Odhad (geostatistika)
V geostatistice je odhad predikcí z regionalizované proměnné, která kompenzuje informační mezeru.
Globální odhad
Globální odhad spočívá v navržení a priori vzorec odhadu (obvykle průměr z měření) a jeho rozptylu.
Rozptyl odhadu je vyjádřen:
σE2=1[proti]2∫proti∫protiVS(X-y)dXdy+1NE2∑i∑jVS(Xi-Xj)-2NE[proti]∫proti∑iVS(Xi-y)dy =VS¯(proti,proti)+VS¯(proti′,proti′)-2VS¯(proti,proti′){\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ sigma _ {\ mathrm {E}}} ^ {2} & = {\ frac {1} {[v] ^ {2}}} \ int _ {v} \ int _ {v} C \ left (xy \ right) \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y + {\ frac {1} {N ^ {2}}} \ sum _ {i} \ sum _ { j} C \ left (x_ {i} -x_ {j} \ right) - {\ frac {2} {N [v]}} \ int _ {v} \ sum _ {i} C \ left (x_ { i} -y \ right) \ mathrm {d} y \\\ & = {\ bar {C}} \ left (v, v \ right) + {\ bar {C}} \ left (v ', v' \ right) -2 {\ bar {C}} \ left (v, v '\ right) \ end {zarovnáno}}}
V následujících případech předpokládáme známou geometrii (známou V ). Pokud to není zajištěno, mohou se objevit vedlejší účinky. Pak bude možná nutné pracovat v tranzitivní geostatistice .
Čistý náhodný výběr
Pokud jsou vzorky nastaveny náhodně, nezávisle na sobě a rovnoměrně v poli V, které se má odhadnout, je problém odhadnout průměrně .
ZPROTI=1PROTI∫PROTIZ(X)dX{\ displaystyle \ scriptstyle Z_ {V} = {\ frac {1} {V}} \ int _ {V} Z (x) \ mathrm {d} x}1NE∑iZ(Xi){\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {1} {N}} \ součet _ {i} Z (x_ {i})}
Rozptyl odhadu se zapisuje pomocí dílčích chyb Z (X i ) - Z V ve tvaru:σE2=1NE2PROTInar[∑i(Z(Xi)-ZPROTI)]{\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {E}}} ^ {2} = {\ frac {1} {N ^ {2}}} \ mathbf {Var} \ left [\ sum _ {i} \ left (Z \ levý (X_ {i} \ pravý) -Z_ {V} \ pravý) \ pravý]}
Za stacionárního předpokladu nebo za vnitřního předpokladu bez driftu se zapíše varianční odhad:
σE2=1NEσ2(Ó|PROTI){\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {E}}} ^ {2} = {\ frac {1} {N}} \ sigma ^ {2} \ vlevo (o | V \ vpravo)}
Demonstrace
Za stacionárního předpokladu nebo za vnitřního předpokladu bez driftu se zapíše varianční odhad:
σE2=PROTInar[1NE∑i(Z(Xi)-ZPROTI)](1) =1NE2PROTInar[∑i(Z(Xi)-ZPROTI)](2) =1NE2E[(∑iZ(Xi)-ZPROTI)2](3) =1NE2E[E[(∑iZ(Xi)-ZPROTI)2]|Z](4) σE2(∙|Z=z)=1NE2E[(∑iz(Xi)-zPROTI)2](5) =1NE2∑iE[(z(Xi)-zPROTI)2](6) =1NE2∑i1PROTI∫proti(z(X)-zPROTI)2dX(7) =1NE2∑is2(Ó|PROTI)(8) =1NEs2(Ó|PROTI) σE2=1NEσ2(Ó|PROTI)(9){\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ sigma _ {\ mathrm {E}}} ^ {2} & = \ mathbf {Var} \ left [{\ frac {1} {N}} \ sum _ {i } \ left (Z \ left (X_ {i} \ right) -Z_ {V} \ right) \ right] & (1) \\\ & = {\ frac {1} {N ^ {2}}} \ mathbf {Var} \ left [\ sum _ {i} \ left (Z \ left (X_ {i} \ right) -Z_ {V} \ right) \ right] & (2) \\\ & = {\ frac {1} {N ^ {2}}} \ mathbf {E} \ left [\ left (\ sum _ {i} Z \ left (X_ {i} \ right) -Z_ {V} \ right) ^ {2 } \ right] & (3) \\\ & = {\ frac {1} {N ^ {2}}} \ mathbf {E} \ left [\ mathbf {E} \ left [\ left (\ sum _ { i} Z \ left (X_ {i} \ right) -Z_ {V} \ right) ^ {2} \ right] | Z \ right] & (4) \\\ {\ sigma _ {\ mathrm {E} }} ^ {2} \ left (\ bullet | Z = z \ right) & = {\ frac {1} {N ^ {2}}} \ mathbf {E} \ left [\ left (\ sum _ {i } z \ left (X_ {i} \ right) -z_ {V} \ right) ^ {2} \ right] & (5) \\\ & = {\ frac {1} {N ^ {2}}} \ sum _ {i} \ mathbf {E} \ left [\ left (z \ left (X_ {i} \ right) -z_ {V} \ right) ^ {2} \ right] & (6) \\\ & = {\ frac {1} {N ^ {2}}} \ sum _ {i} {\ frac {1} {V}} \ int _ {v} \ left (z \ left (x \ right) - z_ {V} \ right) ^ {2} \ mathrm {d} x & (7) \\\ & = {\ frac {1} {N ^ {2}}} \ sum _ {i} s ^ {2 } (o | V) & (8) \\\ & = {\ frac {1} {N}} s ^ {2} \ left (o | V \ right) \\\ {\ sigma _ {\ mathrm { E}}} ^ {2} & = {\ frac {1} {N}} \ s igma ^ {2} \ left (o | V \ right) & (9) \ end {aligned}}}
- podle definice rozptylu odhadu.
- Z (X i ) - Z V jsou parciální chyby.
- stacionární hypotéza nebo vnitřní hypotéza bez driftu: částečné chyby mají nulové očekávání.
- podmíněným očekáváním.
- s pevnou realizací náhodné funkce (pracujeme na podmíněné odchylce).
- X i jsou nezávislé; zkřížené výrazy jsou kovarianty nezávislých náhodných proměnných, tedy nula.
- Zákon X i ve V je jednotný.
- podle definice statistické odchylky.
- déconditionnant exprese vzhledem k Z .
Stratifikovaný náhodný výběr
Je oddíl v i identické objemy V , domény odhad V . Pro každou subdoménu je nezávisle odebrán jedinečný vzorek. Rozptyl odhadu je pak:
σE2=1NEσ2(0|proti){\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {E}}} ^ {2} = {\ frac {1} {N}} \ sigma ^ {2} \ left (0 | v \ right)}
Tato varianta odhadu je nižší než v předchozím případě.
Pravidelné pletivo s preferenční implantací
Je oddíl v i identické objemy V , domény odhad V . U každé subdomény je v jejím středu odebrán vzorek. Rozptyl odhadu se jeví jako součet tří složek:
- řádkový termín: rozptyl chyby při odhadu elementárního objemu podle jeho centrálního vzorku;
- výraz sekce: rozptyl chyby provedené při odhadu plánu váženým průměrem řádků, které obsahuje;
- slice term: rozptyl chyby provedené při odhadu pole váženým průměrem jeho sekcí.
Platnost tohoto principu složení není vynucená.
Empirické pravidlo je, že odhadce bude o to lepší, pokud bude mít velmi strukturovanou náhodnou funkci, že míry budou pravidelně umisťovány, a pokud bude náhodná funkce nestrukturovaná, bude jich mnoho.
Místní odhad
Místní odhad lokálně staví odhad na základě dostupných údajů. V lineárních geostatistiky , množství, které se odhaduje bude lineární funkční na regionalizovanou proměnné ; podobně bude odhadem lineární kombinace dat a chyba odhadu lineární funkcí na regionalizované proměnné. Váhy lineární kombinace tvořící odhad jsou dány minimalizací odchylky chyb. Tento místní odhad se nazývá kriging .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">