Le Cam nerovnost

Le Cam nerovnost , kvůli Lucien Le Cam , určuje rychlost sbližování právních předpisů sumy velkého množství nezávislých Bernoulliho proměnných malého parametru vůči právu Poisson . Jeho demonstrace, elegantní a nepříliš vypočítavá, ilustruje metodu spojování popularizovanou Wolfgangem Döblinem .

Státy

Dovolit být pole nezávislých Bernoulliho náhodných proměnných s příslušnými parametry. Označujeme (X1,ne,X2,ne,...,Xnane,ne)ne≥1{\ displaystyle (X_ {1, n}, X_ {2, n}, \ tečky, X_ {a_ {n}, n}) _ {n \ geq 1}} pk,ne.{\ displaystyle p_ {k, n}.}

Sne=∑k=1naneXk,neaλne = E[Sne]=∑k=1nanepk,ne.{\ displaystyle S_ {n} = \ součet _ {k = 1} ^ {a_ {n}} \, X_ {k, n} \ quad {\ text {a}} \ quad \ lambda _ {n} \ = \ \ mathbb {E} [S_ {n}] = \ součet _ {k = 1} ^ {a_ {n}} \, p_ {k, n}.}

Tak

Nerovnost Le Cam  -  pro libovolnou množinu A přirozených čísel,

|P(Sne∈NA)-∑ℓ∈NAλneℓE-λneℓ!| ≤ ∑k=1nanepk,ne2.{\ displaystyle \ left | \ mathbb {P} \ left (S_ {n} \ in A \ right) - \ sum _ {\ ell \ in A} \, {\ frac {\ lambda _ {n} ^ {\ ell} \, e ^ {- \ lambda _ {n}}} {\ ell!}} \ right | \ \ leq \ \ sum _ {k = 1} ^ {a_ {n}} \, p_ {k, n} ^ {2}.}

Zejména, S n přibližně sleduje zákon Poisson s parametrem lambda jako jakmile jsou splněny tyto dvě podmínky:

• limneλne=λ>0, {\ displaystyle \ lim _ {n} \ lambda _ {n} \, = \, \ lambda> 0, \}
• limne∑k=1nanepk,ne2=0. {\ displaystyle \ lim _ {n} \ součet _ {k = 1} ^ {a_ {n}} \, p_ {k, n} ^ {2} \, = \, 0. \}

Nerovnost Le Cam ve skutečnosti znamená, že:

∑ℓ∈NE |P(Sne=ℓ)-λneℓE-λneℓ!| ≤ 2 ∑k=1nanepk,ne2.{\ displaystyle \ sum _ {\ ell \ in \ mathbb {N}} \ \ vlevo | \ mathbb {P} \ vlevo (S_ {n} = \ ell \ right) - \, {\ frac {\ lambda _ { n} ^ {\ ell} \, e ^ {- \ lambda _ {n}}} {\ ell!}} \ doprava | \ \ leq \ 2 \ \ sum _ {k = 1} ^ {a_ {n} } \, p_ {k, n} ^ {2}.}

Důsledek: Poissonovo paradigma

Pojďme pózovat

Mne=max1≤k≤nanepk,ne.{\ displaystyle M_ {n} = \ max _ {1 \ leq k \ leq a_ {n}} \, p_ {k, n}.}

Máme nerovnosti:

Mne2≤∑1≤k≤nanepk,ne2≤Mneλne,anane≥λne/Mne,{\ displaystyle M_ {n} ^ {2} \ leq \ sum _ {1 \ leq k \ leq a_ {n}} \, p_ {k, n} ^ {2} \ leq M_ {n} \ lambda _ { n}, \ quad {\ text {a}} \ quad a_ {n} \ geq \ lambda _ {n} / M_ {n},}

tedy obě podmínky a objevit se v předchozím oddíle , za následek limneλne=λ>0, {\ displaystyle \ lim _ {n} \ lambda _ {n} \, = \, \ lambda> 0, \}limne∑k=1nanepk,ne2=0, {\ displaystyle \ lim _ {n} \ součet _ {k = 1} ^ {a_ {n}} \, p_ {k, n} ^ {2} \, = \, 0, \}

• limneMne=0, {\ displaystyle \ lim _ {n} M_ {n} \, = \, 0, \}
• limnenane=+∞. {\ displaystyle \ lim _ {n} a_ {n} \, = \, + \ infty. \}

Obě podmínky a jsou často přeformulovat neformálně takto: limneMne=0 {\ displaystyle \ lim _ {n} M_ {n} \, = \, 0 \}limnenane=+∞ {\ displaystyle \ lim _ {n} a_ {n} \, = \, + \ infty \}

Poissonovo paradigma  -  součet S n velkého počtu nezávislých Bernoulliho proměnných malého parametru přibližně následuje Poissonovo rozdělení parametruE[Sne].{\ displaystyle \ mathbb {E} [S_ {n}].}

Poznámky

• Tato vlastnost může zůstat pravdivá, pokud uvolníme předpoklad nezávislosti , jak vidíme v případě náhodně nakresleného počtu pevných bodů permutace . Poissonovo paradigma bylo zobecněno mnoha směry.
• Konkrétní případ a n = n, λ n = λ / n Le Camovy nerovnosti určuje rychlost konvergence binomického zákona parametrů n a λ / n k Poissonovu zákonu parametru λ .

Demonstrace

Bernoulli-Poissonovo zákonné spojení

Myšlenkou je vystavit zákon pravděpodobnosti μ p , na rovině, z nichž první okrajový je Bernoulliho zákon , druhý Poissonův zákon , oba s očekáváním p , takže váha prvního půleného pole je maximální. Jinými slovy, jde o konstrukci, na dobře zvoleném pravděpodobnostním prostoru, dvě skutečné náhodné proměnné X a Y , X podle Bernoulliho zákona parametru p , Y podle Poissonova zákona parametru p , takže je minimální, nebo , alespoň dostatečně malý, μ p pak je společným zákonem páru (X, Y) . Je to jasné P(X≠Y){\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ neq Y)}

P(X=Y=k)≤min(P(X=k),P(Y=k)),{\ displaystyle \ mathbb {P} (X = Y = k) \ leq \ min \ vlevo (\ mathbb {P} (X = k), \ mathbb {P} (Y = k) \ vpravo),}

aby

P(X=Y)≤∑k min(P(X=k),P(Y=k)).{\ displaystyle \ mathbb {P} (X = Y) \ leq \ suma _ {k} \ \ min \ vlevo (\ mathbb {P} (X = k), \ mathbb {P} (Y = k) \ vpravo ).}

V případě Poisson-Bernoulliho je této meze dosaženo pomocí inverzní věty , aby se konstrukce X a Y vytvořila v intervalu ] 0,1 [ poskytnuto s Lebesgueovou mírou. Tak

X(ω) = 11[1-p,1[(ω),{\ displaystyle X (\ omega) \ = \ 1 \! \! 1 _ {[1-p, 1 [} (\ omega),}

zatímco

Y(ω) = 11[E-p,(1+p)E-p[(ω)+211[(1+p)E-p,(1+p+(p2/2))E-p[(ω)+...,{\ displaystyle Y (\ omega) \ = \ 1 \! \! 1 _ {[e ^ {- p}, (1 + p) e ^ {- p} [} (\ omega) \, + \, 2 \, 1 \! \! 1 _ {[(1 + p) e ^ {- p}, (1 + p + (p ^ {2} / 2)) e ^ {- p} [} (\ omega) \, + \, \ tečky,}

V tomto případě se X a Y shodují v intervalech:

• ] 0,1-p [ , kde 2 proměnné jsou rovny 0,
• a [e -p , (1 + p) e -p [ , kde 2 proměnné jsou rovny 1.

Tyto dvě proměnné se liší v doplňku spojení těchto dvou intervalů, tj. V [1-p, 1 [\ [e -p , (1 + p) e -p [ . Tak,

P(X=Y)=∑k min(P(X=k),P(Y=k))=min(1-p,E-p)+min(p,pE-p)=1-p+pE-p,{\ displaystyle \ mathbb {P} (X = Y) = \ součet _ {k} \ \ min \ vlevo ({\ scriptstyle \ mathbb {P} (X = k), \ mathbb {P} (Y = k) } \ right) = \ min (1-p, e ^ {- p}) + \ min (p, pe ^ {- p}) = 1-p + pe ^ {- p},}

a

μp({(X,y)|X≠y}) = P(X≠Y) = p(1-E-p) ≤ p2.{\ displaystyle \ mu _ {p} (\ {(x, y) \, | \, x \ neq y \}) \ = \ \ mathbb {P} (X \ neq Y) \ = \ p \ vlevo ( 1-e ^ {- p} \ vpravo) \ \ leq \ p ^ {2}.}

Závěr

Dáme si posloupnost nezávislých náhodných proměnných s hodnotami v rovině, takže zákon pravděpodobnosti každého členu posloupnosti je Označíme a dvě souřadnice a nastavíme (Zk,ne)1≤k≤ne,{\ displaystyle (Z_ {k, n}) _ {1 \ leq k \ leq n},}Zk,ne{\ displaystyle Z_ {k, n}}μpk,ne.{\ displaystyle \ mu _ {p_ {k, n}}.}Xk,ne{\ displaystyle X_ {k, n}}Yk,ne{\ displaystyle Y_ {k, n}}Zk,ne,{\ displaystyle Z_ {k, n},}

Žne=∑k=1naneYk,ne.{\ displaystyle W_ {n} = \ součet _ {k = 1} ^ {a_ {n}} \, Y_ {k, n}.}

Tak :

• jim jsou nezávislé a následovat Bernoulliho zákony parametrůXk,ne{\ displaystyle X_ {k, n}}pk,ne ;{\ displaystyle p_ {k, n} \;}
• jejich součet S n má tedy zákon, který chceme studovat;
• jim jsou nezávislé a následovat Poisson zákony parametrůYk,ne{\ displaystyle Y_ {k, n}}pk,ne ;{\ displaystyle p_ {k, n} \;}
• W n sleduje Poissonovo rozdělení parametru, které je součtem nezávislých Poissonových proměnných parametrůλne = ∑k=1nanepk,ne,{\ displaystyle \ lambda _ {n} \ = \ \ součet _ {k = 1} ^ {a_ {n}} \, p_ {k, n},}pk,ne ;{\ displaystyle p_ {k, n} \;}
• navrhovaná aproximace je zejména :P(Sne∈NA){\ displaystyle \ mathbb {P} \ vlevo (S_ {n} \ v A \ vpravo)}

P(Žne∈NA) = ∑ℓ∈NAλneℓE-λneℓ! ;{\ displaystyle \ mathbb {P} \ vlevo (W_ {n} \ v A \ vpravo) \ = \ \ součet _ {\ ell \ v A} \, {\ frac {\ lambda _ {n} ^ {\ ell } \, e ^ {- \ lambda _ {n}}} {\ ell!}} \;}

• P(Xk,ne≠Yk,ne) ≤ pk,ne2.{\ displaystyle \ mathbb {P} (X_ {k, n} \ neq Y_ {k, n}) \ \ leq \ p_ {k, n} ^ {2}.}

My máme

P(Sne∈NA)-P(Žne∈NA)≤P(Sne∈NA)-P(Žne∈NA a Sne∈NA)=P(Sne∈NA a Žne∉NA)≤P(Sne≠Žne){\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ mathbb {P} \ vlevo (S_ {n} \ v A \ vpravo) - \ mathbb {P} \ vlevo (W_ {n} \ v A \ vpravo) & \ leq \ mathbb {P} \ left (S_ {n} \ in A \ right) - \ mathbb {P} \ left (W_ {n} \ in A {\ text {et}} S_ {n} \ in A \ right) \\ & = \ mathbb {P} \ left (S_ {n} \ in A {\ text {et}} W_ {n} \ notin A \ right) \\ & \ leq \ mathbb {P} \ left (S_ {n} \ neq W_ {n} \ right) \ end {zarovnáno}}}

a výměnou role W n a role S n ,

|P(Sne∈NA)-P(Žne∈NA)|≤P(Sne≠Žne).{\ displaystyle \ left | \ mathbb {P} \ left (S_ {n} \ in A \ right) - \ mathbb {P} \ left (W_ {n} \ in A \ right) \ right | \ leq \ mathbb {P} \ left (S_ {n} \ neq W_ {n} \ right).}

Navíc, jak

{Sne≠Žne} ⊂ {∃k jako Xk,ne≠Yk,ne},{\ displaystyle \ {S_ {n} \ neq W_ {n} \} \ \ podmnožina \ \ vlevo \ {\ existuje k {\ text {jako}} X_ {k, n} \ neq Y_ {k, n} \ že jo \},}

odvodíme to

{ω∈Ω|Sne(ω)≠Žne(ω)} ⊂ ⋃1≤k≤nane{ω∈Ω|Xk,ne(ω)≠Yk,ne(ω)},{\ displaystyle \ {\ omega \ v \ Omega \, | \, S_ {n} (\ omega) \ neq W_ {n} (\ omega) \} \ \ podmnožina \ \ bigcup _ {1 \ leq k \ leq a_ {n}} \ left \ {\ omega \ in \ Omega \, | \, X_ {k, n} (\ omega) \ neq Y_ {k, n} (\ omega) \ right \},}

Konečně

P(Sne≠Žne) ≤ ∑1≤k≤naneP(Xk,ne≠Yk,ne) ≤ ∑1≤k≤nane pk,ne2.{\ displaystyle \ mathbb {P} \ vlevo (S_ {n} \ neq W_ {n} \ vpravo) \ \ leq \ \ součet _ {1 \ leq k \ leq a_ {n}} \ mathbb {P} \ vlevo (\, X_ {k, n} \ neq Y_ {k, n} \ doprava) \ \ leq \ \ sum _ {1 \ leq k \ leq a_ {n}} \ p_ {k, n} ^ {2} .}

Mít

Poznámky

1. Původní článek: (in) L. Le Cam , „  The Aproximation Theorem for the Binomial Distribution Poisson  “ , Pacific Journal of Mathematics , sv.  10, n O  4,1960, str.  1181–1197 ( číst online , přístup k 13. května 2009 ). Online referencí je (en) Torgny Lindvall , Přednášky o spojovací metodě , New York / Chichester / Brisbane (Austrálie), John Wiley & Sons ,1992, 1 st  ed. , 257  s. ( ISBN  0-471-54025-0 ) , s.  4-6.
2. (in) AD Barbour , L. Holst a S. Janson , Poissonova aproximace , Oxford, Clarendon Press, Oxford University Press,1992, 277  s. ( ISBN  0-19-852235-5 ).
3. Pohled (in) Torgny Lindvall , Přednášky o spojovací metodě , New York / Chichester / Brisbane (Austrálie), John Wiley & Sons ,1992, 1 st  ed. , 257  s. ( ISBN  0-471-54025-0 ) , s.  18-20, oddíl 1.5Zvlášť Věta 5.2, pro diskuzi o linku s variací na dálku , a důkaz, že tento terminál může ještě být dosaženo použitím vhodného stavebního X a Y .

Bibliografie

• (en) Torgny Lindvall , Přednášky o spojovací metodě , Dover Publications ,30. srpna 2002, 2 nd  ed. , 272  s. , brožovaná verze ( ISBN  0-486-42145-7 a 978-0486421452 , číst online )

Propojené stránky

• Lucien Le Cam
• Bernoulliho zákon
• Poissonův zákon
• Spojení (pravděpodobnosti)

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">