Místní vlastnictví

O určité matematické vlastnosti říkáme , že je lokálně ověřována v bodě topologického prostoru, pokud existuje základní systém sousedství tohoto bodu, na kterém je vlastnost pravdivá.

O určité matematické vlastnosti říkáme, že je lokálně ověřena, pokud je lokálně ověřena v kterémkoli bodě uvažovaného topologického prostoru.

Tento pojem se nachází ve všech oblastech matematiky, které používají topologii , zejména v analýze .

Často stačí, aby vlastnost platila pro sousedství bodu, aby to platilo lokálně v tomto bodě, například:

Říkáme, že funkce definovaná na topologického prostoru připouští v bodě o v lokálním maximu , jestliže existuje okolí z taková, že je největší hodnotou na ; ${\ displaystyle \ f: X \ až \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ X}$ $\ na$ ${\ displaystyle \ X}$ $\ V$ $\ na$ ${\ displaystyle \ f (a)}$ $\ f$ $\ V$
Říkáme, že topologický prostor je lokálně kompaktní, pokud je samostatný a pokud má každý z jeho bodů kompaktní sousedství .

To je však obecně špatné, například:

Nemůžeme říci, že funkce je místně neomezená v bodě pod záminkou, že je neomezená (což je sousedství uvažovaného bodu); ${\ displaystyle \ x \ mapsto {\ frac {1} {x}}}$ ${\ displaystyle \ x = 1}$ ${\ displaystyle \] 0,2 [}$
Existují propojené prostory, které nejsou místně spojeny v bodě, lze například vzít adhezi grafu , v a bodu . Celý prostor je přesto propojeným sousedstvím tohoto bodu. ${\ displaystyle \ x \ mapsto \ sin {\ frac {1} {x}}, x> 0}$ ${\ displaystyle \ \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ (0,1)}$

Tento výraz je také zapojen do teorie skupin : říká se, že skupina lokálně ověří vlastnost, pokud kontrolu dokončí všechny její podskupiny . Například skupina je místně nilpotentní (en), pokud jsou všechny její konečně generované podskupiny nilpotentní ; je lokálně konečný (in), pokud jsou všechny jeho konečně generované podskupiny konečné .

Podívejte se také