Grothendieck-Teichmüllerova teorie
Teorie Grothendieck-Teichmüller nebo teorie geometrického Galois , je matematická pole výzkumu, který předvádí přímých odkazů a překvapující mezi větvemi a priori Dálkový ovladač: na algebraické geometrii , tím algebraické teorie čísel se kombinatorika je Galois teorie , na teorie grup , teorie Teichmüllera (in) a topologie .
Obecně řečeno, původem teorie je studium absolutní skupiny Galois, z níž nelze pomocí jejích geometrických dějů „popsat“ žádný prvek (kromě konjugace) .
Gal(Q¯/Q){\ displaystyle \ operatorname {Gal} ({\ bar {\ mathbb {Q}}} / \ mathbb {Q})}
Historie a motivace
Nástin programu
Principy „ Galois - Teichmüllerova teorie “ - spojující Teichmüllerovu teorii Riemannův povrchů a Galoisovu teorii algebraických polí čísel a na nich definovaných algebraických křivek - stanovil Alexander Grothendieck v The Long Walk through Galois theory v roce 1981 a Outline programu v letech 1983-1984. Výchozím bodem je studovat na absolutní Galois skupinu na ℚ prostřednictvím svého působení na topologické a geometrické objekty: křivek, základních skupin , dětských kreseb , diffeotopies.
GQ=Gal(Q¯/Q){\ displaystyle G _ {\ mathbb {Q}} = \ operatorname {Gal} ({\ bar {\ mathbb {Q}}} / \ mathbb {Q})}
Pokud X je algebraická odrůda definovaná na ℚ, označíme-li její základní (topologickou) skupinu a její základní algebraickou skupinu, což je hluboké dokončení předchozí, pak existuje kanonická vnější akce
π1(X){\ displaystyle \ pi _ {1} (X)}π^1(X){\ displaystyle {\ hat {\ pi}} _ {1} (X)}
GQ→Ven(π^1(X)){\ displaystyle G _ {\ mathbb {Q}} \ to \ operatorname {Out} ({\ hat {\ pi}} _ {1} (X))}.
Zejména působení skupiny Galois na základní algebraickou skupinu zachovává třídy konjugace skupin setrvačnosti.
V programu Esquisse d'un jde především o to , jehož základní algebraická skupina je identifikována se skupinou bez profini se dvěma generátory , s . Skupiny setrvačnosti jsou , a a působení skupiny Galois je zachovává, takže víme, že pro jakýkoli prvek existuje α, β, γ ∈ a (můžeme zvolit f = 1) takové, že
P1-{0,1,∞}{\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {1} - \ {0,1, \ infty \}}F^2{\ displaystyle {\ hat {F}} _ {2}}F2=⟨X,y,z|Xyz=1⟩{\ displaystyle F_ {2} = \ langle x, y, z \, | \, xyz = 1 \ rangle}⟨X⟩{\ displaystyle \ langle x \ rangle}⟨y⟩{\ displaystyle \ langle y \ rangle}⟨z⟩{\ displaystyle \ langle z \ rangle}σ∈GQ{\ displaystyle \ sigma \ v G _ {\ mathbb {Q}}}Z^∗{\ displaystyle {\ hat {Z}} ^ {*}}G,h∈F^2{\ displaystyle g, h \ in {\ hat {F}} _ {2}}
{σ(X)=Xασ(y)=G-1yβGσ(z)=h-1zyh{\ displaystyle {\ begin {cases} \ sigma (x) = x ^ {\ alpha} \\\ sigma (y) = g ^ {- 1} y ^ {\ beta} g \\\ sigma (z) = h ^ {- 1} z ^ {\ gamma} h \ end {případy}}}.
Poté můžeme definovat aplikaci
GQ→Z^∗×F^2′{\ displaystyle G _ {\ mathbb {Q}} \ na {\ hat {Z}} ^ {*} \ times {\ hat {F}} _ {2} '}který asociuje s prvkem z automorphism spojené s páremσ{\ displaystyle \ sigma}GQ{\ displaystyle G _ {\ mathbb {Q}}}Fσ∈Aut(F^2){\ displaystyle F _ {\ sigma} \ in \ operatorname {Aut} ({\ hat {F}} _ {2})}(λσ,Fσ){\ displaystyle (\ lambda _ {\ sigma}, f _ {\ sigma})}
{X↦Xλσy↦Fσ-1yλσFσ{\ displaystyle {\ begin {cases} x \ mapsto x ^ {\ lambda _ {\ sigma}} \\ y \ mapsto f _ {\ sigma} ^ {- 1} y ^ {\ lambda _ {\ sigma}} f_ {\ sigma} \ end {případy}}}.
Tato mapa, injektivní podle Belyiho věty (en) , není skupinovým homomorfismem. Na druhou stranu, pokud spojíme pár s násobením , pak se jedná o izomorfismus na jeho obrázku.
σ⋅τ{\ displaystyle \ sigma \ cdot \ tau}(λσλτ,FσFσ(Fτ)){\ displaystyle (\ lambda _ {\ sigma} \ lambda _ {\ tau}, f _ {\ sigma} F _ {\ sigma} (f _ {\ tau}))}
Působení na zaslání podskupinu konečného indexu na . Jinými slovy, pokud jde o dětské kresby: pro libovolné číslo těla můžeme definovat dětskou kresbu a sada kreseb je vybavena akcí Galois přirozeným způsobem.
GQ{\ displaystyle G _ {\ mathbb {Q}}}F^2{\ displaystyle {\ hat {F}} _ {2}}NE{\ displaystyle N}NEσ{\ displaystyle N ^ {\ sigma}}
Grothendieck popisuje několik způsobů, jak geometricky studovat absolutní skupinu Galois:
- pokusit se charakterizovat jako skupinu automorfismů základních algebraických skupin modulových prostorů respektujících vlastnosti „Galoisova typu“;GQ{\ displaystyle G _ {\ mathbb {Q}}}
- vysvětlit působení těchto skupin jako jakési „ lego hry “;GQ{\ displaystyle G _ {\ mathbb {Q}}}
- pochopit, že skupiny automorfismů základních algebraických skupin prostorů modulů dimenze menších než dvě „musí“ působit na všechny základní skupiny prostorů modulů vyšší dimenze.
Většina výsledků v teorii Grothendieck-Teichmüller se týká mapování třídních skupin (en) , zejména výslovně prokazujeme, že působení skupiny Galois je lokální na Dehnovy twisty (en) .
Skupiny Grothendieck-Teichmüller
Vladimir Drinfeld představil v roce 1991 skupinu Grothendieck-Teichmüller (ne), která se vztahuje k absolutní skupině Galois , čímž realizoval projekt Grothendieck.
Pomocí zápisu pro obraz homomorfismem profinitních skupin jsme nastavili:
F(na,b){\ displaystyle f (a, b)}F∈F^2{\ displaystyle f \ in {\ hat {F}} _ {2}}F^2→G,X↦na,y↦b{\ displaystyle {\ hat {F}} _ {2} \ až G, x \ mapsto a, y \ mapsto b}
-
{θ(X)=Xθ(y)=y{\ displaystyle {\ begin {cases} \ theta (x) = x \\\ theta (y) = y \ end {cases}}}automorfismus a ;F2{\ displaystyle F_ {2}}F^2{\ displaystyle {\ hat {F}} _ {2}}
-
{ω(X)=yω(y)=(Xy)-1{\ displaystyle {\ begin {cases} \ omega (x) = y \\\ omega (y) = (xy) ^ {- 1} \ end {případů}}}automorfismus a ;F2{\ displaystyle F_ {2}}F^2{\ displaystyle {\ hat {F}} _ {2}}
-
ρ:Xi,i+1↦Xi+3,i+4{\ displaystyle \ rho: x_ {i, i + 1} \ mapsto x_ {i + 3, i + 4}}automorfismus a ;Γ0,5{\ displaystyle \ Gamma _ {0,5}}Γ^0,5{\ displaystyle {\ hat {\ Gamma}} _ {0,5}}
kde a jeho vyplněné profini.
Γ0,5≃π1((P1)2-{X=y}){\ displaystyle \ Gamma _ {0,5} \ simeq \ pi _ {1} \ left ((\ mathbb {P} ^ {1}) ^ {2} - \ {x = y \} \ right)}Γ^0,5{\ displaystyle {\ hat {\ Gamma}} _ {0,5}}
Definujeme jako sadu párů , které se rozšiřují do automorfismu s
GT^0{\ displaystyle {\ widehat {GT}} _ {0}}(λ,F)∈Z^∗×F^2′{\ displaystyle (\ lambda, f) \ in {\ hat {Z}} ^ {*} \ times {\ hat {F}} _ {2} '}X↦Xλ,y↦F-1yF{\ displaystyle x \ mapsto x ^ {\ lambda}, y \ mapsto f ^ {- 1} yf}F^2{\ displaystyle {\ hat {F}} _ {2}}
-
θ(F)F=1{\ displaystyle \ theta (f) f = 1} ;
-
ω2(FXm)ω(FXm)FXm=1{\ displaystyle \ omega ^ {2} (fx ^ {m}) \ omega (fx ^ {m}) fx ^ {m} = 1}, kde .m=(λ-1)/2{\ displaystyle m = (\ lambda -1) / 2}
Profini skupina Grothendieck-Teichmüller je pak podmnožina z , která splňuje pentagonální vztahu
GT^{\ displaystyle {\ widehat {GT}}}GT^0{\ displaystyle {\ widehat {GT}} _ {0}}
ρ4(F~)ρ3(F~)ρ2(F~)ρ(F~)F~=1{\ displaystyle \ rho ^ {4} ({\ tilde {f}}) \ rho ^ {3} ({\ tilde {f}}) \ rho ^ {2} ({\ tilde {f}}) \ rho ({\ tilde {f}}) {\ tilde {f}} = 1}v s . Ukazuje se, že de jsou skutečně profinitní skupiny.
Γ^0,5{\ displaystyle {\ hat {\ Gamma}} _ {0,5}}F~=F(X1,2,X2,3){\ displaystyle {\ tilde {f}} = f (x_ {1,2}, x_ {2,3})}GT^{\ displaystyle {\ widehat {GT}}}GT^0{\ displaystyle {\ widehat {GT}} _ {0}}
Drinfeld zejména prokázal, že působí na všechny skupiny Artinových copánků . My máme :
GT^{\ displaystyle {\ widehat {GT}}}
GQ↪GT^{\ displaystyle G _ {\ mathbb {Q}} \ hookrightarrow {\ widehat {GT}}}.
Ústřední domněnka je, že se ve skutečnosti jedná o izomorfismus:
GQ≃GT^{\ displaystyle G _ {\ mathbb {Q}} \ simeq {\ widehat {GT}}}.
Yves André ukázala, že je p -adic konstrukce z nichž představuje p -adic Galois skupiny :
GT^{\ displaystyle {\ widehat {GT}}}
Gal(Fp¯/Fp)=GQ∩GT^p{\ displaystyle \ operatorname {Gal} ({\ overline {\ mathbb {F} _ {p}}} / \ mathbb {F} _ {p}) = G _ {\ mathbb {Q}} \ cap {\ widehat {GT}} _ {p}}kde je podskupina skládající se z automorfismů, které fixují p -adickou základní skupinu .
GT^p{\ displaystyle {\ widehat {GT}} _ {p}}GT^{\ displaystyle {\ widehat {GT}}}
Yasutaka Ihara (en) přispívá ke studiu této skupiny a zavádí odpovídající známou Lieovu algebru , jejíž definice je zjednodušena Hidekazu Furusho pozorováním, že je nadbytečná. Tato Lieova algebra souvisí spíše s teorií deformací spletených Hopfových kvazi- algeber a odpovídá skupině Grothendieck- Teichmüller zvané k -pro-unipotentní.
Grt{\ displaystyle {\ mathfrak {grt}}}
Vícenásobná funkce zeta
Hodnoty funkce zeta (en) pro kladné argumenty vytvářejí,-algebru, jsou-li obdařeny dvěma křížovými operacemi („shuffle product“ a „stuffle product“) a produktem. Máme například:
ζ(2)2=2ζ(2,2)+4ζ(3,1){\ displaystyle \ zeta (2) ^ {2} = 2 \ zeta (2.2) +4 \ zeta (3.1)}
ζ(2)2=2ζ(2,2)+ζ(4){\ displaystyle \ zeta (2) ^ {2} = 2 \ zeta (2,2) + \ zeta (4)}.
Z těchto dvou operací můžeme odvodit mnoho vztahů a otázkou je, zda dokážeme identifikovat všechny vztahy tímto způsobem.
Z této algebry definujeme Lieovu algebru („dvojité zamíchání“). Domníváme se, že máme izomorfismus
ds{\ displaystyle {\ mathfrak {ds}}}
Grt≃ds{\ displaystyle {\ mathfrak {grt}} \ simeq {\ mathfrak {ds}}}mezi Grothendieck-Teichmüllerovou Lieovou algebrou a dvojitou náhodnou Lieovou algebrou , generující všechny algebraické vztahy mezi hodnotami vícenásobné funkce zeta.
Furusho v roce 2008 ukázal, že aplikace obsahuje zařazení:
F(X,y)↦F(X,-y){\ displaystyle f (x, y) \ mapsto f (x, -y)}
Grt↪ds{\ displaystyle {\ mathfrak {grt}} \ hookrightarrow {\ mathfrak {ds}}}.
V poslední době, teorie vzor je povoleno, zejména ve studii smíšených vzorů Tate, Don Zagier (a nezávisle Goncharov, Terasoma) a tím vznikla nejznámější vázán na rozměru algebry multizeta čísel.
Opery a kvantifikace
Maxim Lvovič Koncevič navrhla algebraické kvantizaci (ne) na druhy ryb . Další kvantifikace navržená Tamarkinem vedla Kontsevitche k formulování domněnky, že skupina Grothendieck-Teichmüller působí na takové kvantifikace, vztahující teorii vzorů k teoriím kvantového pole .
Poznámky a odkazy
-
VG Drinfel'd, Kvazitriangulární kvazi-Hopfovy algebry a skupina, která je úzce spojena s Gal (Q / Q), Leningrad Math. J. 2 (1991), č. 2. 4, 829–860
-
Ihara, Yasutaka. „Prýmky, Galoisovy skupiny a některé aritmetické funkce.“ AMS, 1990.
-
Ihara, Yasutaka. „O vložení Gal (Q / Q) do ̂ GT.“ Grothendieckova teorie dětských kreseb (Luminy, Francie, 1993) (1994): 289-321.
-
Lochak, Pierre, Leila Schneps a C. Scheiderer. „Kohomologická interpretace skupiny Grothendieck-Teichmüller.“ Inventiones mathematicae 127,3 (1997): 571-600.
-
André, Yves. Na geometrickém popisu a avatarovi p-adic . “ Gnal(Q¯p/Qp){\ displaystyle \ mathrm {Gal} ({\ overline {\ mathbb {Q}}} _ {p} / \ mathbb {Q} _ {p})}GT^{\ displaystyle {\ widehat {GT}}}Duke Mathematical Journal 119.1 (2003): 1-39.
-
Ihara, Yasutaka. Prýmky, Galoisovy skupiny a některé aritmetické funkce. AMS, 1990.
-
Furusho, Hidekazu. „Rovnice pětiúhelníku a šestiúhelníku.“ Ann. of Math. (2) 171,1 (2010): 545-556.
-
Furusho, Hidekazu. Double shuffle relationship for associators (2008).
-
Zagier, Done. Hodnoty funkcí zeta a jejich aplikace , První evropský kongres matematiky v Paříži, 6. – 10. Července 1992. Birkhäuser Basel, 1994.
-
Goncharov, Alexander B. Více ζ hodnot, Galoisovy skupiny a geometrie modulárních odrůd , Evropský kongres matematiky. Birkhäuser Basel, 2001.
-
Terasoma, Tomohide. Smíšené motivy Tate a více hodnot zeta , Inventiones mathematicae 149.2 (2002): 339-370.
-
Maxim Kontsevich, Operady a motivy v kvantování deformací , Lett. Matematika. Phys. 48 (1999), 35-72
Podívejte se také
Zdroje a bibliografie
-
Alexander Grothendieck , Nástin programu , 1984
- Alexander Grothendieck, The Long Walk through Galois Theory , 1981
- (en) Leila Schneps a Pierre Lochak , Akce Geometric Galois I: Program Esquisse d'un Around Grothendieck , sv. 242, Cambridge University Press , kol. "Lecture Note Series London Mathematical Society",1997, 293 s. ( ISBN 978-0-521-59642-8 )
- (en) Leila Schneps a Pierre Lochak , Geometric Galois Actions II: The Inverse Galois Problem, Moduli Spaces and Mapping Class Groups , sv. 243, Cambridge University Press , kol. "Lecture Note Series London Mathematical Society",1997, 360 s. ( ISBN 978-0-521-59641-1 , číst online )
-
Leila Schneps , An Introduction to Grothendieck-Teichmüller theory , Course at Massachusetts Institute of Technology , 2012.
- Leila Schneps, The Grothendieck-Teichmueller group GT: a survey , 1997
- H. Nakamura, Galoisova tuhost skupin opletení čisté koule a profinitního počtu, J. Math. Sci. Univ. Tokio 1 (1994), 71-136
- Benoit Fresse, Operads a Grothendieck-Teichmüller groups , 2012
Související článek
-
Domněnka Shafarevich (en)
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">