Metoda proměnných konstant
V matematice a přesněji v analýze je metoda variace konstant (nebo Lagrangeova metoda ) metodou řešení diferenciálních rovnic . Umožňuje zejména určit řešení diferenciální rovnice s druhým členem, přičemž zná řešení přidružené homogenní rovnice (tj. Bez druhého člena).
Metodu vynalezl matematik a fyzik Pierre-Simon de Laplace pro rozlišení lineárních diferenciálních rovnic . Její název je odvozen ze skutečnosti, že z velké části spočívá v hledání řešení v podobném tvaru, jaký již byl nalezen pro jednodušší přidruženou rovnici, ale nahrazením konstant (y) tohoto řešení novými neznámými funkcemi .
Případ první objednávky
Pro lineární diferenciální rovnici řádu 1, pokud je obecné řešení homogenní rovnice
naz′+bz=0{\ displaystyle az '+ bz = 0}je
zK.(X)=K.z1(X),K.∈R,{\ displaystyle z_ {K} (x) = Kz_ {1} (x), K \ v \ mathbb {R},}hledáme to
nay′+by=vs.{\ displaystyle ay '+ od = c}Pod formulářem
y(X)=k(X)z1(X).{\ displaystyle y (x) = k (x) z_ {1} (x).}Odložením na počáteční rovnici získáme rovnici ekvivalentní počáteční rovnici, ale s k :
k′=vs.naz1.{\ displaystyle k '= {\ frac {c} {az_ {1}}}.}Označením k 0 jako primitivní funkce c / ( az 1 ) je obecné řešení k vyjádřeno ve tvaru
kK.(X)=k0(X)+K.,K.∈R{\ displaystyle k_ {K} (x) = k_ {0} (x) + K, K \ v \ mathbb {R}}
což umožňuje vrátit se k výrazu obecného řešení y K = y 0 + z K :
yK.(X)=(k0(X)+K.)z1(X),K.∈R.{\ displaystyle y_ {K} (x) = (k_ {0} (x) + K) z_ {1} (x), K \ v \ mathbb {R}.}
Pro objasnění z 1 pak k 0 je nutné provést dva výpočty primitiv. Výsledkem je, že řešení nejčastěji není vyjádřeno pomocí obvyklých funkcí (viz o tomto tématu Liouvilleova věta ).
Případ druhého řádu
Pro lineární diferenciální rovnice objednávky dva , dát ve formě :
y„+na(X)⋅y′+b(X)⋅y=d(X){\ Displaystyle y '' + a (x) \ cdot y '+ b (x) \ cdot y = d (x)}
Označme a dvě řešení, která tvoří základ řešení homogenní rovnice. Budeme hledat konkrétní řešení y ve formě
y1{\ displaystyle y_ {1}}y2{\ displaystyle y_ {2}}
y(X)=λ(X)⋅y1(X)+μ(X)⋅y2(X){\ displaystyle y (x) = \ lambda (x) \ cdot y_ {1} (x) + \ mu (x) \ cdot y_ {2} (x)} (odtud název „metoda variace konstant“).
Ukážeme, že pokud funkce a ověříme následující systém
λ{\ displaystyle \ lambda}μ{\ displaystyle \ mu}
{λ′(X)⋅y1(X)+μ′(X)⋅y2(X)=0λ′(X)⋅y1′(X)+μ′(X)⋅y2′(X)=d(X){\ displaystyle {\ begin {cases} \ lambda '(x) \ cdot y_ {1} (x) + \ mu' (x) \ cdot y_ {2} (x) = 0 \\ lambda '(x) \ cdot y '_ {1} (x) + \ mu' (x) \ cdot y '_ {2} (x) = d (x) \ end {cases}}}pak je funkce y výše konkrétním řešením.
Poznámka.
1) Získáváme a používáme Cramerovo pravidlo .
λ′{\ displaystyle \ lambda '}μ′{\ displaystyle \ mu '}
2) Můžeme ukázat, že tento systém pochází od Cramera.
Obecný případ
Pro lineární diferenciální rovnici řádu n s druhým členem budeme hledat konkrétní řešení lineární kombinace základního systému řešení , tj. základu vektorového prostoru řešení homogenní rovnice. Koeficienty lineární kombinace jsou nyní funkce, které se člověk snaží určit. Jedná se o jednoduché zobecnění případu n = 2 , nicméně existuje maticová formulace.
y{\ displaystyle}(y1,y2,⋯,yne){\ displaystyle (y_ {1}, y_ {2}, \ cdots, y_ {n})}(vs.1,vs.2,⋯,vs.ne){\ displaystyle (c_ {1}, c_ {2}, \ cdots, c_ {n})}
Je obvykle psána lineární nehomogenní obyčejná diferenciální rovnice
y(ne)(X)+∑k=0ne-1nak(X)y(k)(X)=d(X)(1){\ displaystyle y ^ {(n)} (x) + \ součet _ {k = 0} ^ {n-1} a_ {k} (x) \, y ^ {(k)} (x) = d ( x) \ qquad (1)}
kde je k -tý derivát . Předpokládáme předem n lineárně nezávislých řešení homogenní rovnice
y(k){\ displaystyle y ^ {(k)}}y{\ displaystyle}(y1,y2,⋯,yne){\ displaystyle (y_ {1}, y_ {2}, \ cdots, y_ {n})}
y(ne)(X)+∑k=0ne-1nak(X)y(k)(X)=0(2){\ displaystyle y ^ {(n)} (x) + \ součet _ {k = 0} ^ {n-1} a_ {k} (x) \, y ^ {(k)} (x) = 0 \ qquad (2)}.
Shromážděním následných derivací každého řešení ve sloupci vytvoříme následující matici
yi{\ displaystyle y_ {i}}
Φ(X): =(y1(X)y2(X)⋯yne(X)⋮⋮⋮y1(k)(X)y2(k)(X)⋯yne(k)(X)⋮⋮⋮y1(ne-1)(X)y2(ne-1)(X)⋯yne(ne-1)(X))(3){\ displaystyle \ Phi (x): = {\ begin {pmatrix} y_ {1} (x) & y_ {2} (x) & \ cdots & y_ {n} (x) \\\ vdots & \ vdots && \ vdots \\ y_ {1} ^ {(k)} (x) & y_ {2} ^ {(k)} (x) & \ cdots & y_ {n} ^ {(k)} (x) \\ \ vdots & \ vdots && \ vdots \\ y_ {1} ^ {(n-1)} (x) & y_ {2} ^ {(n-1)} (x) & \ cdots & y_ {n} ^ {(n-1)} (x) \ end {pmatrix}} \ qquad (3)}.
Nezávislost n řešení lze ověřit pro každé x fixované výpočtem determinantu této matice, který se nesmí zrušit, srov. wronskien .
Metoda obměňování konstanty spočívá v hledání konkrétního řešení (1) ve formě
y(X)=∑i=1nevs.i(X)yi(X)(4){\ displaystyle y (x) = \ součet _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} (x) \, y_ {i} (x) \ qquad (4)}
alespoň s funkcemi . Ve skutečnosti je v této fázi zavedeno příliš mnoho neznámých a je nutné uvalit podobnou rovnost na vyšší deriváty:
vs.i{\ displaystyle c_ {i}}VS1{\ displaystyle C ^ {1}}
y(k)(X)=∑i=1nevs.i(X)yi(k)(X)∀ k, 1≤k≤ne-1(5){\ displaystyle y ^ {(k)} (x) = \ součet _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} (x) \, y_ {i} ^ {(k)} (x) \ quad \ forall \ k, \ 1 \ leq k \ leq n-1 \ qquad (5)}
což se opakováním ukládá
∑i=1nevs.i′(X)yi(k)(X)=0∀ k, 0≤k≤ne-2(6){\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} '(x) y_ {i} ^ {(k)} (x) = 0 \ quad \ forall \ k, \ 0 \ leq k \ leq n-2 \ qquad (6)}.
Avšak n- tý derivát je ponechán tak, jak je; získáme diferenciací (5) s k : = n - 1:
y(ne)(X)=∑i=1ne(vs.i′(X)yi(ne-1)(X)+vs.i(X)yi(ne)(X))(7){\ displaystyle y ^ {(n)} (x) = \ součet _ {i = 1} ^ {n} {\ bigl (} c '_ {i} (x) \, y_ {i} ^ {(n -1)} (x) + c_ {i} (x) \, y_ {i} ^ {(n)} (x) {\ bigr)} \ qquad (7)}.
Poznámka: lépe chápeme původ podmínek (6) a (7) v maticovém složení, rovnici (16).
Vložením nyní (4), (5) a (7) do nehomogenní rovnice (1) získáme
∑i=1nevs.i(X)(yi(ne)(X)+∑k=0ne-1nak(X)yi(k)(X))+∑i=1nevs.i′(X)yi(ne-1)(X)=d(X){\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} (x) \, {\ biggl (} y_ {i} ^ {(n)} (x) + \ sum _ {k = 0 } ^ {n-1} a_ {k} (x) \, y_ {i} ^ {(k)} (x) {\ biggr)} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} c '_ {i} (x) \, y_ {i} ^ {(n-1)} (x) = d (x)}.
Nyní, protože jsou řešením (2), první součet zmizí a odejde
yi{\ displaystyle y_ {i}}
∑i=1nevs.i′(X)yi(ne-1)(X)=d(X)(8){\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} c '_ {i} (x) \, y_ {i} ^ {(n-1)} (x) = d (x) \ qquad (8 )}.
Věta: Pokud je diferenciální rovnice (6) a (8) uspokojí, pak výraz (4) je řešením (1).
vs.i′{\ displaystyle c '_ {i}}
Položky (6) a (8) lze přepsat do matice
(y1(X)y2(X)⋯yne(X)⋮⋮⋮y1(k)(X)y2(k)(X)⋯yne(k)(X)⋮⋮⋮y1(ne-1)(X)y2(ne-1)(X)⋯yne(ne-1)(X))⋅(vs.1′⋮vs.k′⋮vs.ne′)=(00⋮0d(X))(9){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} y_ {1} (x) & y_ {2} (x) & \ cdots & y_ {n} (x) \\\ vdots & \ vdots && \ vdots \\ y_ {1 } ^ {(k)} (x) & y_ {2} ^ {(k)} (x) & \ cdots & y_ {n} ^ {(k)} (x) \\\ vdots & \ vdots && \ vdots \\ y_ {1} ^ {(n-1)} (x) & y_ {2} ^ {(n-1)} (x) & \ cdots & y_ {n} ^ {(n-1)} (x) \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} c '_ {1} \\\ vdots \\ c' _ {k} \\\ vdots \\ c '_ {n} \ end { pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\ d (x) \ end {pmatrix}} \ qquad (9)}
který je vyřešen jako v případě druhého řádu s Cramerovým pravidlem . Všimněte si tedy wronskien, o kterém jsme předpokládali, že je nenulový
Ž(X): =detΦ{\ displaystyle W (x): = \ det \ Phi}
∀ i, 1≤i≤ne,vs.i′(X)=1Ž(X)|y1(X)⋯yi-1(X)0⋯yne(X)⋮⋯⋮0⋯⋮y1(k)(X)⋯yi-1(k)(X)0⋯yne(k)(X)⋮⋯⋮0⋯⋮y1(ne-1)(X)⋯yi-1(ne-1)(X)d(X)⋯yne(ne-1)(X)|(10){\ displaystyle \ forall \ i, \ 1 \ leq i \ leq n, \ quad c '_ {i} (x) = {\ frac {1} {W (x)}} {\ begin {vmatrix} y_ { 1} (x) & \ cdots & y_ {i-1} (x) & 0 & \ cdots & y_ {n} (x) \\\ vdots & \ cdots & \ vdots & 0 & \ cdots & \ vdots \ \ y_ {1} ^ {(k)} (x) & \ cdots & y_ {i-1} ^ {(k)} (x) & 0 & \ cdots & y_ {n} ^ {(k)} ( x) \\\ vdots & \ cdots & \ vdots & 0 & \ cdots & \ vdots \\ y_ {1} ^ {(n-1)} (x) & \ cdots & y_ {i-1} ^ {( n-1)} (x) & d (x) & \ cdots & y_ {n} ^ {(n-1)} (x) \ end {vmatrix}} \ qquad (10)}
Maticová formulace
Buď . Označte vektorem sloupce
y∈VSne(Já), Já⊆R{\ displaystyle y \ v C ^ {n} (I), \ I \ subseteq \ mathbb {R}}Y{\ displaystyle Y}
Y(X): =(y(X)y′(X)y(2)(X)⋮y(ne-1)(X)){\ displaystyle Y (x): = {\ begin {pmatrix} y (x) \\ y '(x) \\ y ^ {(2)} (x) \\\ vdots \\ y ^ {(n- 1)} (x) \ end {pmatrix}}}
Funkce je řešením (1) právě tehdy, pokud je splněna
y{\ displaystyle}Y{\ displaystyle Y}
Y′=(010⋯0⋮010⋮⋮⋮⋱⋱0⋮⋮001-na0(X)-na1(X)⋯-nane-2(X)-nane-1(X))⋅Y+(00⋮0d(X))(11){\ displaystyle Y '= {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 & \ cdots & 0 \\\ vdots & 0 & 1 & 0 & \ vdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ ddots & 0 \\\ vdots & \ vdots & 0 & 0 & 1 \\ - a_ {0} (x) & - a_ {1} (x) & \ cdots & -a_ {n-2} (x) & - a_ { n-1} (x) \ end {pmatrix}} \ cdot Y + {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\ d (x) \ end {pmatrix}} \ qquad (11 )}
Označme matici na pravé straně. Transformovali jsme rovnici řádu n na rovnici řádu 1.
NA{\ displaystyle A}
Rozpouštědlo přidružené homogenní rovnice je aplikace, která odešle hodnotu jakéhokoliv roztoku v bodě x 1, na hodnotu v bodě x 2 (zdůvodnění existence, srovnej Cauchy-Lipschitz teorém ), tj. -D. pro jakékoli řešení homogenní rovnice spojené s (11)
R:Já×Já⟶Mne(K.){\ displaystyle R: I \ krát I \ longrightarrow \ mathbb {M} _ {n} (\ mathbb {K})}Y(X1){\ displaystyle Y (x_ {1})}Y(X2){\ displaystyle Y (x_ {2})}Y{\ displaystyle Y}
Y(X2)=R(X2,X1)⋅Y(X1)(12){\ displaystyle Y (x_ {2}) = R (x_ {2}, x_ {1}) \ cdot Y (x_ {1}) \ qquad (12)}.
Pokud seskupíme n lineárně nezávislých řešení homogenní rovnice v matici (3), přirozeně máme
(Y1,Y2,⋯,Yne){\ displaystyle (Y_ {1}, Y_ {2}, \ cdots, Y_ {n})}Φ{\ displaystyle \ Phi}
Φ′(X)=NA⋅Φ(13){\ displaystyle \ Phi '(x) = A \ cdot \ Phi \ qquad (13)}
jakož i
Φ(X2)=R(X2,X1)⋅Φ(X1)(14){\ displaystyle \ Phi (x_ {2}) = R (x_ {2}, x_ {1}) \ cdot \ Phi (x_ {1}) \ qquad (14)}.
Poznámka:
- (13) a (14) zůstávají v platnosti pro jakoukoli skupinu řešení, lineárně nezávislých nebo ne.(Y1,Y2,⋯,Yne){\ displaystyle (Y_ {1}, Y_ {2}, \ cdots, Y_ {n})}
- Známe-li výslovně základní systém řešení , pak můžeme provést resolvent výslovně z (14). Podle Liouvillského vzorce , pokud je invertibilní pro určité x 0 , pak je pro všechny x ; lze tedy psát .(Y1,Y2,⋯,Yne){\ displaystyle (Y_ {1}, Y_ {2}, \ cdots, Y_ {n})}Φ{\ displaystyle \ Phi}Φ(X2)⋅Φ-1(X1)=R(X2,X1){\ displaystyle \ Phi (x_ {2}) \ cdot \ Phi ^ {- 1} (x_ {1}) = R (x_ {2}, x_ {1})}
Varování: Budeme používat, aniž bychom to demonstrovali, invariantnost resolventu překladem, zejména to (zneužití notace) a které je považováno za funkci s jednou proměnnou, je to „skupina s 1 parametrem“, ať už je kdekoli . definováno, tj. a když je to definováno. Mimochodem, také spokojený (13).
R(X2,X1)=R(X2-X1){\ displaystyle R (x_ {2}, x_ {1}) = R (x_ {2} -x_ {1})} R(na)⋅R(b)=R(na+b){\ displaystyle R (a) \ cdot R (b) = R (a + b)}R-1(na)=R(-na){\ displaystyle R ^ {- 1} (a) = R (-a)}R{\ displaystyle R}
V této formulaci spočívá metoda změny konstant v provedení „změny proměnné“
Y(X)=R(X,X0)⋅(vs.1(X)vs.2(X)vs.3(X)⋮vs.ne(X))⟺(vs.1(X)vs.2(X)vs.3(X)⋮vs.ne(X))=R-1(X,X0)⋅Y(X)(15){\ displaystyle Y (x) = R (x, x_ {0}) \ cdot {\ begin {pmatrix} c_ {1} (x) \\ c_ {2} (x) \\ c_ {3} (x) \\\ vdots \\ c_ {n} (x) \ end {pmatrix}} \ quad \ Longleftrightarrow \ quad {\ begin {pmatrix} c_ {1} (x) \\ c_ {2} (x) \\ c_ {3} (x) \\\ vdots \\ c_ {n} (x) \ end {pmatrix}} = R ^ {- 1} (x, x_ {0}) \ cdot Y (x) \ qquad (15 )}
(11) se proto přepisuje
R′(X-X0)⋅(vs.1(X)vs.2(X)vs.3(X)⋮vs.ne(X))+R(X-X0)⋅(vs.1′(X)vs.2′(X)vs.3′(X)⋮vs.ne′(X))=NA⋅R(X-X0)⋅(vs.1(X)vs.2(X)vs.3(X)⋮vs.ne(X))+(00⋮0d(X)){\ displaystyle R '(x-x_ {0}) \ cdot {\ begin {pmatrix} c_ {1} (x) \\ c_ {2} (x) \\ c_ {3} (x) \\\ vdots \\ c_ {n} (x) \ end {pmatrix}} + R (x-x_ {0}) \ cdot {\ begin {pmatrix} c '_ {1} (x) \\ c' _ {2} (x) \\ c '_ {3} (x) \\\ vdots \\ c' _ {n} (x) \ end {pmatrix}} = A \ cdot R (x-x_ {0}) \ cdot {\ begin {pmatrix} c_ {1} (x) \\ c_ {2} (x) \\ c_ {3} (x) \\\ vdots \\ c_ {n} (x) \ end {pmatrix}}) + {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\ d (x) \ end {pmatrix}}}.
Jelikož však také splňuje (13), pouze
R{\ displaystyle R}
R(X-X0)⋅(vs.1′(X)vs.2′(X)vs.3′(X)⋮vs.ne′(X))=(00⋮0d(X))(16){\ displaystyle R (x-x_ {0}) \ cdot {\ begin {pmatrix} c '_ {1} (x) \\ c' _ {2} (x) \\ c '_ {3} (x ) \\\ vdots \\ c '_ {n} (x) \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\ d (x) \ end {pmatrix }} \ qquad (16)}
což je ekvivalentní (9), přičemž zde je výslovná závislost na hodnotách základních řešení při x 0 .
Když si toho všimneme (matice identity) as (15), integrujeme vektorovou komponentu po komponentě
R(0)=Jáne{\ displaystyle R (0) = I_ {n}}
(vs.1(X)vs.2(X)vs.3(X)⋮vs.ne(X))=∫X0XR-1(l-X0)⋅(00⋮0d(X))dl+Y(X0){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} c_ {1} (x) \\ c_ {2} (x) \\ c_ {3} (x) \\\ vdots \\ c_ {n} (x) \ end { pmatrix}} = \ int _ {x_ {0}} ^ {x} R ^ {- 1} (l-x_ {0}) \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\ d (x) \ end {pmatrix}} \, dl + Y (x_ {0})}.
Opětovným použitím (15) a kdekoli je to definováno, nakonec získáme
R-1(ϵ)=R(-ϵ){\ displaystyle R ^ {- 1} (\ epsilon) = R (- \ epsilon)}
Y(X)=R(X-X0)Y(X0)+∫X0XR(X-l)⋅(00⋮0d(X))dl{\ displaystyle Y (x) = R (x-x_ {0}) Y (x_ {0}) + \ int _ {x_ {0}} ^ {x} R (xl) \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\ d (x) \ end {pmatrix}} \, dl}.
Příklad aplikace na fyziku
Diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty zasahuje do fyziky při studiu oscilačních systémů s jedním stupněm volnosti , kdy je buzení (síla, proud…) aplikované na oscilační systém nulové.
nay„(t)+by′(t)+vs.y(t)=0{\ displaystyle ay '' (t) + od '(t) + cy (t) = 0}
Metoda charakteristické rovnice (objevená Eulerem) dává řešení této homogenní diferenciální rovnice, která je lineární kombinací exponenciálních (komplexních) funkcí.
Když použijeme buzení , rovnice se stane:
F(t){\ displaystyle f (t)}
nay„(t)+by′(t)+vs.y(t)=F(t){\ displaystyle ay '' (t) + by '(t) + cy (t) = f (t)}.
Metoda konstantní variace umožňuje najít obecné řešení .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">