál druhého druhu.
Obvod elipsy, to znamená její obvod nebo oběžnou dráhu, je pak vyjádřen v integrální formě znakem
nebo
kde E je úplná eliptická integrální funkce druhého druhu.
Neexistuje jednoduché vyjádření konečného výsledku, ale sériový vývoj s víceméně rychlou konvergencí, z nichž první jsou práce Colina Maclaurina z roku 1742 nebo Eulera v letech 1749 a 1773 a aproximace včetně těch od Johannesa Keplera z roku 1609, Giulia Fagnana 1750 a Ramanujan brzy XX -tého století .
První sériový vývoj je přičítán Colinovi Maclaurinovi, ale jeden také najde jeho demonstraci v Eulerovi v roce 1749. Získává se pomocí sériového rozšíření pro x menší než 1, pak integrací pomocí indukčních výrazů jako pro Euler nebo pomocí Wallisových integrálů , pokud se dává přednost trigonometrické formě. Je vyjádřena jako funkce s , hlavní poloosy a e excentricity podle:
Může to být také vyjádřeno:
,kde je Gaussova hypergeometrická řada .
Hlavní nevýhodou výše uvedené řady je, že její konvergence je velmi pomalá u výstředností blízkých 1, to znamená u zploštělých elips. Zůstává však užitečný v teoretické rovině, protože umožňuje porovnat ostatní vzorce, které poskytují aproximace obvodu, protože je lze vždy vyvinout ve formě Taylorovy řady a rozdílem určit Taylorovu řadu udávající relativní chyby spáchané tyto alternativní vzorce v závislosti na výstřednosti.
Druhý zajímavý vývoj předvádí Sir James Ivory v roce 1796. Rovněž nese název řady Gauss - Kummer pro jejich práci dokazující rovnocennost mezi několika hypergeometrickými sériemi. Jedná se o symetrický vývoj a b vyjádřit pomocí množství :
Tato řada má v celém rozsahu excentricity lepší konvergenci než Maclaurinova, ale relativní chyba pro zploštělé elipsy je stále ještě hodně žádoucí.
Můžeme také citovat Eulerovu řadu z roku 1773, symetrický vývoj v a a b vyjádřený pomocí kvantity .
Tato řada konverguje o něco rychleji než řada Maclaurin, ale méně rychle než řada Gauss-Kummer.
Pro elipsy s vysokou excentricitou nabízí série Arthur Cayley (založená v roce 1876) lepší konvergenci a je vyjádřena množstvím :
který se vyvíjí v:
Tato přesná řada konverguje pro celou řadu výstředností, ale má vynikající konvergenci a mnohem rychlejší než řady Maclaurin a Gauss-Kummer než pro vysoké výstřednosti, kde je také numericky stabilní. Při rychlých numerických vyhodnoceních tedy můžeme spojit tuto Cayleyovu řadu s Gauss-Kummerovou řadou, kterou lze snadněji vypočítat a rychleji konvergovat pro slabé a střední excentricity, libovolným fixováním mezní hodnoty mezi oběma metodami při hodnotě excentricity blízké 96 % (což také odpovídá poměru stran b / a téměř 28% nebo hodnotě x blízké 7,84%).
První velmi jednoduchou aproximaci představil Kepler v roce 1609 a spočívá v přiblížení k obvodu elipsy obvodem dvou kruhů, jejichž poloměry jsou geometrický průměr a aritmetický průměr veličin a a b :
Druhá aproximace pochází z roku 1750 a pochází od Giulia Carla Fagnana:
Euler navrhuje aproximaci přebytkem s přesností ekvivalentní té, která byla standardně získána průměrem dvou poloos:
Ve formách také nacházíme tuto kvadratickou aproximaci, kvadratický průměr aproximací Keplera a Eulera:
Vyjádřením b jako funkce e a rozšiřováním v řadě
získáme vývoj, jehož první 4 výrazy odpovídají sérii Maclaurin; chyba způsobená nesprávnými koeficienty podmínek vyššího stupně je pak velmi malá.
Z XIX -tého století sbližování formule násobit, z nichž každý se snaží najít jednoduchých vzorců s maximální přesností. Je třeba zmínit dva vzorce Srinivasa Ramanujan z roku 1914
První vzorec Srinivasa Ramanujan : , kde . Druhý vzorec Srinivasa Ramanujan :Tyto poslední vzorce jsou velmi přesné pro střední výstřednosti. Na druhou stranu pro b = 0 vede druhý vzorec Ramanujana k aproximaci π 22/7.
Plochu elipsy lze vypočítat různými způsoby. Můžeme se umístit do reference nesené osami, kde je zapsána rovnice elipsy:
U výše uvedených symetrií stačí vypočítat například plochu části elipsy v pravé horní čtvrtině roviny odkazované na tuto referenci. Rovnice odpovídající části elipsy je:
pro x v [0, a ]. Proto oblast pravé horní čtvrtiny elipsy:
poslední přepis získány pomocí substituce ze dne . Zbývá linearizovat a najít čtvrtinu oblasti elipsy:
a pro oblast celé elipsy:
Všimněte si, že pro a = b najdeme oblast disku.
Metoda dvou bodů a akordů: podle bifokální definice je součet vzdáleností mezi bodem elipsy a jeho dvěma ložisky F a F ' konstantní. Do země jsou tedy zasazeny dva kůly (dvě ohniska), jedno vezme neelastickou šňůru dané délky (konstantní součet), která je připevněna ke kůlu; cesta, po které cestujeme, zatímco udržujeme napnuté lano, je elipsa. Tato technika se nazývá „elipsa zahradníka “.
V průmyslovém designu je elipsa obecně kruh viděný v perspektivě (součást je zřídka eliptická, i když to není vyloučeno), nebo vrtání pod úhlem k povrchu součásti.
Elipsa je proto reprezentována stejnými osovými čarami jako pro kružnici. V případě kružnice viděné v perspektivě jsou tyto osy nakloněny a sledují referenční směry. V případě skutečně eliptického tvaru jsou osy kolmé.
Kreslení od ruky, popsaná metoda rovnoběžníku: výše jsme viděli, že elipsu lze považovat za kruh viděný v perspektivě. Stejně jako kruh je vepsán do čtverce, je elipsa vepsána do rovnoběžníku, který není ničím jiným než tento čtverec viděný v izometrické perspektivě (všimněte si, že existuje nekonečno ohraničených rovnoběžníků, stačí si jeden vybrat.). Nejprve nakreslete rovnoběžník, rozdělte jej na čtyři čtvrtiny podél rovnoběžek do stran procházejících středy ostatních stran; v každé čtvrtině nakreslíme oblouk procházející středy stran a tečny ke stranám v těchto středech (určité charakteristiky secants v kruhu umožňují najít další mezilehlé body průchodu těchto oblouků).
Elipsu můžete také kreslit nepřetržitě pomocí mechanického nástroje zvaného elipsograf . Existuje několik typů, z nichž každý využívá specifickou vlastnost elipsy.
Kreslení pravítka, metoda rovnoběžníku: v obdélníku o rozměrech 2a a 4b jsou strany délek 2a rozřezány na 2n stejné části a strany délek 4b na 4n stejné části. Segmenty se poté nakreslí jako na obrázku naproti. Jejich průsečíky jsou na elipsě poloos a a b. Princip je následující: taková konstrukce byla použita v případě, kdy b = vedlo k kreslení kolmých segmentů. Jejich průsečík je tedy na kružnici o průměru 2a. Na protějším obrázku je deformace čísla afinitou k poměru b / a , která vede ke konstrukci kruhu. Tento údaj proto vede ke konstrukci elipsy.