Hlavní osa

V geometrii je hlavní osa ( latinsky : axis maior ) elipsy nejdelší průměr tohoto kuželosečky .

Hlavní poloosa (latinsky poloosa Maior ) je polovina hlavní osy. Pokud je elipsa kruh , je její polořadovka hlavní poloměr .

Zvýraznění

Elipsa je podle definice množina bodů roviny, jejíž součet vzdáleností ke dvěma pevným bodům a roviny je konstantní. $\ mathcal {E}$ $M$ $\ mathcal {P}$ $F$ $F '$ $\ mathcal {P}$

Tato konstanta je vzdálenost, která se nazývá hlavní osa . $2a$ $\ mathcal {E}$

{\ mathcal {E}} \; {\ overset {{\ underset {{\ mathrm {def}}} {}}} {=}} \; \ {{M \ v {{\ mathcal {P}}} \; | \; {\ overline {FM} + \ overline {F'M} = cte \; {\ overset {{\ underset {{\ mathrm {def}}} {}}} {=}} \; 2a }} \}

Etymologie

Přímka, jejíž hlavní osou je segment, je jednou ze dvou os symetrie elipsy (v latině: osa v singuláru).

Hlavní osa je větší ( hlavní ) než vedlejší osa .

Definice

Hlavní osou elipsy je její největší průměr , segment, který protíná střed i dvě ohniska elipsy a spojuje ji ve svých dvou protilehlých bodech. Poloviční hlavní osa odpovídá polovině hlavní osy a spojuje střed a okraj elipsy jedním z ohnisek.

Podobně je jeho vedlejší osa segment kolmý na hlavní osu, procházející středem a spojující elipsu . Osy jsou eliptické ekvivalenty průměrů kruhu , zatímco poloosy jsou analogy poloměrů .

Délka poloviční hlavní osy a délka poloviční vedlejší osy jsou spojeny excentricitou a „parametrem“ elipsy, obecně známým jako p , představujícím konečník polovičního latusu (akord rovnoběžný s přímkou a procházející zaostřením ): $na$ $b$ $E$

b = a {\ sqrt {1-e ^ {2}}}

{\ displaystyle p = a (1-e ^ {2})}

{\ displaystyle ap = b ^ {2}}

Související pojmy

Hlavní kruh

Kružnice se středem , středem elipsy a průměrem , hlavní osou elipsy, je hlavní kružnicí elipsy. $\ mathcal {C}$ $Ó$ $\ mathcal {E}$ $d = 2a$

Elipsa je obrazem hlavní kružnice základem Ox a poměrnou ortogonální afinitou . $\ mathcal {E}$ $\ mathcal {C}$ $b / a$

Ekvivalentní pojmy

Kružnice je elipsa s nulovou lineární výstředností, hlavní osou kruhu je jeho průměr a jeho polohlavní osa jeho poloměr.

Hyperbola je kužel lineární excentricity větší než 1. Příčná osa hyperboly, úsečka přímky, která protíná střed a dvě ohniska hyperboly, je ekvivalentem poloviční hlavní osy e 'elipsy. Osa konjugátu hyperboly, segment čáry zahrnutý mezi jedním z vrcholů hyperboly a jednou z linií asymptotů ke křivce stejného vrcholu, je ekvivalentní k semi-menší ose elipsy.

Astronomie

Oběžná doba

V astronomii je semi-hlavní osa důležitým orbitálním prvkem , což umožňuje částečně definovat oběžnou dráhu . Obecně platí, že v souvislosti s problémem dvou těles je druhou mocninou oběžné doby jednoho tělesa obíhajícího kolem jiného tělesa hmota : $T$ $m$ $M$

T ^ {2} = {\ frac {4 \ pi ^ {2}} {G (M + m)}} a ^ {3} \,

nebo:

$na$ je délka poloviční hlavní osy;
$G$ je gravitační konstanta .

Pokud je jedno z těl dostatečně malé, že je jeho hmotnost zanedbána ve srovnání s druhým:

T = 2 \ pi {\ sqrt {a ^ {3} / \ mu}}

kde je standardní gravitační parametr . $\ mu$

V tomto případě je pro všechny oběžné dráhy stejné poloviční hlavní osy období stejné bez ohledu na výstřednost.

Získáváme proto následující proporcionalitu:

T ^ {2} \ propto a ^ {3}

což odpovídá třetímu zákonu Keplera .

Průměrná vzdálenost

Poloviční hlavní osa nemusí nutně odpovídat průměrné vzdálenosti mezi dvěma tělesy na oběžné dráze, protože tato vzdálenost závisí na použité metodě:

Výpočtem průměru vzdálenosti přes excentrickou anomálii skutečně najdeme polořadovku.
Průměr nad skutečnou anomálií dává poloviční vedlejší osu .
Průměrování průměrné anomálie vede k hodnotě . $a \ left (1 + {\ frac {e ^ {2}} {2}} \ right)$

Navíc „střední poloměr elipsy“, který ve skutečnosti označuje poloměr kruhu se stejnou oblastí, je . ${\ sqrt {ab}} = a {\ sqrt [{4}] {1-e ^ {2}}}$

Podívejte se také

Související články

Externí odkaz

(en) „ Semi-major / Semi-minor axis of an ellipse “ , na mathopenref.com (s interaktivní animací)