Borelův zákon nuly jedna

Zákon o nulové Borel byla zveřejněna v roce 1909 v článku The spočetnou pravděpodobnosti a aritmetické aplikací tím, že Émile Borel , na důkazu věty o běžných číslech , a pro aplikace k vlastnostem frakcí pokračuje . O něco později by si Cantelli všiml a použil skutečnost, že pro jeden ze dvou smyslů je hypotéza nezávislosti nadbytečná, což vede k Borel-Cantelliho lemmatu , které se s největší pravděpodobností běžně používá: hlavním příkladem je jistě demonstrace tím, že Kolmogorov , ze silného zákona velkých čísel .

Státy

V pravděpodobném prostoru uvažujme posloupnost prvků (neboli „událostí“). Borelův zákon nuly říká, že: ${\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P} \ right),}$ ${\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ geq 0}}$ ${\ mathcal {A}}$

Borel zákon nulové jeden - V případě, že události jsou nezávislé , pak

Rok}

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ vlevo (\ limsup _ {n} A_ {n} \ vpravo)}

se rovná 0 nebo 1 v závislosti na tom, zda je řada obecných výrazů konvergentní nebo divergentní.

{\ displaystyle \ mathbb {P} (A_ {n})}

Demonstrace

Pokud je řada obecných výrazů konvergentní, pak na základě Borel-Cantelliho lemmatu máme ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A_ {n})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ limsup _ {n} A_ {n} \ right) = 0.}$

V tomto smyslu je hypotéza nezávislosti nadbytečná.

Předpokládejme, že řada obecných termínů je odlišná a ukaž to ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A_ {n})}$

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ limsup _ {n} A_ {n} \ right) = 1,}

nebo ekvivalentně to ukázat

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left ({\ overline {\ limsup _ {n} A_ {n}}} \ right) = 0.}

Pamatuj si to

{\ displaystyle {\ overline {\ limsup _ {n} A_ {n}}} = \ liminf _ {n} \ {\ overline {A_ {n}}},}

podle zákonů De Morgana . Přesněji,

{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ overline {\ limsup _ {n} A_ {n}}} & = {\ overline {\ bigcap _ {n \ geq 0} \ bigcup _ {k \ geq n} A_ {k}}} \\ & = \ bigcup _ {n \ geq 0} \ bigcap _ {k \ geq n} {\ overline {A_ {k}}} \\ & = \ bigcup _ {n \ geq 0} B_ {n}, \ end {zarovnáno}}}

nebo

{\ displaystyle B_ {n} = \ bigcap _ {k \ geq n} {\ overline {A_ {k}}} = {\ overline {A_ {n}}} \ cap B_ {n + 1}}

je rostoucí řetězec událostí. Tak

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left ({\ overline {\ limsup _ {n} A_ {n}}} \ right) = \ lim _ {n} \ \ mathbb {P} \ left (B_ {n} \ že jo).}

Na závěr to ukazujeme . Pojďme pózovat ${\ displaystyle \ mathbb {P} \ doleva (B_ {n} \ doprava) = 0}$

{\ displaystyle B_ {n, \ ell} = \ bigcap _ {n \ leq k \ leq n + \ ell} {\ overline {A_ {k}}} = {\ overline {A_ {n + \ ell}}} \ cap B_ {n, \ ell -1}.}

Na základě nezávislosti ${\ displaystyle A_ {i},}$

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (B_ {n, \ ell} \ right) = \ prod _ {n \ leq k \ leq n + \ ell} \ mathbb {P} \ left ({\ overline {A_ {k}}} \ right) = \ prod _ {n \ leq k \ leq n + \ ell} \ left (1- \ mathbb {P} \ left (A_ {k} \ right) \ right).}

Pod poklesem o $\ Ell$ ${\ displaystyle B_ {n, \ ell},}$

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (B_ {n} \ right) = \ lim _ {\ ell} \ mathbb {P} \ left (B_ {n, \ ell} \ right).}

Nyní máme:

{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ mathbb {P} \ left (B_ {n, \ ell} \ right) & = \ prod _ {k = n} ^ {n + \ ell} \ left (1- \ mathbb {P} \ left (A_ {k} \ right) \ right) \\ & \ leq \ prod _ {k = n} ^ {n + \ ell} \ exp \ left (- \ mathbb {P} \ left (A_ {k} \ right) \ right) \\ & = \ exp \ left (- \ sum _ {k = n} ^ {n + \ ell} \ mathbb {P} \ left (A_ {k} \ right ) \ right) {\ underset {\ ell \ rightarrow \ infty} {\ longrightarrow}} 0 \ end {zarovnáno}}}

konvexitou exponenciální pak divergence řady obecných termínů, které doplňují důkaz. ${\ displaystyle \ mathbb {P} \ doleva (A_ {n} \ doprava),}$

Horní hranice množin

Definice - Horní hranice sekvence částí sady je soubor prvků z tak, že tvrzení platí pro nekonečno indexů . ${\ displaystyle \ textstyle \ limsup _ {n} \, A_ {n}}$ ${\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ geq 0} \,}$ $\ Omega$ $\ omega$ $\ Omega$ ${\ displaystyle \ {\ omega \ v A_ {k} \}}$ $k \ geq 0$

Jinými slovy, můžeme říci, že tehdy a jen tehdy, pokud je množina je nekonečná , jinak nespoutaný . Ekvivalentní formulace je následující: pro všechno můžeme najít takovou . Tato poslední formulace poskytuje pohodlné psaní horní hranice množin pomocí operací základních sad: ${\ displaystyle \ textstyle \ omega \ in \ limsup _ {n} \, A_ {n}}$ ${\ displaystyle \ {k \ geq 0 \ \ vert \ \ omega \ v A_ {k} \}}$ $n \ geq 0$ $k \ ge n$ ${\ displaystyle \ omega \ v A_ {k}}$

\ limsup _ {n} A_ {n} = \ bigcap _ {{n \ geq 0}} (\ bigcup _ {{k \ geq n}} A_ {k}).

Pod vlivem anglosaské terminologie také někdy řekneme, že právě tehdy, když „ nekonečně často “ nebo „ nekonečně často “, proto se v určitých pracích setkáváme s notací: ${\ displaystyle \ textstyle \ omega \ in \ limsup _ {n} \, A_ {n}}$ ${\ displaystyle \ {\ omega \ v A_ {k} \}}$

{\ mathbb {P}} \ left (\ limsup _ {n} A_ {n} \ right) = {\ mathbb {P}} \ left (A_ {n} \ quad {\ text {io}} \ right) .

Definice „ pokud a pouze pokud patří do nekonečna “ může být zavádějící: pokud jsou například všechny části stejné, může to být tak, že patří do pro nekonečno indexů , a může to tedy být tak, že patří do bez pro vše, co patří do nekonečna (protože v zásadě existuje pouze jeden ). ${\ displaystyle \ textstyle \ omega \ in \ limsup _ {n} \, A_ {n}}$ $\ omega$ $A_k$ $A_k$ $\ omega$ $A_k$ $k$ $\ omega$ ${\ displaystyle \ textstyle \ limsup _ {n} \, A_ {n},}$ $\ omega$ $A_k$ $A_k$

Podívejte se také

Poznámky

Émile Borel , „ Počitatelné pravděpodobnosti a jejich aritmetické aplikace “, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , sv. 27, n o 1,Prosinec 1909, str. 247-271 ( ISSN 0009-725X a 1973-4409 , DOI 10.1007 / BF03019651 , číst online ).

Propojené stránky

Borel-Cantelli Lemma
Francesco Paolo Cantelli , italský matematik
Émile Borel , francouzský matematik
Kolmogorovův zákon nuly jedna
Dolní a horní mez
Silný zákon velkého počtu