Vzorec celkové pravděpodobnosti

V teorii pravděpodobnosti je celková pravděpodobnost vzorec je teorém , který umožňuje vypočítat pravděpodobnost o o události rozkladem podle toho, s celkovým systémem událostí.

Státy

Vzorec celkové pravděpodobnosti - Dáme si prostor pravděpodobnosti If je vyčerpávající (konečný nebo spočetný ) systém událostí , a pokud vůbec, pak pro jakoukoli událost ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P}).}$ ${\ displaystyle (B_ {i}) _ {\, i \ v I}}$ ${\ displaystyle i \ in I,}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (B_ {i}) \ neq 0,}$ ${\ displaystyle A,}$

{\ displaystyle \ mathbb {P} (A) = \ součet _ {i \ v I} \ mathbb {P} (A | B_ {i}) \ mathbb {P} (B_ {i}) = \ součet _ { i \ in I} \ mathbb {P} (A \ cap B_ {i}).}

Poznámky:

Při definování představuje problém: bude podmíněná pravděpodobnost of vědět událost, která nikdy dochází, a to Obvyklou definicí by pak vedlo k dělení podle 0 ... A smlouvy, která je zřídka škodlivý skládá, když připisovat libovolnou hodnotu mezi 0 a 1: nikdy nemusíme předpovídat pravděpodobnost vědění události, protože k ní nikdy nedojde, takže přiřazení libovolné hodnoty nezpůsobí žádnou chybu. Na druhou stranu je ve vzorci celkové pravděpodobnosti přiřazení libovolné hodnoty mezi 0 a 1 irelevantní, protože tuto hodnotu potom vynásobíme souhrnem, s touto konvencí je předpoklad pro celkový vzorec pravděpodobnosti nadbytečný . ${\ displaystyle \ mathbb {P} (B_ {i}) = 0,}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ $NA$ ${\ displaystyle B_ {i}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (B_ {i}) = 0,}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ $NA$ ${\ displaystyle B_ {i},}$ $Bi}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ ${\ displaystyle 0 = \ mathbb {P} (B_ {i}).}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (B_ {i}) \ neq 0}$
Hypotéza, podle níž je vyčerpávající systém, může být oslabena : může být nahrazena Je naopak důležité, aby byly disjunktní. ${\ displaystyle (B_ {i}) _ {\, i \ v I}}$ ${\ displaystyle \ cup _ {\, i \ in I} B_ {i} = \ Omega}$ ${\ displaystyle \ cup _ {\, i \ in I} B_ {i} \ supset A.}$ $Bi}$

Varianta

Věta - Zvažte pravděpodobnost prostor a událostí A . Pokud je oddíl (konečný nebo spočetný) události B , ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P})}$ ${\ displaystyle (B_ {i}) _ {\, i \ v I}}$

{\ mathbb {P}} (A | B) = \ sum _ {{i \ in I}} {\ mathbb {P}} (A | B_ {i}) {\ mathbb {P}} (B_ {i } | B).

Demonstrace

{\ begin {aligned} {\ mathbb {P}} (A \ cap B) & = \ sum _ {{i \ in I}} {\ mathbb {P}} (A \ cap B_ {i}) \\ & = \ sum _ {{i \ in I}} {\ mathbb {P}} (A | B_ {i}) {\ mathbb {P}} (B_ {i}) \\ & = \ sum _ {{ i \ in I}} {\ mathbb {P}} (A | B_ {i}) {\ mathbb {P}} (B_ {i} | B) {\ mathbb {P}} (B), \ end { zarovnaný}}

protože CQFD ${\ displaystyle B_ {i} \ čepice B = B_ {i}.}$

Důsledek - Pokud je oddíl (konečný nebo spočetný) události B , a pokud nezávisí na i , pak společná hodnota podmíněných pravděpodobností je ${\ displaystyle (B_ {i}) _ {\, i \ v I}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B).}$

Demonstrace

Označme x společnou hodnotu podmíněných pravděpodobností Then ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i}).}$

{\ begin {aligned} {\ mathbb {P}} (A | B) & = \ sum _ {{i \ in I}} {\ mathbb {P}} (A | B_ {i}) {\ mathbb { P}} (B_ {i} | B) \\ & = x \ \ sum _ {{i \ in I}} {\ mathbb {P}} (B_ {i} | B) \\ & = x. \ konec {zarovnáno}}

CQFD

Tento důsledek umožňuje snížit výpočet na výpočet někdy snadnějšího, protože událost B i , která je menší než událost B , poskytuje přesnější informace a tím usnadňuje prognózu (prognóza = výpočet podmíněné pravděpodobnosti). Případ často nastává při studiu dvou markovských řetězců, z nichž jeden je obrazem druhého. Důkaz o Markovově vlastnosti pro Galton-Watsonovy procesy je jen jedním příkladem z mnoha. ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i}),}$

Zejména se důsledek často používá v případě, že B = Ω , a poté umožňuje snížit výpočet na výpočet ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i}).}$

Podívejte se také

Složený vzorec pravděpodobnosti