Zcela přirozené

V matematice , je přirozené číslo je kladné číslo , které v podstatě umožňuje počítat objekty do každé počítání jako jeden , a proto počítat objekty považovány za rovnocenné: token, dva žetony ... karta, dvě karty, tři karty ... Taková celé číslo lze psát s konečnou posloupností číslic v desítkovém pozičním zápisu (bez znaménka a bez čárky).

Každé celé číslo má jedinečného nástupce , to znamená celé číslo bezprostředně nad ním, a seznam přirozených celých čísel je nekonečný .

Původní definice množiny přirozených čísel kvůli Richardu Dedekindovi nezahrnuje číslo nula; nedávno byla navržena jiná definice, která zahrnuje nulu. Tyto dvě definice existují dodnes. Podle významů je tedy seznam přirozených čísel následující:

nebo

Studium přirozených čísel a jejich vztahů, zejména s operacemi sčítání a násobení , je od starověku Řecka oborem matematiky známým jako „  aritmetika  “.

Struktura přirozených čísel byla axiomatized poprvé od Peano a Dedekind na konci XIX th  století. V té době se nula nepovažovala za přirozené číslo (a někteří autoři se tak stále rozhodují), což axiomatizaci zásadně nemění. Ernst Zermelo , když axiomatizoval teorii množin, ukázal, že přirozená celá čísla lze definovat v množinových termínech (dnes se nejčastěji používá metoda díky von Neumannovi ).

Sada přirozených čísel, bez ohledu na to, zda obsahuje číslo nula, je označena „   “ nebo „   “. Zápis má na svědomí Dedekind v roce 1888, který jej používá pro množinu nenulových přirozených čísel. Dnes je tato poslední sada také běžně označována „   “ (nebo „   “).

Přirozená čísla jsou identifikována s kladnými nebo nulovými relativními celými čísly , stejně jako s kladnými nebo nulovými racionálními čísly, která lze zapsat ve formě zlomku jmenovatele 1, a obecněji s kladnými nebo nulovými reálemi zlomkové části nula.

Design

Od výčtu k abstrakci

Představa přirozeného čísla, která zabírá první (a až do XVII th  století), celá myšlenka čísla , pravděpodobně po pojmu kolekce: celé číslo je primárně určen jako kardinál. Určité předměty nebo zvířata, i když jsou navzájem odlišné, mohou připustit společné označení kvůli své podobnosti nebo jiné společné vlastnosti. Jejich shromáždění představuje sbírku, jako stádo krav, náhrdelník z perel, hromadu kamenů.

Toto číslo klíčí ve výčtu sbírky, to znamená ve skutečnosti procházení všemi jejími prvky, jeden po druhém a bez opakování. Je nutné důsledně sledovat, že dvě simultánní výčty (například od stáda po ohradu a kameny v pytli) končí vždy ve stejnou dobu nebo vždy mimo krok. Číslo je nakonec představeno, když je k označení množství použit vak s oblázky nebo vroubkovaná tyč.

Koncept celku se však skutečně rodí, až když opustil svého představitele, to znamená, když už nepředstavuje kameny, zářezy nebo krávu: existuje první abstrakce, kdy je každý objekt považován za čistou jednotku a bez kvality . Tento mentální proces je známý jako abstrakce  : je abstrahován od kvality objektu a týká se pouze kvantity. Druhá abstrakce pak vede k tomu, že tyto jednotky budou považovány za soubor jednotek.

Euclid uvádí v knize VII prvků následující definici: „Jednota je ta, ve vztahu ke které se každý objekt nazývá Jeden.“ Tato abstrakce mu umožňuje definovat číslo (přirozené celé číslo) jako „soubor jednotek“.

Reprezentace prvních nenulových přirozených čísel pomocí sbírek bodů.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
* ** *
**
**
**
*
***
*
*
**
***
**
***
**
* ***
***
***
*
**
***
****

Zrušení definice celých čísel z hlediska třídy bijectability

Frege myslel (v The Foundations of Arithmetic , 1884) definovat celá čísla, pokud jde o třídu bijectability .

Tato myšlenka spočívá v definování každého celého čísla n jako shromáždění všech množin majících n prvků.

Tato velmi atraktivní definice naráží na Russellův paradox, pokud si někdo přeje s ohledem na ontologický monismus, aby takové shromáždění bylo také celkem.

Je to proto, že s výjimkou celého čísla 0, identifikovaného se sadou obsahující pouze prázdnou sadu, pro jakékoli jiné celé číslo n je kolekce sad majících n prvků správnou třídou, a proto není sadou.

Stavba řadovými

Přirozená celá čísla lze definovat jako pořadová čísla , tj. Von Neumannovou metodou , stejně jako dobře uspořádané množiny srovnatelné zahrnutím . Přirozenými čísly jsou konečná řadová čísla, ta, jejichž vzájemný řád je také dobrý řád, nebo dokonce nástupní řadové řády, z nichž všechny dolní meze jsou také pořadovými řadami.

Označení

Výslovnost

Označení celých čísel v jazyce není v jednotlivých jazycích stejné, i když je obecně založeno na několika jednoduchých metodách.

První celá čísla mají konkrétní název, který spolu nesouvisí. Ve francouzštině se jedná o celá čísla od jedné do deseti (názvy celých čísel od jedenáct do šestnácti jsou ve skutečnosti deformacemi složených jmen). Některé jazyky nemají konkrétní slovo větší než dva .

Spojení dvou podstatných jmen může označovat výsledek sčítání (jako v sedmnácti ) nebo násobení (jako v osmdesáti ) odpovídajících celých čísel. Jiné metody existují pomocí odčítání, dělení nebo protrakce .

Určité „velké“ Čísla jsou také uvedeny konkrétní jméno, obvykle některé pravomoci na na konkrétní základny . Base deset je dnes nejrozšířenější, ale označení celých čísel ve francouzštině například zachovává stopy částečné využití základny dvacet . Protichůdné mezinárodní úmluvy navrhují standardizovaná označení pro prvních sto mocností tisíc nebo milion.

Kromě limitů stanovených slovní zásobou může jazyk nabízet pouze označení podle dodatku: „tisíc miliard miliard ...“

Šifrované psaní

Pokud se psaní celých čísel v historii civilizací značně lišilo, je dnes téměř všude založeno na stejném systému poziční desítkové notace , i když pravopis čísel může podstoupit více či méně významné variace jedné země. .

Každé přirozené číslo je jedinečným způsobem rozloženo na součet násobků mocnin deseti, takže každý multiplikační koeficient je striktně menší než deset, proto je reprezentován jednou z deseti arabských číslic od 0 do 9. Psaní tohoto čísla je poté vytvořením spojením těchto čísel uspořádaných v sestupném pořadí odpovídajících mocnin deseti.

Hlavním zájmem tohoto psaní je společná jednoduchost výpočtových algoritmů pro čtyři základní aritmetické operace.

Kódování

Praxe výpočtu se mohla spolehnout na manipulaci s oblázky nebo jinými konkrétními symboly, nejprve symbolizovala jednu jednotku na oblázek, poté diferenciací hodnoty symbolů (například skořápka označující deset oblázků).

Polohová notace bylo možné rozlišit hodnoty symbolů v závislosti na jejich poloze a ztrácí svou povahu, což vedlo k vývoji počítadla a počítadla . Tento princip stále platí v kalkulačkách a počítačích .

Aritmetický

Zastoupení operací

Tím, že představuje každé celé číslo kolekcí objektů (například oblázky nebo tokeny), je operace přidání reprezentována sjednocením dvou kolekcí, zatímco odčítání činí odebrání jedné kolekce z jiné. Toto znázornění jasně ukazuje nemožnost odečíst (v přirozených číslech) číslo od jiného přísně menšího.

Násobení dvou přirozených čísel odpovídá plnění na obdélníku z nichž dvě sousedící strany znamenají každý jeden z faktorů.

Euklidovská rozdělení celého čísla (tzv dividenda ) jinou (tzv dělitele a nutně nenulovým) ilustruje uspořádání kolekce představující dividenda v obdélníku, jehož jedna strana představuje dělitele. Počet úplných řádků pak představuje podíl, zatímco možný neúplný řádek představuje zbytek , nutně striktně menší než dělitel.

Násobek a rozdělovač

Vzhledem k tomu, přirozené číslo nenulové, soubor jeho násobky je nekonečný , ale které jsou rozmístěny pravidelně a snadno popsat pomocí aritmetické posloupnosti . Například násobky 2 jsou sudá čísla , která se mezi všemi celými čísly střídají s lichými čísly.

Naopak, sada dělitelů nenulového celého čísla je vždy konečná a její rozdělení vůbec nemá stejný druh pravidelnosti. Určitě vždy obsahuje číslo, které má být rozděleno, a číslo 1, všechny další dělitele ležící mezi těmito dvěma extrémy. Je však obecně obtížné vypsat tyto další dělitele od zápisu čísla v dané základně .

Tento problém je částečně způsoben nedostatkem jednoduchých kritérií pro určení bez výpočtu, zda je jedno číslo dělitelné druhým. V desítkovém systému pozičních čísel je známo několik kritérií dělitelnosti pro malé dělitele (zejména pro 2, 3, 5, 9 a 10), ale kromě těchto několika případů je to v podstatě euklidovské dělení, které nám umožňuje odpovědět na tuto otázku.

prvočíslo

Kromě čísla 1, které je jeho jediným dělitelem, jakékoli číslo tedy připouští alespoň dva odlišné dělitele. Ti, kteří připouštějí přesně dvě, se nazývají prvočísla . Jsou jediní, kdo dokáže snížit další počty dělením, aniž by se sami rozložili na produkty striktně menších počtů. Je jich nekonečné množství a každé číslo je jedinečným způsobem rozloženo na produkt prvočísel. Tento rozklad umožňuje mimo jiné pochopit strukturu množiny rozdělovačů.

Sada přirozených čísel

Zápisy

V roce 1894 použil Giuseppe Peano  ve svých Notacích o matematické logice označení „N“ pro „kladné celé číslo“ a „N 0 “ pro „kladné nebo nulové celé číslo“, které sloužily jako úvod do jeho velkého projektu formalizace matematiky, Matematická forma . Používá jej jako predikát, což je pojem velmi blízký pojmu celku. Peano tedy píše „  x ε N“ (což nyní píšeme „   “), které pro něj zní „  x je kladné celé číslo“.

Historická notace všech přirozených čísel v tisku se stává „  N  “, tučným velkým písmenem. Při psaní rukou (a zejména na tabuli ) se tento znak odlišuje od písmene „N“ používaného pro jiné účely zdvojnásobením první svislé čáry nebo lomítka „   “. Druhá možnost byla přijata pro tučné písmo na tabuli . Moderní matematické úpravy nyní používají „zdvojené“ znaky, ale pokračuje i tučné písmo.

Teorie množin

Nejmenší nekonečný ordinál je horní mez všech konečných ordinálů, což jsou přirozená celá čísla. To bylo představeno Georgem Cantorem, který to zaznamenal ω (řecké malé písmeno omega ) nebo ω 0 . John von Neumann ukázal, že ordinály lze definovat tak, aby identifikovaly ordinál se sadou jeho přísné dolní meze, a ordinál ω je pak identifikován se sadou přirozených čísel (přirozené číslo je samo o sobě identifikováno se sadou přirozených čísel které jsou přísně nižší). V teorii množin se proto písmeno ω také používá k označení množiny přirozených celých čísel. Axiom nekonečna umožňuje prokázat existenci této sady.

Spočetný sada je sada, která má stejnou kardinála jako množina přirozených čísel (někdy specifikovat „spočetnou nekonečno“, který může také znamenat „konečný nebo stejné kardinála jako N  “). Hlavní z počitatelný , že z N , je nejmenší nekonečný kardinál, je třeba poznamenat, ℵ 0 , alef-nula .

V teorii množin, formálně ℵ 0 , je definována jako nejmenší spočetná nekonečná řadová, jmenovitě, a tedy opět jako množina přirozených celých čísel.

Vlastnosti

Při operacích sčítání a násobení, které jsou asociativní , komutativní , poskytované s neutrály a splňující vlastnost distributivity , je množinou přirozených celých čísel půlkruh .

Je uspořádán pro obvyklý řádový vztah vyvolaný sčítáním, což mu dává strukturu dobrého řádu , tj. Jakákoli neprázdná část připouští menší prvek. Tato vlastnost je základem uvažování indukcí .

Souprava je také vybavena vztahem dělitelnosti, což je částečný řád .

Jeho kardinál je nejmenší nekonečné kardinální číslo , označené ℵ 0 ( alef nula ), což definuje pojem počitatelnosti . Ve skutečnosti říkáme o jakékoli množině, že je počítatelná, pokud existuje bijekce této množiny do podoby přirozených celých čísel. Někdy je člověk spokojen s injekcí, která zahrnuje i hotové sady.

Peano Axiomatic

Bez ohledu na to, jak zavádíte přirozená celá čísla, mají stejné základní vlastnosti, ze kterých se vyvíjí aritmetika. Richard Dedekind a Giuseppe Peano nezávisle navrhli axiomatizace, které byly v podstatě rovnocenné. Jednalo se o otázku axiomatizace, kterou dnes někdy říkáme o druhém řádu: pojem množiny (nebo predikátu ) má být známý a axiomatizace se s ním nezohledňuje. Zde je moderní prezentace těchto axiomů (známých jako Peanoovy axiomy):

  1. Prvek zvaný nula a označený 0 je přirozené číslo.
  2. Každé přirozené číslo n má jedinečného nástupce, často označovaného s ( n ) nebo S n (nebo jiné varianty).
  3. Žádné přirozené číslo nemá nástupce 0.
  4. Dvě přirozená čísla se stejným nástupcem jsou stejná.
  5. Pokud je množina přirozených čísel obsahuje 0 a obsahuje následníka každého z prvků, pak tato sada je roven N .

První axiom umožňuje konstatovat, že množina přirozených celých čísel není prázdná , druhý, že nástupce je funkce , čtvrtý, že tato funkce je injektivní , třetí, že má první prvek (tyto dva axiomy zajišťují, že množina přirozených čísel je nekonečná). Pátý je formulací principu opakování .

Důležitou vlastností prokázanou Richardem Dedekindem z těchto axiomů je princip definice indukcí . Umožňuje například definovat obvyklé operace.

Poznámky

  1. Georg Cantor je prvním matematikem, který studoval různá nekonečna, spoléhal na uspořádanou množinu přirozených celých čísel, aby definoval první základ nekonečna a poté lépe objevil další nekonečné množiny.
  2. Richard Dedekind. Byla sind und sollen die Zahlen? (1888) 2 e ed. Friedrich Vieweg et fils 1893. Číst online.
  3. Pod položkou „number“ definuje Lexis (1975) „přirozené číslo“ jako „každé z celých čísel posloupnosti 1,2,3 atd. "„ A Le Petit Robert (1977) uvádí „Na počátku a v nejjednodušším případě přirozených čísel (1,2,3,4…) […]“  ; francouzská akademie , v devátém ročníku svého slovníku pod heslem „integer“ definuje „přirozené číslo“ jako „kladné číslo“, a pod heslem „pozitivní“ specifikuje, že „kladné číslo‚je‘větší než nula ".
  4. (in) Eric W. Weisstein , „  Přirozené číslo  “ na MathWorld .
  5. Christian Houzel : „Co je to číslo? », Historie čísel , Tallandier 2007.
  6. Non integers are handled at the III th millennium BC in Mesopotamian civilisation, they do not have the theory status of number.
  7. Filozofická konstrukce pojmu čísla je podrobně popsána v části Matematická nekonečnost Louise Couturata.
  8. Tuto definici lze zpětně použít na číslo nula , soubor obsahující žádné jednotky.
  9. Georges Ifrah , úvod do Univerzální historie postav , svazek 1, vydání Robert Laffont (1994), s.  9 , § První pokus a omyl.
  10. Slovo „výpočet“ souvisí se slovem „caillou“.
  11. Odčítání je vždy možné v relativních celých číslech .
  12. Giuseppe Peano (1894), Zápisy matematické logiky , Guadagnini, Turín (1894), s.  4 číst online
  13. (in) Florian Cajori , Historie matematických notací [ maloobchodní vydání ]let. 2 str.  299 .
  14. Peano ve skutečnosti používá 1 (jeden), což odpovídá zvyklostem doby, ale nic zásadně nemění

Bibliografie

Podívejte se také

Související články

Externí odkaz

Čísla: kuriozity, teorie a použití , místo G. Villemina