Afinní projekce
V afinní geometrii , An afinní projekce je bod aplikace prostoru do podprostoru, ve které bod a jeho obraz se v pevném směru nazýván směr výstupku.
Stín objektů vesmíru vrhaný sluncem na rovný povrch je tedy jako první aproximace projekcí prostoru do roviny podle směru paprsků slunce.
Afinní projekce jsou užitečné při konstrukci rovinného nebo prostorového rámu . Rovněž zasahují do budování spříznění . Používají se v některých dvourozměrných reprezentacích trojrozměrných objektů. Mluvíme pak o axonometrické perspektivě .
Když je v euklidovském prostoru směr projekce kolmý k podprostoru, na který promítáme, mluvíme o ortogonální projekci . Když směr není pevný, ale existuje pevný bod, takže bod a jeho obraz jsou vždy zarovnány s pevným bodem, nejde o afinní projekci, ale o střední projekci .
Projekce v rovinné geometrii
Prezentace
V rovinné geometrii, je to považováno za přímka D mapy a směr není rovnoběžná s delta D . Projekce na přímku D ve směru Δ transformuje bod A na bod A 'tak, že
- A 'je na přímce rovnoběžné s Δ procházející A
- A 'je vpravo D
Protože dva předchozí řádky nejsou rovnoběžné, setkávají se s jediným bodem, který zaručuje existenci a jedinečnost A 'při zadání bodu A.
Všimli jsme si, že pokud A patří do linie D, je to jeho vlastní projekt. Nakonec jakýkoli bod A 'umístěný na D je projekcí nekonečna bodů: všechny body umístěné na přímce procházející A' a rovnoběžně s Δ jsou promítnuty na A '. Projekce tedy není injektivní, a proto není bijekcí .
Projekce je afinní aplikace . To znamená, že projekce udržuje barycentra: pokud A a B jsou dva body a pokud a a b jsou dva reálné, takže a + b není nula a pokud G je barycentrum bodů A a B přiřazené koeficienty a a b , projekce bodu G je stále barycentrem projekcí A a B ovlivněných stejnými koeficienty a a b .
Zejména pokud A , B a C jsou tři zarovnané body a pokud A ', B ' a C 'jsou jejich projekce, pak projekce udržuje poměry algebraických měr :
NAB¯NAVS¯=NA′B′¯NA′VS′¯{\ displaystyle {\ frac {\ overline {AB}} {\ overline {AC}}} = {\ frac {\ overline {A'B '}} {\ overline {A'C'}}}}Tato vlastnost je podobná majetku Thalès .
K afinní mapě je přidružena lineární mapa na vektorech roviny :p→{\ displaystyle {\ vec {p}}}p→(NAB→)=NA′B′→{\ displaystyle {\ vec {p}} ({\ overrightarrow {AB}}) = {\ overrightarrow {A'B '}}}
p→(NAB→+NAVS→)=p→(NAB→)+p→(NAVS→){\ displaystyle {\ vec {p}} ({\ overrightarrow {AB}} + {\ overrightarrow {AC}}) = {\ vec {p}} ({\ overrightarrow {AB}}) + {\ vec {p }} ({\ overrightarrow {AC}})}a pokud k je skalární , pak
p→(kNAB→)=kp→(NAB→){\ displaystyle {\ vec {p}} (k {\ overrightarrow {AB}}) = k {\ vec {p}} ({\ overrightarrow {AB}})}.
Tato lineární mapa je vektorová projekce .
Kartézské projekce a souřadnice
Linie D a delta protínají na O . Takže A ‚ projekce A na D rovnoběžně s delta a A‘ projekcí A na delta paralelně s D . Tak :
ÓNA→=ÓNA′→+ÓNA„¯{\ displaystyle {\ overrightarrow {OA}} = {\ overrightarrow {OA '}} + {\ overline {OA' '}}}Pokud u je směrovací vektor D a v, směrovací vektor Δ, (0, u , v ) je afinní souřadnicový systém roviny. Pokud jsou souřadnice A v tomto rámci ( x , y ), pak:
ÓNA′→=X⋅u ; ÓNA„→=y⋅proti.{\ displaystyle {\ overrightarrow {OA '}} = x \ cdot u \; \ {\ overrightarrow {OA' '}} = y \ cdot v.}
Dovolit být směrovým vektorem Δ složek ( x u , y u ). Je
u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}
a · x + b · y + c = 0
rovnice D . Nechte bod A se souřadnicemi ( x A , y A ) a jeho projekt A ' se souřadnicemi ( x A' , y A ' ).
Protože ( AA ' ) je rovnoběžná s Δ, existuje skalární k takové, že
NANA′→=k⋅u→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AA '}} = k \ cdot {\ vec {u}}}je
{XNA′-XNA=k⋅XuyNA′-yNA=k⋅yu{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x_ {A '} - x_ {A} = k \ cdot x_ {u} \\ y_ {A'} - y_ {A} = k \ cdot y_ {u } \ end {matrix}} \ vpravo.}Navíc A ' je na D , což znamená, že
a · x A ' + b · y A' + c = 0
takže máme
· ( k · x u + x ) + b · ( k · y u + y ) + c = 0
odkud
k=-na⋅XNA+b⋅yNA+vs.na⋅Xu+b⋅yu{\ displaystyle k = - {\ frac {a \ cdot x_ {A} + b \ cdot y_ {A} + c} {a \ cdot x_ {u} + b \ cdot y_ {u}}}}( A · x u + b · y u není nula, protože není kolineární k D ) kde
u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}
{XNA′=-na⋅XNA+b⋅yNA+vs.na⋅Xu+b⋅yu⋅Xu+XNAyNA′=-na⋅XNA+b⋅yNA+vs.na⋅Xu+b⋅yu⋅yu+yNA{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x_ {A '} = - {\ frac {a \ cdot x_ {A} + b \ cdot y_ {A} + c} {a \ cdot x_ {u} + b \ cdot y_ {u}}} \ cdot x_ {u} + x_ {A} \\ y_ {A '} = - {\ frac {a \ cdot x_ {A} + b \ cdot y_ {A} + c} {a \ cdot x_ {u} + b \ cdot y_ {u}}} \ cdot y_ {u} + y_ {A} \ end {matrix}} \ vpravo.}je
{XNA′=b⋅(XNAyu-yNAXu)-vs.⋅Xuna⋅Xu+b⋅yuyNA′=na⋅(yNAXu-XNAyu)-vs.⋅yuna⋅Xu+b⋅yu{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x_ {A '} = {\ frac {b \ cdot (x_ {A} y_ {u} -y_ {A} x_ {u}) - c \ cdot x_ {u}} {a \ cdot x_ {u} + b \ cdot y_ {u}}} \\ y_ {A '} = {\ frac {a \ cdot (y_ {A} x_ {u} -x_ {A } y_ {u}) - c \ cdot y_ {u}} {a \ cdot x_ {u} + b \ cdot y_ {u}}} \ end {matrix}} \ right.}
Geometrická projekce v prostoru
Projekce na rovinu rovnoběžnou s přímkou
Prezentace
Ve vesmíru uvažujeme rovinu Π a přímku Δ ne rovnoběžnou s Π. Projekce na rovinu Π podle směru Δ transformuje bod A na bod A 'tak, že
- A 'patří do roviny Π;
- A 'je na přímce rovnoběžné s Δ procházející A
Protože rovina a přímka nejsou rovnoběžné, protínají se v jednom bodě, což zaručuje existenci a jedinečnost A ', když je uveden bod A. Pokud je Δ kolmá na Π, pak se o projekci říká, že je kolmá .
Našli jsme stejné vlastnosti jako v předchozí projekci: pokud A patří do roviny, A je jeho vlastní projekce. Libovolný bod A 'roviny je projekcí nekonečna bodů umístěných na přímce procházející A' a rovnoběžné s Δ
Projekce je afinní aplikace , která zachovává barycentra a paralelismus. To znamená, že dvě rovnoběžky jsou promítány buď podle dvou bodů, nebo jinak podle dvou stejně rovnoběžných čar. Tento typ projekce umožňuje rovinné reprezentace objektů v prostoru ve formě axonometrických perspektiv , jako je kavalírská perspektiva .
Pokud jde o jakékoli afinní mapování, vlastnost Thales je stále ověřena: pokud A , B a C jsou tři zarovnané body a pokud A ', B ' a C 'jsou jejich projekce, pak
NAB¯NAVS¯=NA′B′¯NA′VS′¯,{\ displaystyle {\ frac {\ overline {AB}} {\ overline {AC}}} = {\ frac {\ overline {A'B '}} {\ overline {A'C'}}},}tj. existuje skalární splňující obojí
λ{\ displaystyle \ lambda}
NAB→=λ NAVS→aNA′B′→=λ NA′VS′→.{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}} = \ lambda ~ {\ overrightarrow {AC}} \ quad {\ text {et}} \ quad {\ overrightarrow {A'B '}} = \ lambda ~ {\ overrightarrow { A'C '}}.}Ve skutečnosti je k afinní mapě přidružena lineární mapa na vektorech prostoru, která vysílá dál a dál .
NAVS→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AC}}}NA′VS′→{\ displaystyle {\ overrightarrow {A'C '}}}NAB→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}}}NA′B′→{\ displaystyle {\ overrightarrow {A'B '}}}
Lineární mapa spojená s afinní projekcí je vektorová projekce .
Analytické vyjádření
Dovolit být směrovým vektorem Δ složek ( x u , y u , z u ). Je
u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}
a · x + b · y + c · z + d = 0
rovnice Π. Nechte bod A se souřadnicemi ( x A , y A , z A ) a jeho projekt A ' se souřadnicemi ( x A' , y A ' , z A' ).
Protože ( AA ' ) je rovnoběžná s Δ, existuje skalární k takové, že
NANA′→=k⋅u→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AA '}} = k \ cdot {\ vec {u}}}je
{XNA′-XNA=k⋅XuyNA′-yNA=k⋅yuzNA′-zNA=k⋅zu{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x_ {A '} - x_ {A} = k \ cdot x_ {u} \\ y_ {A'} - y_ {A} = k \ cdot y_ {u } \\ z_ {A '} - z_ {A} = k \ cdot z_ {u} \\\ end {matrix}} \ right.}Kromě toho, A ' je na n, což znamená, že
a · x A ' + b · y A' + c · z A ' + d = 0
Vidíme, že z analytického hlediska je problém velmi podobný předchozímu. Máme soustavu čtyř rovnic se čtyřmi neznámými x A ' , y A' , z A ' a k . Získáváme:
{XNA′=b⋅(XNAyu-yNAXu)+vs.⋅(XNAzu-zNAXu)-d⋅Xuna⋅Xu+b⋅yu+vs.⋅zuyNA′=na⋅(yNAXu-XNAyu)+vs.⋅(yNAzu-zNAyu)-d⋅yuna⋅Xu+b⋅yu+vs.⋅zuzNA′=na⋅(zNAXu-XNAzu)+b⋅(zNAyu-yNAzu)-d⋅zuna⋅Xu+b⋅yu+vs.⋅zu{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x_ {A '} = {\ frac {b \ cdot (x_ {A} y_ {u} -y_ {A} x_ {u}) + c \ cdot ( x_ {A} z_ {u} -z_ {A} x_ {u}) - d \ cdot x_ {u}} {a \ cdot x_ {u} + b \ cdot y_ {u} + c \ cdot z_ {u }}} \\ y_ {A '} = {\ frac {a \ cdot (y_ {A} x_ {u} -x_ {A} y_ {u}) + c \ cdot (y_ {A} z_ {u} -z_ {A} y_ {u}) - d \ cdot y_ {u}} {a \ cdot x_ {u} + b \ cdot y_ {u} + c \ cdot z_ {u}}} \ z_ {A ' } = {\ frac {a \ cdot (z_ {A} x_ {u} -x_ {A} z_ {u}) + b \ cdot (z_ {A} y_ {u} -y_ {A} z_ {u} ) - d \ cdot z_ {u}} {a \ cdot x_ {u} + b \ cdot y_ {u} + c \ cdot z_ {u}}} \\ end {matrix}} \ vpravo.}V případě ortogonální projekce a je-li souřadný systém ortonormální, lze zvolit x u = a , y u = b a z u = c , to znamená
{XNA′=(b2+vs.2)⋅XNA-nab⋅yNA-navs.⋅zNA-d⋅nana2+b2+vs.2yNA′=-nab⋅XNA+(na2+vs.2)⋅yNA-bvs.⋅zNA-d⋅bna2+b2+vs.2zNA′=-navs.⋅XNA-bvs.⋅yNA+(na2+b2)⋅zNA-d⋅vs.na2+b2+vs.2{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x_ {A '} = {\ frac {(b ^ {2} + c ^ {2}) \ cdot x_ {A} -ab \ cdot y_ {A} -ac \ cdot z_ {A} -d \ cdot a} {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}} \\ y_ {A '} = {\ frac {-ab \ cdot x_ {A} + (a ^ {2} + c ^ {2}) \ cdot y_ {A} -bc \ cdot z_ {A} -d \ cdot b} {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}} \\ z_ {A '} = {\ frac {-ac \ cdot x_ {A} -bc \ cdot y_ {A} + (a ^ {2} + b ^ {2}) \ cdot z_ {A} -d \ cdot c} {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}} \\\ end {matrix}} \ right.}Pokud se libovolně rozhodneme, že Π obsahuje počátek ( d = 0) a že a ² + b ² + c ² = 1, pak máme
{XNA′=(b2+vs.2)⋅XNA-nab⋅yNA-navs.⋅zNAyNA′=-nab⋅XNA+(na2+vs.2)⋅yNA-bvs.⋅zNAzNA′=-navs.⋅XNA-bvs.⋅yNA+(na2+b2)⋅zNA{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x_ {A '} = (b ^ {2} + c ^ {2}) \ cdot x_ {A} -ab \ cdot y_ {A} -ac \ cdot z_ {A} \\ y_ {A '} = - ab \ cdot x_ {A} + (a ^ {2} + c ^ {2}) \ cdot y_ {A} -bc \ cdot z_ {A} \\ z_ {A '} = - ac \ cdot x_ {A} -bc \ cdot y_ {A} + (a ^ {2} + b ^ {2}) \ cdot z_ {A} \\\ end {matrix}} \ že jo.}V případě izometrické perspektivy zvolíme | a | = | b | = | c | = 1 / √3. Například pokud zvolíme tři kladné hodnoty, máme
{XNA′=2/3⋅XNA-1/3⋅yNA-1/3⋅zNAyNA′=-1/3⋅XNA+2/3⋅yNA-1/3⋅zNAzNA′=-1/3⋅XNA-1/3⋅yNA+2/3⋅zNA{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x_ {A '} = 2/3 \ cdot x_ {A} -1/3 \ cdot y_ {A} -1/3 \ cdot z_ {A} \\ y_ {A '} = - 1/3 \ cdot x_ {A} +2/3 \ cdot y_ {A} -1/3 \ cdot z_ {A} \\ z_ {A'} = - 1/3 \ cdot x_ {A} -1/3 \ cdot y_ {A} +2/3 \ cdot z_ {A} \\\ end {matrix}} \ right.}
Projekce na přímku rovnoběžnou s rovinou
Se stejnými notacemi jako výše lze definovat projekci na Δ rovnoběžně s Π: transformuje bod A na bod A 'tak, že
- A 'je na A;
- A 'patří k rovině rovnoběžné s Π procházející A
Stejně jako dříve skutečnost, že přímka a rovina nejsou rovnoběžné, umožňuje říci, že se protínají v bodě, a zaručuje existenci a jedinečnost A ', když je uveden bod A. Pokud je Δ kolmá na Π, pak se o projekci říká, že je kolmá.
Našli jsme stejné vlastnosti jako v předchozí projekci: pokud A patří k přímce, A je jeho vlastní projekce. Libovolný bod A 'přímky je projekcí nekonečna bodů umístěných v rovině procházející A' a rovnoběžné s Π.
Vždy se jedná o afinní mapu, takže přidružená lineární mapa je vektorová projekce , takže má výše uvedené vlastnosti.
Kartézské projekce a souřadnice
Vezměme tři řádky D 1 směrový vektor u 1 , D 2 směrový vektor u 2 a D 3 směrový vektor u tří , nekoplanární a sbíhají v bodě O .
Pro bod v prostoru A nazýváme:
-
A 1 průmět A na D 1 rovnoběžný s rovinou ( D 2 , D 3 );
-
2 průmět A na D 2, rovnoběžně s rovinou ( D 3 , D 1 );
-
A 3 projekce A na D 3 rovnoběžně s rovinou ( D 1 , D 2 ).
Tak :
ÓNA→=ÓNA1→+ÓNA2→+ÓNA3→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OA}} = {\ overrightarrow {OA_ {1}}} + {\ overrightarrow {OA_ {2}}} + {\ overrightarrow {OA_ {3}}}}a pokud A má pro souřadnice ( x , y, z ) v rámci (0, u 1 , u 2 , u 3 ), pak
ÓNA1→=X⋅u1 ; ÓNA2→=y⋅u2 ; ÓNA3→=z⋅u3.{\ displaystyle {\ overrightarrow {OA_ {1}}} = x \ cdot u_ {1} \; \ \ {\ overrightarrow {OA_ {2}}} = y \ cdot u_ {2} \; \ \ {\ overrightarrow {OA_ {3}}} = z \ cdot u_ {3}.}
Obecná definice
V nespecifikované afinního prostoru, si uvědomíme, s afinní podprostor směru a jeden další z , jeden výstupek na hovory v závislosti na směru , mapy, které přeměňují žádný bodu A do bodu A, ověření
F1{\ displaystyle F_ {1}}PROTI1{\ displaystyle V_ {1}} PROTI2{\ displaystyle V_ {2}}PROTI1{\ displaystyle V_ {1}}F1{\ displaystyle F_ {1}}PROTI2{\ displaystyle V_ {2}}
- A 'patří F1{\ displaystyle F_ {1}}
- A 'patří do podprostoru (procházejícího A a směrem ).NA+PROTI2{\ displaystyle A + V_ {2}}PROTI2{\ displaystyle V_ {2}}
Skutečnost, že jejich směry jsou další, zajišťuje, že obě podprostory a mají jen jedno společné.
F1{\ displaystyle F_ {1}}NA+PROTI2{\ displaystyle A + V_ {2}}
Dokazujeme, že tato projekce je afinní mapa, jejíž přidružená lineární mapa je projekce ve směru a jejíž sada pevných bodů je . Naopak jakákoli afinní mapa, jejíž přidružená lineární mapa je projekce a která má pevné body, je afinní projekce.
p{\ displaystyle p} p→{\ displaystyle {\ vec {p}}}PROTI1{\ displaystyle V_ {1}}PROTI2=ker(p→){\ displaystyle V_ {2} = \ ker ({\ vec {p}})}F1=p(E){\ displaystyle F_ {1} = p (E)}
Jakákoli afinní projekce je idempotentní , to znamená . Naopak každá idempotentní afinní mapa je afinní projekcí.
p{\ displaystyle p}p∘p=p{\ displaystyle p \ circ p = p}
Reference
-
Zdroj je považován za dostatečně vzdálený pro to, aby sluneční paprsky mohly být považovány za rovnoběžné
-
Aviva Szpirglas , Algebra L3: Kompletní kurz se 400 testy a opravenými cvičeními [ detail vydání ], str. 107.
Bibliografie
- Aviva Szpirglas , Algebra L3: Kompletní kurz se 400 opravenými testy a cvičeními [ detail vydání ]
- Dany-Jack Mercier, test prezentace matematiky CAPES: lekce písemné a komentované, svazek 4 , vydání Publibook, 2008
Související články
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">