Metoda stacionární fáze

V matematice metoda stacionární fáze umožňuje vyhodnotit asymptotické chování integrálu typu:

Já(λ)=∫nabF(X)EiλG(X)dX{\ displaystyle \ mathrm {I} (\ lambda) = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ lambda g (x)} \, \ mathrm {d} x \,}

kdy , kde i je imaginární jednotka . λ→+∞{\ displaystyle \ lambda \ rightarrow + \ infty}

Hlavní myšlenka

Chování integrálu je aproximován jeho chování v blízkosti integračních mezích, ale také v blízkosti místa, kde je fáze λ g znamená stacionární , to znamená, že z bodů x y , ve kterém derivát ze g je nula , tj. . G′(Xs)=0{\ displaystyle g '(x_ {s}) = 0}

Pokud je jeden nebo více stacionárních bodů, hlavní příspěvek integrálu bude dán pouze přibližným vyjádřením integrálu v blízkosti těchto bodů, když . Chyba způsobená touto metodou je řádově v Landauově zápisu . λ→+∞{\ displaystyle \ lambda \ až + \ infty}Ó(1/λ){\ displaystyle O \ left (1 / \ lambda \ right) \,}

Hypotézy

V zásadě se ptát, že f je diferencovatelná na [ a , b ] a g , diferencovatelná dvakrát a s kontinuálním druhé derivaci:

F∈VS([na,b]), G∈VS2[na,b]{\ displaystyle f \ in {\ mathcal {C}} ([a, b]), \ g \ in {\ mathcal {C}} ^ {2} [a, b]}

Scénář a výsledky případu

Lze rozlišit několik případů:

• G(X){\ displaystyle g (x)}nemá zapnuté žádné stacionární body . Integrál je pak aproximován integrací po sobě následujících částí : na≤X≤b{\ displaystyle a \ leq x \ leq b} Já(λ)=F(b)iλG′(b)EiλG(b)-F(na)iλG′(na)EiλG(na)+Ó(1λ2){\ displaystyle I (\ lambda) = {\ frac {f (b)} {\ mathrm {i} \ lambda g '(b)}} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ lambda g (b )} - {\ frac {f (a)} {\ mathrm {i} \ lambda g '(a)}} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ lambda g (a)} + O \ vlevo ({\ frac {1} {\ lambda ^ {2}}} \ vpravo)} ;
• G(X){\ displaystyle g (x)}má zapnutý jediný stacionární bodXs{\ displaystyle x_ {s}}na<X<b{\ displaystyle a <x <b}
  • Pokud  : G„(Xs)>0{\ displaystyle g '' (x_ {s})> 0}Já(λ)=2πλG„(Xs)F(Xs)EiλG(Xs)Eiπ4+Ó(1λ){\ displaystyle I (\ lambda) = {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {\ lambda g '' (x_ {s})}}} f (x_ {s}) \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ lambda g (x_ {s})} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} {\ frac {\ pi} {4}}} + O \ left ({\ frac {1} { \ lambda}} \ vpravo) \,}
  • Pokud  : G„(Xs)<0{\ displaystyle g '' (x_ {s}) <0}Já(λ)=2π-λG„(Xs)F(Xs)EiλG(Xs)E-iπ4+Ó(1λ){\ displaystyle I (\ lambda) = {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {- \ lambda g '' (x_ {s})}}} f (x_ {s}) \ mathrm {e} ^ { \ mathrm {i} \ lambda g (x_ {s})} \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} {\ frac {\ pi} {4}}} + O \ left ({\ frac {1 } {\ lambda}} \ vpravo) \,}

Poznámka 1: Poznamenáním lze předchozí výrazy zredukovat na: σ=sgn⁡(G„(Xs)){\ displaystyle \ sigma = \ operatorname {sgn} (g '(x_ {s}))}

Já(λ)=2πλ|G„(Xs)|F(Xs)EiλG(Xs)Eiσπ4+Ó(1λ){\ displaystyle I (\ lambda) = {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {\ lambda | g '' (x_ {s}) |}}} f (x_ {s}) \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ lambda g (x_ {s})} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ sigma {\ frac {\ pi} {4}}} + O \ vlevo ({\ frac {1} {\ lambda}} \ vpravo) \,}

Poznámka 2: Pokud je zapnuto několik stacionárních bodů , je vhodné sečíst příspěvky každého ze stacionárních bodů. G(X){\ displaystyle g (x)}na<X<b{\ displaystyle a <x <b}

• G(X){\ displaystyle g (x)} má jediný stacionární bod odpovídající spodní hranici integrálu Xs=na{\ displaystyle x_ {s} = a} Já(λ)=F(b)iλG′(b)EiλG(b)+122πλ|G„(Xs)|F(Xs)EiλG(Xs)Eiσπ4+Ó(1λ){\ displaystyle I (\ lambda) = {\ frac {f (b)} {\ mathrm {i} \ lambda g '(b)}} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ lambda g (b )} + {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {\ lambda | g '' (x_ {s}) |}}} f (x_ {s}) \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ lambda g (x_ {s})} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ sigma {\ frac {\ pi} {4}}} + O \ vlevo ({\ frac {1} {\ lambda}} \ vpravo)}
• G(X){\ displaystyle g (x)} má jediný stacionární bod odpovídající horní hranici integrálu Xs=b{\ displaystyle x_ {s} = b} Já(λ)=-F(na)iλG′(na)EiλG(na)+122πλ|G„(Xs)|F(Xs)EiλG(Xs)Eiσπ4+Ó(1λ){\ displaystyle I (\ lambda) = - {\ frac {f (a)} {\ mathrm {i} \ lambda g '(a)}} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ lambda g ( a)} + {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {\ lambda | g '' (x_ {s}) |}}} f (x_ {s}) \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ lambda g (x_ {s})} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ sigma {\ frac {\ pi} {4}}} + O \ vlevo ({\ frac {1} {\ lambda}} \ vpravo)}

Poznámka 3: Tato aproximace není platná, když se stacionární bod blíží jedné z mezí integrálu. Například pokud se stacionární bod mění a překračuje horní mez, bude aproximace diskontinuální v závislosti na poloze stacionárního bodu: nižší, stejná nebo vyšší než horní mez. V tomto případě je pak vhodné použít jednotnou asymptotickou aproximaci zahrnující Fresnelovy integrály. Xs{\ displaystyle x_ {s}}

Původ metody

Tato metoda je odvozena od Laplaceovy metody . Když se integrace týká složitého pole (a už ne na skutečných mezích), použije se komplexní zobecnění této metody: metoda obojku .

Reference

• (en) N. Bleistein a RA Handelsman, Asymptotic Expansions of Integrals , Dover, 1986 [1975]
• (en) LB Felsen  (de) a N. Marcuvitz  (en) , Radiation and Scattering of Waves , IEEE-Wiley, 1994 [1972], kap. 4
• (in) a Copson , Asymptotic expansions , Cambridge University Press, 1965
• (en) B. Harris a SA Kramer, „Asymptotic Evaluation of the Ambiguity functions of high-gain FM Matched filter sonar systems-Harris“, in Proceeding of IEEE , vol. 56, N O  12Prosinec 1968, případ stacionárního bodu, vzorec (15)

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">