Celá část a částečná část
V matematice a informatice je výchozí celé číslo nebo nižší celé číslo , obvykle zkrácené jako celá celá část , reálného čísla jedinečné relativní celé číslo (kladné, záporné nebo nulové), jako například
X{\ displaystyle x} ne{\ displaystyle n}
ne⩽X<ne+1{\ Displaystyle n \ leqslant x <n + 1}.
My prokázat svou existenci a jednoznačnost podle analýza-syntéza : je největší celé číslo menší nebo rovno (která může být považována za ekvivalentní definice celočíselné části , viz níže), jeho existence je zaručena majetku Archimédova .
ne{\ displaystyle n}X{\ displaystyle x}X{\ displaystyle x}
V případě, kdy je racionální , celočíselná část není nic jiného, než je euklidovské kvocientu z par .
X{\ displaystyle x}nab,na∈Z,b∈NE∗{\ displaystyle {a \ over b}, a \ in \ mathbb {Z}, b \ in \ mathbb {N ^ {*}}}X{\ displaystyle x}na{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}
Rozdíl mezi číslem a jeho celočíselnou částí se nazývá jeho zlomková část nebo desetinná část .
X{\ displaystyle x}
Zápisy
Celočíselná (výchozí) část je zaznamenána konvenčně . Funkce celé číslo je často označován nebo .
X{\ displaystyle x}⌊X⌋{\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}E{\ displaystyle \ mathrm {E}}E_{\ displaystyle \ mathrm {\ podtržení {E}}}
Používáme také notaci, ale má tendenci být nahrazena anglosaskou notací, protože ji lze zaměnit za závorky. Kromě toho je zde symetrie mezi celé spodní části (zvané v anglickém podlaze , „patro“) definované rámem :
[X]{\ displaystyle [x]}⌊X⌋{\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}
⌊X⌋⩽X<⌊X⌋+1{\ Displaystyle \ left \ lfloor x \ right \ rfloor \ leqslant x <\ left \ lfloor x \ right \ rfloor +1}
a celou horní část (v angličtině nazývanou strop , „strop“) definovanou:
⌈X⌉-1<X⩽⌈X⌉{\ Displaystyle \ left \ lceil x \ right \ rceil -1 <x \ leqslant \ left \ lceil x \ right \ rceil}
Celočíselná část nesmí být zaměňována se zkrácením Single, full nebo truncation, což odpovídá odstranění desetinných míst ve standardní notaci a které se liší od celočíselné části pro záporná čísla .
Například celočíselná část –1,5 je –2, zatímco zkrácení její jednoty je –1.
Frakční část
Zlomkovou část z poznamenali reálné číslo je rozdíl mezi tímto číslem a jeho celá část standardně:
X{\ displaystyle x}{X}{\ displaystyle \ {x \}}
{X}=X-⌊X⌋{\ displaystyle \ {x \} = x- \ lfloor x \ rfloor}.
Částečná část čísla je kladná nebo nulová reálná, striktně menší než 1.
K dispozici je také termín desítkové části čísla, zejména pro desetinná čísla.
Někteří považují termín „zlomková část“ za nesprávný pro iracionální čísla, protože tato část pak není racionální, a proto nejde o zlomek . Ale „desetinná část“ již není správnější v případě čísel, která nejsou sama o sobě desetinná, protože ani tato část potom není desetinná.
Obecné vlastnosti
Jakýkoli reálný splňuje následující vlastnosti, kde je sada relativních celých čísel:
X{\ displaystyle x}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}
-
X=⌊X⌋+{X}{\ displaystyle x = \ lfloor x \ rfloor + \ {x \}} ; s ;0⩽{X}<1{\ displaystyle 0 \ leqslant \ {x \} <1}
- za všechno máme ;ne∈Z{\ displaystyle n \ in \ mathbb {Z}}⌊X+ne⌋=⌊X⌋+ne{\ displaystyle \ lfloor x + n \ rfloor = \ lfloor x \ rfloor + n}
- můžeme odvodit:
- ⌊-X⌋+⌊X⌋={0-li X∈Z-1Pokud ne,{\ displaystyle \ lfloor -x \ rfloor + \ lfloor x \ rfloor = \ left \ {{\ begin {pole} {rl} 0 & {\ text {si}} x \ in \ mathbb {Z} \\ - 1 & {\ text {jinak,}} \ end {pole}} \ vpravo.}
-
⌊X⌋+⌊y⌋⩽⌊X+y⌋⩽⌊X⌋+⌊y⌋+1{\ textstyle \ lfloor x \ rfloor + \ lfloor y \ rfloor \ leqslant \ lfloor x + y \ rfloor \ leqslant \ lfloor x \ rfloor + \ lfloor y \ rfloor +1}se skutečným y .
Pro jakékoli přísně kladné celé číslo :
ne{\ displaystyle n}
-
0⩽⌊neX⌋-ne⌊X⌋⩽ne-1{\ Displaystyle 0 \ leqslant \ lfloor nx \ rfloor -n \ lfloor x \ rfloor \ leqslant n-1}(protože );ne⌊X⌋⩽neX<ne⌊X⌋+ne{\ Displaystyle n \ lfloor x \ rfloor \ leqslant nx <n \ lfloor x \ rfloor + n}
-
⌊⌊neX⌋ne⌋=⌊X⌋{\ displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {\ lfloor nx \ rfloor} {n}} \ right \ rfloor = \ lfloor x \ rfloor}(protože );⌊X⌋⩽⌊neX⌋ne⩽X{\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor \ leqslant {\ frac {\ lfloor nx \ rfloor} {n}} \ leqslant x}
- odvodíme, že jsou-li m a n přísně kladná celá čísla, pak se navzájem připravují ( Sylvesterův vzorec )
∑k=1ne-1⌊kmne⌋=(m-1)(ne-1)2{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} \ vlevo \ lfloor {\ frac {km} {n}} \ vpravo \ rfloor = {\ frac {(m-1) (n-1) } {2}}}.Výše uvedený vzorec lze zobecnit pro všechny přísně pozitivní celá čísla m a n :∑k=1ne-1⌊kmne⌋=(m-1)(ne-1)+pgcd(m,ne)-12{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} \ vlevo \ lfloor {\ frac {km} {n}} \ vpravo \ rfloor = {\ frac {(m-1) (n-1) + \ operatorname {pgcd} (m, n) -1} {2}}}.
Funkce plné části
Funkce celého čísla není spojitá v celočíselné hodnotě, ale je pravá spojitá a horní polokontinuální .
Jeho derivát ve smyslu distribucí je Diracův hřeben období 1.
Funkce zlomkové části
Někdy je uvedeno , že je spojitá vlevo a polokontinuální výše. To je také periodická období 1 (v závislosti na okamžité poznámka: pro všechny celé číslo , ).
frac{\ displaystyle {\ text {frac}}}ne{\ displaystyle n}⌊X+ne⌋=⌊X⌋+ne{\ displaystyle \ lfloor x + n \ rfloor = \ lfloor x \ rfloor + n}
Pro jiné než celé číslo připustíme rozklad Fourierovy řady :
X{\ displaystyle x}X↦{X}{\ displaystyle x \ mapsto \ {x \}}
{X}=12-∑ne=1∞hřích(2πneX)neπ{\ displaystyle \ {x \} = {\ frac {1} {2}} - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (2 \ pi nx)} {n \ pi }}}.
V blízkosti obrazu každého celého čísla pozorujeme Gibbsův jev při rozkladu Fourierovy řady funkce zlomkové části, který přetrvává navzdory nárůstu počtu vypočítaných koeficientů (viz animace naproti).
Celá část přebytku
Také se nazývá horní celá část, lze ji definovat výrazem:
⌈X⌉=-⌊-X⌋{\ displaystyle \ lceil x \ rceil = - \ mathrm {\ lfloor} -x \ rfloor}.
Funkce , někdy známá , je spojitá vlevo a částečně spojitá níže.
X↦⌈X⌉{\ Displaystyle x \ mapsto \ left \ lceil x \ right \ rceil}E¯{\ displaystyle {\ overline {\ text {E}}}}
Navíc pro všechno :
ne∈Z{\ displaystyle n \ in \ mathbb {Z}}
ne=⌊ne/2⌋+⌈ne/2⌉{\ displaystyle n = \ lfloor n / 2 \ rfloor + \ lceil n / 2 \ rceil} ;
∀m∈NE∗⌈nem⌉={\ displaystyle \ forall m \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad \ left \ lceil {\ frac {n} {m}} \ right \ rceil =}⌊ne+m-1m⌋=⌊ne-1m⌋+1{\ displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {n + m-1} {m}} \ right \ rfloor = \ left \ lfloor {\ frac {n-1} {m}} \ right \ rfloor +1}.
Příklady
X
|
Celá část ⌊X⌋{\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}
|
přebytkem ⌈X⌉{\ displaystyle \ lceil x \ rceil}
|
Zlomková část { x }
|
---|
12/5 = 2,4
|
2
|
3
|
2/5 = 0,4
|
---|
2.9
|
2
|
3
|
0,9
|
---|
-2,7
|
-3
|
-2
|
0,3
|
---|
-2
|
-2
|
-2
|
0
|
---|
Ekvivalentní definice
V následujících vzorcích, x a y jsou reálná čísla, m , n a k jsou relativní celá čísla.
Výchozí a nadbytečné celé části lze definovat také pomocí následujících výrazů:
⌊X⌋=max{m∈Z∣m⩽X}{\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor = \ max \ {m \ in \ mathbb {Z} \ mid m \ leqslant x \}} ; .
⌈X⌉=min{ne∈Z∣ne⩾X}{\ Displaystyle \ lceil x \ rceil = \ min \ {n \ in \ mathbb {Z} \ mid n \ geqslant x \}}Vzhledem k tomu, že je pouze jeden celé číslo v polo-otevřené intervalu šířky 1, pro skutečný x jsou přesně dva celá čísla m a n takové, že:
X-1<m⩽X⩽ne<X+1{\ Displaystyle x-1 <m \ leqslant x \ leqslant n <x + 1}.
Můžeme pak také definovat celé části ve výchozím nastavení a přebytek o a .
⌊X⌋=m{\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor = m}⌈X⌉=ne{\ displaystyle \ lceil x \ rceil = n}
Pro zjednodušení výrazů s celočíselnými částmi lze použít i jiné ekvivalentní vzorce:
⌊X⌋=m⇔m⩽X<m+1,⌈X⌉=ne⇔ne-1<X⩽ne.{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ lfloor x \ rfloor = m & \; \; \ Leftrightarrow & m & \ leqslant x <m + 1, \\\ lceil x \ rceil = n & \; \; \ Leftrightarrow & n-1 & <x \ leqslant n. \ end {zarovnáno}}}
Plné zaokrouhlování a zaokrouhlování na danou přesnost
Definice a notace
Celá zaokrouhlení reálného čísla , označený nebo , je celé číslo nejblíže ; pokud jsou dva, zvolíme podle konvence největší v absolutní hodnotě, což z funkce dělá lichou funkci.
X{\ displaystyle x}kolo(X){\ displaystyle {\ text {rounded}} (x)}EPP(X){\ displaystyle {\ text {EPP}} (x)}X{\ displaystyle x}kolo{\ displaystyle {\ text {zaoblený}}}
Pojmy zaokrouhlení na celé číslo a zaokrouhlení na celé číslo jsou propojeny pomocí následujícího vztahu platného pro jakékoli reálné číslo :
X{\ displaystyle x}
kolo(X)=sgn(X)⌊|X|+0,5⌋{\ displaystyle {\ text {zaoblený}} (x) = \ operatorname {sgn} (x) \ levý \ lfloor \ levý \ vert x \ pravý \ vert +0,5 \ pravý \ rfloor}.
Protože zaokrouhlování reálného se rovná jeho dolní nebo horní celé části, je také někdy uvedeno .
X{\ displaystyle x}⌊X⌉{\ Displaystyle \ left \ lfloor x \ right \ rceil}
Stručně řečeno, horní, dolní a celé zaokrouhlování se vyznačují nerovnostmi (třetí pouze pro kladné):
X{\ displaystyle x}
{⌊X⌋⩽X<⌊X⌋+1⌈X⌉-1<X⩽⌈X⌉⌊X⌉-0,5⩽X<⌊X⌉+0,5{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {c} \ left \ lfloor x \ right \ rfloor \ leqslant x <\ left \ lfloor x \ right \ rfloor +1 \\\ left \ lceil x \ right \ rceil -1 <x \ leqslant \ left \ lceil x \ right \ rceil \\\ left \ lfloor x \ right \ rceil -0,5 \ leqslant x <\ left \ lfloor x \ right \ rceil +0,5 \ end {array}} \ že jo.}
Zaokrouhlení na danou přesnost
Vzhledem k přísně pozitivnímu reálnému je zaokrouhlování na přesnost reálného čísla násobkem nejbližšího :
ϵ{\ displaystyle \ epsilon}ϵ{\ displaystyle \ epsilon}X{\ displaystyle x}ϵ{\ displaystyle \ epsilon}X{\ displaystyle x}
koloϵ(X)=ϵ.kolo(Xϵ){\ displaystyle {\ text {rounded}} _ {\ epsilon} (x) = \ epsilon. {\ text {rounded}} \ left ({\ frac {x} {\ epsilon}} \ right)}
Vzhledem k tomu, celé číslo je desetinné zaokrouhlování z na zakázku je zaoblen z na přesnost :
ne{\ displaystyle n}X{\ displaystyle x}ne{\ displaystyle n}X{\ displaystyle x}10-ne{\ displaystyle 10 ^ {- n}}
kolone(X)=10-ne.kolo(10neX){\ displaystyle {\ text {rounded}} _ {n} (x) = 10 ^ {- n}. {\ text {rounded}} \ left (10 ^ {n} x \ right)}.
Například zaokrouhlování objednávek 0,1,2,3,4 z čísla je postupné:
3,1805{\ displaystyle 3 1805}
3-3,2-3,18-3,181-3,1805{\ Displaystyle 3 \, - \, 3,2 \, - \, 3,18 \, - \, 3,181 \, - \, 3,1805}
Když píšeme , znamená to, že zaokrouhlování na řád 3 se rovná , jinými slovy tomu .
X≈3,120{\ displaystyle x \ přibližně 3120}X{\ displaystyle x}3,120{\ displaystyle 3120}3,1195⩽X<3,1205{\ Displaystyle 3.1195 \ leqslant x <3.1205}
Celé a zlomkové části racionálního zlomku
Definice
Analogicky s tím, že celá část racionální je euklidovská kvocient par , definujeme celočíselnou část racionální frakce jako euklidovské kvocient z par , poté, co je znázorněno, že tento podíl nezávisí na zástupce frakce . Celá část z je tedy unikátní polynom tak, že se polynomu stupně striktně nižší než . Hodnocení: . Všimněte si, že celá tato část není celé číslo, ale polynom.
nab{\ displaystyle a \ over b}na{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b} F=NAB{\ displaystyle F = {A \ nad B}}NA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}NAB{\ displaystyle {A \ přes B}}F{\ displaystyle F}Q{\ displaystyle Q}NAB=Q+RB{\ displaystyle {A \ nad B} = Q + {R \ nad B}}R{\ displaystyle R}B{\ displaystyle B}E(F){\ displaystyle {\ text {E}} (F)}
Zlomkovou část je .
E(F)-F=RB{\ displaystyle {\ text {E}} (F) -F = {R \ nad B}}
Tyto definice jsou předávány racionálním funkcím .
Vlastnosti
P1: pokud je stupně <0 ,, a pokud ne (a proto ).
F{\ displaystyle F}E(F)=0{\ displaystyle {\ text {E}} (F) = 0}deg(E(F))=deg(F){\ displaystyle \ deg ({\ text {E}} (F)) = \ deg (F)}E(F)=0⇔degF<0{\ displaystyle E (F) = 0 \ Šipka vlevo \ deg {F} <0}
P2: polynom je celočíselná část racionálního zlomku právě tehdy, má-li přísně záporný stupeň.
Q{\ displaystyle Q}F{\ displaystyle F}F-Q{\ displaystyle FQ}
P3: celočíselná část součtu je součtem celočíselných částí:
E(F+G)=E(F)+E(G){\ displaystyle {\ text {E}} (F + G) = {\ text {E}} (F) + {\ text {E}} (G)}
Toto tedy rozlišuje pojem celočíselné části v celých číslech a v racionálních číslech; tato vlastnost je velmi užitečná pro hledání rozkladu na jednoduché prvky .
Demonstrace
Pro P1: pokud je stupeň <0 , pak je kvocient z par je skutečně nulová. V opačném případě, tedy , tudíž . Takže .
F=NAB{\ displaystyle F = {A \ nad B}}degNA<degB{\ displaystyle \ deg A <\ deg B}Q=E(F){\ displaystyle Q = {\ text {E}} (F)}NA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}degR<degB{\ displaystyle \ deg {R} <\ deg {B}}degR<degBQ{\ displaystyle \ deg {R} <\ deg {BQ}}degNA=deg(BQ+R)=degBQ=degB+degQ{\ displaystyle \ deg {A} = \ deg {(BQ + R)} = \ deg {BQ} = \ deg {B} + \ deg {Q}}degQ=degNA-degB=degF{\ displaystyle \ deg Q = \ deg {A} - \ deg {B} = \ deg {F}}
Pro P2: přímý význam: má skutečně přísně negativní stupeň. Naopak, pokud je v přísně záporné míře, pak je kvocient par .
F-Q=RB{\ displaystyle FQ = {R \ nad B}}F-Q=NA-BQB{\ displaystyle FQ = {{A-BQ} \ přes B}}deg(NA-BQ)<degB{\ displaystyle \ deg (A-BQ) <\ deg B}Q{\ displaystyle Q}NA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}
Pro P3: protože jeho stupeň je <0, tak podle P2 je celočíselná část hodnoty dobrá .
F+G-(E(F)+E(G))=F-E(F)+G-E(G){\ displaystyle F + G - ({\ text {E}} (F) + {\ text {E}} (G)) = F - {\ text {E}} (F) + G - {\ text { E}} (G)}F+G{\ displaystyle F + G}E(F)+E(G){\ displaystyle {\ text {E}} (F) + {\ text {E}} (G)}
aplikace
Celočíselná část racionální funkce stupně> 0 je asymptotická polynomická funkce v sousedství + ∞ a -∞.
F{\ displaystyle f}F{\ displaystyle f}
Poznámky a odkazy
(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku
anglické Wikipedie s názvem
„ Funkce podlahy a stropu “ ( viz seznam autorů ) .
-
D. Guinin a B. Joppin, MPSI analýza , Bréal ,2003( číst online ) , s. 113.
-
Viz například jeho definice v této technické příručce pro inženýry
-
Michel Mante a Roland Charney, Soutěž učitelů škol 20115: Matematika , t. 1,2015( číst online ) , s. 50
-
„ Desetinná část reálného čísla “ , na Scolabu
-
JE Blazek, Combinatorial of N-modules of Catalan , diplomová práce, 2015, s. 17 .
-
(in) Ronald L. Graham , Donald E. Knuth a Oren Patashnik , Concrete Mathematics , Addison-Wesley ,1994( ISBN 0-201-55802-5 ) , kap. 3, cvičení 12.
-
Graham, Knuth a Patashnik 1994 , kap. 3.
Podívejte se také
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">