Janssenův model
Tento model představil HA Janssen v roce 1895 a poté jej v roce 1906 vyvinul John William Strutt Rayleigh, aby vysvětlil zákon tlaku v silech na zrno. Opravdu umožňuje reagovat na fenomén prasknutí sila, který se může objevit, když je prasknutí sila příliš plné. Tento model je však založen na silných předpokladech, jiné přesnější modely tento jev lépe odrážejí.
Hypotézy
Uvažujeme válec o poloměru naplněný zrny ve výšce . První hypotézou je považovat granulované médium za spojité médium o hustotě . Pak existují 2 další hypotézy:
R{\ displaystyle R}
H{\ displaystyle H}
ρ{\ displaystyle \ rho}![\ rho](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7d439671d1289b6a816e6af7a304be40608d64)
- Vertikální napětí vytváří horizontální napětí , který je přímo úměrný: . Janssenův koeficient podporuje účinek oblouků, které se tvoří uvnitř zrnitého média. Všimněte si, že bychom měli, kdyby byl tlak izotropní, jako je tomu například v případě kapalinypz{\ displaystyle p_ {z}}
pr{\ displaystyle p_ {r}}
pr=K.pz{\ displaystyle p_ {r} = Kp_ {z}}
K.{\ displaystyle K}
K.=1{\ displaystyle K = 1}![{\ displaystyle K = 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/664e812426e011891ed84ff62421ec49e21f7159)
- U zdi jsme na hranici rovnováhy, a to buď tím, že poznamená na koeficient tření , máme vztah mezi normálním a tangenciálním reakce:μs{\ displaystyle \ mu _ {s}}
T=μsNE{\ displaystyle T = \ mu _ {s} N}
Rozvaha
Zvažte malý výškový řez sila (povrch a boční povrch ). V projekci na je rovnováha zapsána:
dz{\ displaystyle dz}
S=πR2{\ displaystyle S = \ pi R ^ {2}}
dSl=2πRdz{\ displaystyle dS_ {l} = 2 \ pi Rdz}
E→z{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {z}}![{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94d7dc5dd50fc55f2d715e40e466e29e28a56ffb)
dT-dP+pz(z)S-pz(z+dz)S=0{\ displaystyle dT-dP + p_ {z} (z) S-p_ {z} (z + dz) S = 0}
Na 3 e Newtonův zákon dává:dNE=pr(z)dSl{\ displaystyle dN = p_ {r} (z) dS_ {l}}
Dedukujeme tedy s 2 předpoklady Janssena . Vložením tohoto výsledku do rovnovážné rovnice a přidáním výrazu váhy k ní máme:
dT=μsK.pz(z)dSl{\ displaystyle dT = \ mu _ {s} Kp_ {z} (z) dS_ {l}}
dP=ρGSdz{\ displaystyle dP = \ rho gSdz}![{\ displaystyle dP = \ rho gSdz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc717a0e78d81dba3ed241ceeb97355caae5c6d8)
μsK.pz(z)dSl-ρGSdz-dpdzdzS=0{\ displaystyle \ mu _ {s} Kp_ {z} (z) dS_ {l} - \ rho gSdz - {\ frac {dp} {dz}} dzS = 0}
Zjednodušením nakonec získáme diferenciální rovnici ověřenou vertikálním omezením:
Sdz{\ displaystyle Sdz}![{\ displaystyle Sdz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fbec959a0c0d282604520c40e8398e206c5559d)
dpzdz-pzλ=-ρG{\ displaystyle {\ frac {dp_ {z}} {dz}} - {\ frac {p_ {z}} {\ lambda}} = - \ rho g}
S charakteristickou délkou: λ=R2K.μs{\ displaystyle \ lambda = {\ frac {R} {2K \ mu _ {s}}}}
Tlakový profil v sila
Vertikální omezení splňuje lineární diferenciální rovnici prvního řádu, kterou lze snadno vyřešit podmínkou v horní části zásobníku ::
pz{\ displaystyle p_ {z}}
pz(H)=0{\ displaystyle p_ {z} (H) = 0}![{\ displaystyle p_ {z} (H) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55b742826cdf8d33c7e7109f2facf9f3b8cb6887)
pz(z)=λρG(1-E-H-zλ){\ displaystyle p_ {z} (z) = \ lambda \ rho g (1-e ^ {- {\ frac {Hz} {\ lambda}}})}
Takový profil znamená, že tlak v sila je nasycený. Ve skutečně pevné výšce, pokud je aplikováno napětí, tj. Když je silo naplněno na neurčito, je napětí nasyceno . Tím, že 1 st hypotézu Janssen, chápeme, co se stane, fyzicky: při lití hmotnosti obilí, část se odráží ve svislém směru a na druhé straně (efekt „klenby“) a je druhý, který je zodpovědný za roztržení sil . Boční část sila často na rozdíl od dna není vyrobena tak, aby odolala těžkým nákladům.
z{\ displaystyle z}
H→∞{\ displaystyle H {\ xrightarrow {}} \ infty}
pz→λρG{\ displaystyle p_ {z} {\ xrightarrow {}} \ lambda \ rho g}![{\ displaystyle p_ {z} {\ xrightarrow {}} \ lambda \ rho g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c871055b74bec9a1b8a0db77c9b3f7d31463f91)
Zdánlivá hmota na dně sila
Vraťme se k výrazu pro vertikální napětí, ale tentokrát ve spodní části sila:
pz(0)=λρG(1-E-Hλ){\ displaystyle p_ {z} (0) = \ lambda \ rho g (1-e ^ {- {\ frac {H} {\ lambda}}})}
Pokud chceme zdánlivou hmotnost na dně sila, je to vyjádřeno buď:
mnapp=pz(0)SG{\ displaystyle m_ {app} = {\ frac {p_ {z} (0) S} {g}}}![{\ displaystyle m_ {app} = {\ frac {p_ {z} (0) S} {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e6a94970ad41e2c950c0fa2de55911981f7b55e)
mnapp=λρS(1-E-Hλ){\ displaystyle m_ {app} = \ lambda \ rho S (1-e ^ {- {\ frac {H} {\ lambda}}})}
Zaznamenáním kritické hmotnosti a konstatováním, že teoretická nalitá hmota je vyjádřena jako , získáme vyjádření zdánlivé hmotnosti na dně sila jako funkci hmotnosti, která do ní byla teoreticky nalita:
mvs.=λρS{\ displaystyle m_ {c} = \ lambda \ rho S}
mth=HρS{\ displaystyle m_ {th} = H \ rho S}![{\ displaystyle m_ {th} = H \ rho S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69aafe9809937c66913cc9876db6167adc03b459)
mnapp=mvs.(1-E-mthmvs.){\ displaystyle m_ {app} = m_ {c} (1-e ^ {- {\ frac {m_ {th}} {m_ {c}}}})}
Fyzicky tento výsledek znamená, že i kdybychom silo naplnili na neurčito, hmotnost, kterou bychom změřili na dně, nepřekročila kritickou hmotnost . Kvůli zachování hmoty chápeme, že pokud nenajdeme hmotu nalitou na dno tuby, je to proto, že její část je absorbována boční částí sila.
mvs.{\ displaystyle m_ {c}}![{\ displaystyle m_ {c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81125728206d5d371eabf428b75f6abdd7faa5f4)
Jevy klenby
V této části budeme studovat hraniční případy. Pro zjednodušení si povšimneme hloubky stohování. Tlak v něm tedy závisí na hloubce:
δ=H-z{\ displaystyle \ delta = Hz}![{\ displaystyle \ delta = Hz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43376e6c8330afbe133f51b244aabcb43b00734f)
pz(δ)=λρG(1-E-δλ){\ displaystyle p_ {z} (\ delta) = \ lambda \ rho g (1-e ^ {- {\ frac {\ delta} {\ lambda}}})}
Když (mělké hloubky): jinými slovy, zdánlivá hmotnost je blízká nalité hmotě, spodní zóny jsou obvykle vystaveny hmotnosti horních zón.
δ≪λ{\ displaystyle \ delta \ ll \ lambda}
pz(δ)≈ρGδ{\ Displaystyle p_ {z} (\ delta) \ přibližně \ rho g \ delta}![{\ Displaystyle p_ {z} (\ delta) \ přibližně \ rho g \ delta}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc954439a7c2785fda4cfa86293e44e1eb2c214d)
Když (velké hloubky): jinými slovy, zdánlivá hmotnost se blíží kritické hmotnosti, spodní zóny již nepodléhají hmotnosti horních zón.
δ≫λ{\ displaystyle \ delta \ gg \ lambda}
pz(δ)≈λρG{\ displaystyle p_ {z} (\ delta) \ přibližně \ lambda \ rho g}![{\ displaystyle p_ {z} (\ delta) \ přibližně \ lambda \ rho g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9cdbc832e7ef896c1ab5e74232a3d3b0add606d)
V důsledku toho dáme délce fyzický význam : charakterizuje polohu (do hloubky) trezorů. Nad nimi jsme vystaveni hmotnosti sloupce obilí, zatímco níže jsme před ním chráněni.
λ{\ displaystyle \ lambda}![\ lambda](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a)
Poznámky a odkazy
-
(en) HA Janssen, „ Výzkum tlaku zrna v sila “ , Vereins Eutscher Ingenieure Zeitschrift ,1895, str. 1045-1049
-
[1]
-
(in) Matthias Sperl, „ Pokusy o tlak v buňkách sila kukuřice - překlad a jak Janssenova práce z roku 1895 “ , Granular Matter ,Květen 2006, str. 59–65 ( ISSN 1434-5021 , číst online )
-
Ph. Claudin , „ Fyzika hromád písku. Fenomenologický popis šíření napětí v zrnitých materiálech “, Annales de Physique , sv. 24, n O 21 st 01. 1999, str. 1–207 ( ISSN 0003-4169 a 1286-4838 , DOI 10.1051 / anphys: 199902001 , číst online , přistupováno 14. května 2017 )
-
Duran, Jacques. „ Písky, prášky a zrna: úvod do fyziky zrnitých materiálů , Springer,2000, 214 s. ( ISBN 978-1-4612-6790-4 , OCLC 606280798 , číst online )
-
(in) Pierre-Gilles de Gennes, „ Granulární hmota: pokusný pohled “ , Recenze moderní fyziky ,1999( číst online )
-
Loïc Vanel , „ Experimentální studium mechanické rovnováhy zrnitého média: příklady sila a hromady písku. » [PDF] , Pierre a Marie Curie University - Paříž VI,1999(zpřístupněno 30. května 2017 )
Podívejte se také
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">