Cliffordovo vlákno

V matematice je Cliffordův svazek pojmem diferenciální geometrie, který umožňuje rozšířit pojem Cliffordovy algebry na rámec orientovaných Riemannovských variet , tedy „zakřivených“ prostorů opatřených metrikou. Stejně jako Cliffordova algebra i balíček Clifford nabízí užitečný výpočetní rámec pro zavedení konceptů geometrie spinoru .

Příbuzný koncept má velmi podobný název: svazek Cliffordova modulu je vektorový svazek, jehož vlákna nesou strukturu Cliffordského modulu, tj. Tvoří reprezentační prostor Cliffordova svazku. To zahrnuje samotný balíček Clifford, možné balíčky spinorů , a to dává vhodný rámec pro definování obecného pojmu Diracova operátora .

Všeobecné

Možné definice

Nechť X je orientované Riemannovo potrubí. Můžeme uvažovat vlákno p - multivektorů , to znamená tenzor řádu ( p , 0) . Můžeme definovat Cliffordův svazek přesně tak, jak definujeme algebru, tj. Prostor získaný uvažováním zákoníku produktu na multivektorech všech řádů tak, aby všechny výrazy byly nulové. ⨂pTX{\ displaystyle \ bigotimes ^ {p} TX}proti×proti+‖proti‖2{\ displaystyle v \ times v + \ | v \ | ^ {2}}

Formálně je tedy svazek kvocientovým prostorem svazku tenzorů svazkem ideálů generovaných prvky formuláře  : Já(TX){\ displaystyle I (TX)}proti⊗proti+‖proti‖2{\ displaystyle v \ otimes v + \ | v \ | ^ {2}}

VSℓ(X)=(∑r=0+∞⨂pTX)/Já(TX){\ displaystyle \ mathrm {C} \ ell (X) = \ left (\ sum _ {r = 0} ^ {+ \ infty} \ bigotimes ^ {p} TX \ right) / I (TX)}

A obecněji mluvíme o Cliffordově svazku riemannovského svazku orientovaného na E  : vezmeme stejnou definici s tenzorovými silami E místo TM .

Další možnou definicí Cliffordova svazku je říci, že se jedná o svazek spojený s běžným znázorněním speciální ortogonální skupiny v Cliffordově algebře . SÓ(ne){\ displaystyle SO (n)} VSℓ(Rne){\ displaystyle \ mathrm {C} \ ell (\ mathbb {R} ^ {n})}

Rozšíření výsledků na Cliffordské algebry

Takto konstruovaný svazek vláken má vlákno po vláknu strukturu Cliffordovy algebry . Zůstává- 2- promoce, která umožňuje rozložit svazek podle parity

VSℓ(E)=VSℓ0(E)⊕VSℓ1(E){\ displaystyle \ mathrm {C} \ ell (E) = \ mathrm {C} \ ell ^ {0} (E) \ oplus \ mathrm {C} \ ell ^ {1} (E)}

Zjistili jsme také kanonický izomorfismus s vnější algebrou , a tedy ℤ -gradaci jako vektorový svazek.

Spojení Levi-Civita spojené s metrikou nabízí kanonický způsob odvození vektorů a tenzorů: je spojeno s kanonickým spojením na Cliffordově svazku, které respektuje ℤ-promoci a ℤ 2- promoci. Forma svazku má nulovou kovariantní derivaci (nazývá se „paralelní“). Pro části balíčku Clifford a zákon o produktech Clifford máme pravidlo Leibniz :

∇(ϕ×ψ)=ϕ×(∇ψ)+(∇ϕ)×ψ{\ Displaystyle \ nabla (\ phi \ krát \ psi) = \ phi \ krát (\ nabla \ psi) + (\ nabla \ phi) \ krát \ psi}

Složité vlákno

Můžeme představit komplexní Cliffordovy algebry a svazky pomocí komplexizace skutečných algeber. Mají operátor chirality, který je vyjádřen přímým ortonormálním způsobem následovně

Γ=i⌈ne/2⌉E1×⋯×Ene,{\ displaystyle \ Gamma = i ^ {\ lceil n / 2 \ rceil} e_ {1} \ krát \ tečky \ časy e_ {n},}

výpočet, který je ve skutečnosti nezávislý na zvoleném základě a který poskytuje část Cliffordova svazku.

Reprezentace: Cliffordovy moduly

Cliffordův modul modulu S na X je tvořen vláknem po vlákně, levé moduly na Cliffordově algebře. Můžeme tedy vynásobit část S úsekem Cliffordovy algebry, například vektorovým polem: toto je pak zaznamenáno . X⋅σ{\ displaystyle X \ cdot \ sigma}

Dirac vlákna a operátoři

Nejzajímavějšími svazky jsou balíčky Dirac, pro které máme riemannovskou strukturu a spojení přizpůsobené v tom smyslu, že

- násobení o jednotkové tangenciálním vektorem e z X představuje isometry na vlákno z S <E⋅σ1,E⋅σ2> = <σ1,σ2>{\ displaystyle <e \ cdot \ sigma _ {1}, e \ cdot \ sigma _ {2}> = <\ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}>} - připojení je kompatibilní se strukturou modulu ∇(ϕ⋅σ)=(∇ϕ)⋅σ+ϕ⋅∇σ{\ Displaystyle \ nabla (\ phi \ cdot \ sigma) = (\ nabla \ phi) \ cdot \ sigma + \ phi \ cdot \ nabla \ sigma}

Takový balíček pak má přirozeně definovaného operátora, operátora Dirac . Můžeme dát výraz v ortonormálním základě (i když to nezávisí na výběru tohoto základu)

Dσ=∑i=1neEi⋅∇Ei(σ){\ displaystyle D \ sigma = \ součet _ {i = 1} ^ {n} e_ {i} \ cdot \ nabla _ {e_ {i}} (\ sigma)}

Výpočet hlavních symbolů ukazuje, že čtverec provozovatele Diracův mohou být klasifikovány jako Laplaceův operátor působící na svazku S . To je zájem takových konstrukcí: získat operátor laplaciánského typu a dát jej do podoby čtverce samostatně přidaného operátoru, díky čemuž je stanovení jádra obzvláště bohaté na informace.

Spinorial vlákna

Spinorové svazky lze považovat za speciální případy Diracových svazků, ale jsou definovány pouze v případě, že odrůda X má strukturu spinorů  : Spin nebo alespoň Spin c .

Poznámky a odkazy

1. Lawson a Michelsohn 1989 , str.  95
2. Lawson a Michelsohn 1989 , str.  107
3. Jost 2002 , s. 64 a 76
4. Lawson a Michelsohn 1989 , str.  113

Bibliografie

• (en) Jürgen Jost , Riemannova geometrie a geometrická analýza ,2002[ detail vydání ]
• (en) H. Blaine Lawson  (en) a Marie-Louise Michelsohn , Spin Geometry , PUP ,1989( ISBN  978-0-691-08542-5 )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">