Přestávka

V teorii pravděpodobnosti , zejména při studiu stochastických procesů , je čas zastavení (nazývaný také volitelný čas zastavení a odpovídající markovskému času nebo určitému markovskému okamžiku ) náhodná proměnná, jejíž hodnota je interpretována jako okamžik, kdy chování daný stochastický proces je zajímavý. Odstávka je často definována pravidlem vypnutí, což je mechanismus pro rozhodování, zda pokračovat nebo zastavit proces na základě aktuální polohy a minulých událostí.

Tímto zastavovacím časem může být například okamžik, kdy končí stochastický proces, nebo v Poissonově procesu a dalších Lévyho procesech s nezávislým stacionárním nárůstem, okamžik přírůstkového „skoku“.

Toto pojetí prostoje není spoléhat na jakékoliv budoucí události je úzce souvisí s výrazným majetku města Markov procesy .

Časy zastavení hrají důležitou roli v teorii rozhodování a v martingalech se řídí Doobovou větou o zastavení (nebo volitelnou větou o zastavení).

Definice

Definice  -  náhodná veličina je doba zastavení se vzhledem k filtraci , pokud, T:Ω→NE∪{∞}{\ displaystyle T: \ Omega \ rightarrow \ mathbb {N} \ cup \ {\ infty \}} (Fne)ne≥0{\ displaystyle ({\ mathcal {F}} _ {n}) _ {n \ geq 0}}

∀ne∈NE,{T=ne}∈Fne,{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ quad \ {T = n \} \ in {\ mathcal {F}} _ {n},}

nebo rovnocenným způsobem, pokud

∀ne∈NE,{T≤ne}∈Fne.{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ quad \ {T \ leq n \} \ in {\ mathcal {F}} _ {n}.}

Výklad

Představme si, že zde označuje kmen generovaný poté a že náhodné proměnné představují výsledky hráče během po sobě jdoucích částí hry. V případě náhodných proměnných s hodnotami v konečném nebo spočitatelném stavovém prostoru část patří se tehdy a jen tehdy, pokud existuje taková, že  Fne {\ displaystyle \ scriptstyle \ {\ mathcal {F}} _ {n} \} (Xk)0≤k≤ne, {\ displaystyle \ scriptstyle \ (X_ {k}) _ {0 \ leq k \ leq n}, \}  Xk {\ displaystyle \ scriptstyle \ X_ {k} \} E {\ displaystyle \ scriptstyle \ E \} NA⊂Ω {\ displaystyle \ scriptstyle \ A \ podmnožina \ Omega \} Fne {\ displaystyle \ scriptstyle \ {\ mathcal {F}} _ {n} \} B⊂Ene+1 {\ displaystyle \ scriptstyle \ B \ podmnožina E ^ {n + 1} \}

NA={(X0,X1,...,Xne)∈B}={ω∈Ω | (Xk(ω))0≤k≤ne∈B}.{\ displaystyle {\ begin {aligned} A & = \ left \ {(X_ {0}, X_ {1}, \ dots, X_ {n}) \ in B \ right \} \\ & = \ left \ { \ omega \ in \ Omega \ | \ \ left (X_ {k} (\ omega) \ right) _ {0 \ leq k \ leq n} \ in B \ right \}. \ end {aligned}}}

Předpokládejme, že to představuje číslo hry, po kterém se hráč rozhodne přestat hrát: je tedy time out , a to pouze tehdy, pokud je rozhodnutí o zastavení učiněno na základě výsledků her již hraných v době hry. tj. pokud pro všechno existuje podmnožina, jako například:  T {\ displaystyle \ scriptstyle \ T \} T {\ displaystyle \ scriptstyle \ T \} ne {\ displaystyle \ scriptstyle \ n \} Bne⊂Ene+1 {\ displaystyle \ scriptstyle \ B_ {n} \ podmnožina E ^ {n + 1} \}

{T=ne}⇔{(X0,X1,...,Xne)∈Bne}.{\ displaystyle \ {T = n \} \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ left \ {(X_ {0}, X_ {1}, \ dots, X_ {n}) \ in B_ {n} \ right \}. }

Okamžik, kdy se hráč zastaví, je tedy oddechový čas, pokud rozhodnutí o zastavení nezohledňuje výsledky budoucích her, proto za předpokladu, že je vyloučen dar dvojího zraku a podvádění.

Zápisy

• Dovolme posloupnost náhodných proměnných ( stochastický proces ) a T doba zastavení s ohledem na filtraci . Proces pozorovaný v čase T (nebo zastavený v čase T ) je zaznamenán a je definován(Xne)ne≥0 {\ displaystyle (X_ {n}) _ {n} \ geq 0 \} (Fne)ne≥0{\ displaystyle ({\ mathcal {F}} _ {n}) _ {n \ geq 0}} XT(ω), {\ displaystyle \ X_ {T} (\ omega), \}

XT(ω)=XT(ω)(ω)=∑ne≥0Xne(ω)1T(ω)=ne.{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} X_ {T} (\ omega) & = X_ {T (\ omega)} (\ omega) \\ & = \ sum _ {n \ geq 0} X_ {n} (\ omega) 1_ {T (\ omega) = n}. \ end {zarovnáno}}} Definice je celkově problematická: nejednoznačnost je de facto odstraněna pózováním{ω∈Ω|T(ω)=+∞}, {\ displaystyle \ {\ omega \ v \ Omega \, | \, T (\ omega) = + \ infty \}, \} XT(ω) {\ displaystyle \ X_ {T} (\ omega) \} XT(ω)=0. {\ displaystyle \ X_ {T} (\ omega) = 0. \}

• Buď prostoje a buďT{\ displaystyle T \,}NE∈NE:{\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}:}
  • T∧NE{\ displaystyle T \ klín N} je náhodná proměnná definovaná (T∧NE)(ω)=min(T(ω),NE);{\ displaystyle (T \ klín N) (\ omega) = \ min (T (\ omega), N) \,;}
  • T∨NE{\ displaystyle T \ vee N}je náhodná proměnná definovaná .(T∨NE)(ω)=max(T(ω),NE){\ displaystyle (T \ vee N) (\ omega) = \ max (T (\ omega), N) \,}

Vlastnosti

Vlastnost  -  buď prostoje, nebo . Takže a jsou prostoje. T{\ displaystyle T \,}NE∈NE{\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}}S: =T∧NE, S′: =T∨NE {\ displaystyle S: = T \ klín N, \ S ^ {\ prime}: = T \ vee N \} S′′: =T+NE {\ displaystyle \ S ^ {\ prime \ prime}: = T + N \}

Demonstrace

Dokážeme pouze první bod, další dva jsou podobné:

{S=ne}={T∧NE=ne}={T=ne,ne≤NE}∪{ne=NE,T≥NE}.{\ displaystyle \ {S = n \} = \ {T \ klín N = n \} = \ {T = n, n \ leq N \} \ pohár \ {n = N, T \ geq N \}.}

Zlato

{T=ne}∈Fne  a {T≥NE}={T≤NE-1}vs.∈FNE-1⊂FNE.{\ displaystyle \ {T = n \} \ v {\ mathcal {F}} _ {n} \ {\ text {a}} \ {T \ geq N \} = \ {T \ leq N-1 \} ^ {c} \ in {\ mathcal {F}} _ {N-1} \ subset {\ mathcal {F}} _ {N}.}

Vlastnost  -  Podobně, pokud jsou prostoje, pak je. S Et T{\ displaystyle S \ a \ T}S∧T{\ displaystyle S \ klín T}

Definice a vlastnost  -  Buď prostoje a nazývá se událost před, pokud: T{\ displaystyle T \,}NA∈F∞ : NA{\ displaystyle A \ v {\ mathcal {F}} _ {\ infty} \: \ A \,}T{\ displaystyle T \,}

∀ne∈NE NA∩(T=ne)∈Fne.{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ A \ cap (T = n) \ in {\ mathcal {F}} _ {n}.}

Všechny tyto události tvoří dílčí kmen zvaného kmene před a známýF∞{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty}}T{\ displaystyle T \,}FT.{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}.}

Demonstrace

• FT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}} obsahuje Ω{\ displaystyle \ Omega \,}
• FT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}} je stabilní spočítatelným spojením
• Buď . My kdene∈NE{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}NA∩(T=ne)∈Fne Et (T=ne)∈Fne. {\ displaystyle A \ cap (T = n) \ in {\ mathcal {F}} _ {n} \ a \ (T = n) \ in {\ mathcal {F}} _ {n}. \}

Fne∋(T=ne)∩(NA∩(T=ne))vs.=(T=ne)∩(NAvs.∪(T≠ne)){\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n} \ ni (T = n) \ cap (A \ cap (T = n)) ^ {c} = (T = n) \ cap (A ^ {c } \ cup (T \ neq n))}

=((T=ne)∩NAvs.)∪((T=ne)∩(T≠ne))=((T=ne)∩NAvs.)∪∅=NAvs.∩(T=ne){\ displaystyle = ((T = n) \ čepice A ^ {c}) \ pohár ((T = n) \ čepice (T \ neq n)) = ((T = n) \ čepice A ^ {c}) \ cup \ emptyset = A ^ {c} \ cap (T = n)},

a je stabilní komplementaritou.FT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}}

Tvrzení  -  Nechť a být dva zastavovací časy tak, že ps. Máme tedy . S{\ displaystyle S \,}T{\ displaystyle T \,}S≤T{\ displaystyle S \ leq T}FS⊂FT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {S} \ podmnožina {\ mathcal {F}} _ {T}}

Demonstrace

Buď , to znamená . Jak více ps . Jako výsledek, NA∈FS{\ displaystyle A \ in {\ mathcal {F}} _ {S}}∀ne∈NE , NA∩(S≤ne)∈Fne{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \, \ A \ cap (S \ leq n) \ in {\ mathcal {F}} _ {n}}S≤T{\ displaystyle S \ leq T \,}(T≤ne)⊂(S≤ne){\ displaystyle (T \ leq n) \ podmnožina (S \ leq n)}

NA∩(T≤ne)=NA∩(T≤ne)∩(S≤ne).{\ Displaystyle A \ cap (T \ leq n) = A \ cap (T \ leq n) \ cap (S \ leq n).}

Zlato a protože to je prostoj. Proto NA∩(S≤ne)∈Fne{\ displaystyle A \ cap (S \ leq n) \ in {\ mathcal {F}} _ {n}}(T≤ne)∈Fne{\ displaystyle (T \ leq n) \ v {\ mathcal {F}} _ {n}}T{\ displaystyle T \,}

NA∩(T≤ne)∈Fne.{\ displaystyle A \ cap (T \ leq n) \ v {\ mathcal {F}} _ {n}.}

Lemma  -  Nechť je měřitelná náhodná proměnná . je -měřitelný, pokud je -měřitelný. Z{\ displaystyle Z \,}F∞{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty}}Z{\ displaystyle Z \,}FT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}}∀ne , 1(T=ne)×Z{\ displaystyle \ forall n \, \ 1 _ {(T = n)} \ krát Z}Fne{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}

Demonstrace

⇒{\ displaystyle \ Rightarrow} :

Z{\ displaystyle Z \,}je měřitelný. sFT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}}(1(T=ne)×Z)-1(X)=Z-1(X)∩(T=ne){\ displaystyle (1 _ {(T = n)} \ krát Z) ^ {- 1} (x) = Z ^ {- 1} (x) \ čepice (T = n)}Z-1(X)∈FT.{\ displaystyle Z ^ {- 1} (x) \ in {\ mathcal {F}} _ {T}.}

Zlato FT={NA∈F∞/∀ne NA∩(T=ne)∈Fne}.{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T} = \ {A \ in {\ mathcal {F}} _ {\ infty} / \ forall n \ A \ cap (T = n) \ in {\ mathcal {F}} _ {n} \}.}

Proto Z-1(X)∩(T=ne)∈Fne.{\ displaystyle Z ^ {- 1} (x) \ cap (T = n) \ v {\ mathcal {F}} _ {n}.}

Nakonec je měřitelný. 1(T=ne)×Z{\ displaystyle 1 _ {(T = n)} \ krát Z \,}Fne{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}

⇐{\ displaystyle \ Leftarrow} :

(1(T=ne)∗Z)-1(X)=Z-1(X)∩(T=ne)∈Fne{\ displaystyle (1 _ {(T = n)} * Z) ^ {- 1} (x) = Z ^ {- 1} (x) \ cap (T = n) \ v {\ mathcal {F}} _ {not}}

s více . Proto (podle definice ). Tak je to měřitelné. Z-1(X)∈F∞{\ displaystyle Z ^ {- 1} (x) \ in {\ mathcal {F}} _ {\ infty}}Z-1(X)∈FT{\ displaystyle Z ^ {- 1} (x) \ v {\ mathcal {F}} _ {T}}FT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}}Z{\ displaystyle Z \,}FT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}}

Návrh  -  je měřitelný. XT{\ displaystyle X_ {T} \,}FT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}}

Demonstrace XT=∑ne1(T=ne)XT+1(T=∞)X∞=∑ne1(T=ne)Xne+1(T=∞)X∞{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} X_ {T} & = \ sum _ {n} 1 _ {(T = n)} X_ {T} +1 _ {(T = \ infty)} X _ {\ infty } \\ & = \ sum _ {n} 1 _ {(T = n)} X_ {n} +1 _ {(T = \ infty)} X _ {\ infty} \ end {zarovnáno}}}

s kým jsou - měřitelné, proto je - měřitelné. Podle předchozího lemmatu je -měřitelné. 1(T=ne) Et Xne{\ displaystyle 1 _ {(T = n)} \ a \ X_ {n}}Fne{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}XT×1(T=ne){\ displaystyle X_ {T} \ krát 1 _ {(T = n)} \,}Fne{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}XT{\ displaystyle X_ {T} \,}FT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}}

Příklady a protiklady

Zvažte posloupnost náhodných proměnných s hodnotami v sadě a všimněte si potom generovaného kmene. Náhodné proměnné níže jsou časy zastavení filtrace  :  X=(Xk)k≥0 {\ displaystyle \ scriptstyle \ X = (X_ {k}) _ {k \ geq 0} \} E, {\ displaystyle \ scriptstyle \ E, \} Fne {\ displaystyle \ scriptstyle \ {\ mathcal {F}} _ {n} \} (Xk)0≤k≤ne. {\ displaystyle \ scriptstyle \ (X_ {k}) _ {0 \ leq k \ leq n}. \} (Fne)ne≥0{\ displaystyle \ scriptstyle \ ({\ mathcal {F}} _ {n}) _ {n \ geq 0}}

• Dovolit být prvkem  ; nazýváme čas prvního návratu do a my označujeme náhodná veličina definovaná níže: j {\ displaystyle \ scriptstyle \ j \} E {\ displaystyle \ scriptstyle \ E \} j, {\ displaystyle \ scriptstyle \ j, \} Rj, {\ displaystyle \ scriptstyle \ R_ {j}, \}

Rj={inf{ne>0|Xne=j}-li{ne>0|Xne=j}≠∅,+∞Pokud ne.{\ displaystyle R_ {j} = \ left \ {{\ begin {pole} {lll} \ inf \ left \ {n> 0 \, \ vert \, X_ {n} = j \ right \} && {\ textrm {si}} \ quad \ left \ {n> 0 \, \ vert \, X_ {n} = j \ right \} \ neq \ emptyset, \\ + \ infty && {\ textrm {jinak.}} \ end {pole}} \ vpravo.}

• Stejným způsobem za součást jednoho volání okamžiku prvního vstupu do az jedné poznámky náhodné veličiny definované níže: VS {\ displaystyle \ scriptstyle \ C \} E, {\ displaystyle \ scriptstyle \ E, \} VS, {\ displaystyle \ scriptstyle \ C, \} TVS, {\ displaystyle \ scriptstyle \ T_ {C}, \}

TVS={inf{ne≥0|Xne∈VS}-li{ne≥0|Xne∈VS}≠∅,+∞Pokud ne.{\ displaystyle T_ {C} = \ levý \ {{\ začátek {pole} {lll} \ inf \ levý \ {n \ geq 0 \, \ vert \, X_ {n} \ v C \ pravý \} && { \ textrm {si}} \ quad \ left \ {n \ geq 0 \, \ vert \, X_ {n} \ v C \ right \} \ neq \ emptyset, \\ + \ infty && {\ textrm {jinak. }} \ end {pole}} \ vpravo.}

• Okamžik -tého návratu v poznámce a definovaný opakováním podle: k{\ displaystyle \ scriptstyle \ k} i, {\ displaystyle \ scriptstyle \ i, \} Ri(k) {\ displaystyle \ scriptstyle \ R_ {i} ^ {(k)} \}

Ri(k)={inf{ne>Ri(k-1)|Xne=i}-li{ne>Ri(k)|Xne=i}≠∅,+∞Pokud ne.,{\ displaystyle R_ {i} ^ {(k)} = \ levý \ {{\ začátek {pole} {lll} \ inf \ levý \ {n> R_ {i} ^ {(k-1)} \, \ green \, X_ {n} = i \ right \} && {\ textrm {si}} \ quad \ left \ {n> R_ {i} ^ {(k)} \, \ green \, X_ {n} = i \ right \} \ neq \ emptyset, \\ + \ infty && {\ textrm {jinak.}} \ end {pole}} \ right.,} nebo opět okamžik pátého vstupu je ta. k{\ displaystyle \ scriptstyle \ k} VS, {\ displaystyle \ scriptstyle \ C, \}

• Pro a v pózách Můžeme ukázat, že to není čas zastavení, ale to je na druhou stranu čas zastavení. i {\ displaystyle \ scriptstyle \ i \} j {\ displaystyle \ scriptstyle \ j \} E, {\ displaystyle \ scriptstyle \ E, \} T=inf{ne≥0|Xne=i a Xne+1=j}. {\ displaystyle \ scriptstyle \ T = \ inf \ left \ {n \ geq 0 \, \ vert \, X_ {n} = i {\ text {a}} X_ {n + 1} = j \ right \}. \} T {\ displaystyle \ scriptstyle \ T \} T+1 {\ displaystyle \ scriptstyle \ T + 1 \}

Reference

1. (in) Michiel Hazewinkel , Encyclopaedia of Mathematics , Springer Science & Business Media,1 st 12. 2013( ISBN  978-94-009-5991-0 , číst online ) , s.  100, 110.
2. (en) Geoffrey Grimmett a David Stirzaker , Pravděpodobnost a náhodné procesy , Oxford; New York: Oxford University Press,2001( ISBN  978-0-19-857223-7 a 978-0-19-857222-0 , číst online ) , s.  263, 264, 498, 499.

Související články

• Sekretářův problém

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">