Stanovení rovnice šíření z Maxwellových rovnic

Šíření rovnice o elektromagnetické vlny se může vypočítat z Maxwellových rovnic .

Předběžné předpoklady

Předpokládejme, že médium je lineární, homogenní a izotropní (LHI). V tom případě :

B→=μH→{\ displaystyle {\ vec {B}} = \ mu {\ vec {H}} \,} a D→=ϵE→{\ displaystyle {\ vec {D}} = \ epsilon {\ vec {E}} \,}

kde označuje magnetickou permeabilitu a je dielektrická permitivita . μ=μ0 μr{\ displaystyle \ mu = \ mu _ {0} \ \ mu _ {r} \,}ϵ=ϵ0 ϵr{\ displaystyle \ epsilon = \ epsilon _ {0} \ \ epsilon _ {r} \,}

Předpokládejme také, že tyto dva koeficienty a hustota elektrického náboje nezávisí na prostorových (ani časových) proměnných. ρ{\ displaystyle \ rho}

Formulace vztahů

Vyjádřeno pomocí elektrického pole a magnetického pole , takzvané Maxwellovy rovnice v spojitých médiích mají následující místní podobu: E→{\ displaystyle {\ vec {E}}}H→{\ displaystyle {\ vec {H}}}

1. rÓt→ E→ = -μ ∂H→∂t{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {rot}}} \ {\ vec {E}} \ = \ - \ mu \ {\ frac {\ částečné {\ vec {H}}} {\ částečné t}}}
2. μ diproti H→ = 0{\ displaystyle \ mu \ \ mathrm {div} \ {\ vec {H}} \ = \ 0}
3. rÓt→ H→ =j→ + ϵ ∂E→∂t{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {rot}}} \ {\ vec {H}} \ = {\ vec {j}} \ + \ \ epsilon \ {\ frac {\ částečné {\ vec {E}} } {\ částečné t}}}
4. ϵ diproti E→ = ρ{\ displaystyle \ epsilon \ \ mathrm {div} \ {\ vec {E}} \ = \ \ rho}

Rovnice vztahující se k elektrickému poli E

Abychom vyloučili magnetické pole mezi vztahy 1 a 3, je třeba aplikovat rotační na první a odvodit třetí s ohledem na čas. Pomocí hypotéz a díky Schwarzově teorémě, která umožňuje permutovat prostorové a časové diferenciální operátory, přichází H→{\ displaystyle {\ vec {H}}}

rÓt→ rÓt→ E→ + μ ∂∂t (j→ + ϵ ∂E→∂t)=0.{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {rot}}} \ {\ vec {\ mathrm {rot}}} \ {\ vec {E}} \ + \ \ mu \ {\ frac {\ částečné} {\ částečné t}} \ \ vlevo ({\ vec {j}} \ + \ \ epsilon \ {\ frac {\ částečné {\ vec {E}}} {\ částečné t}} \ pravé) = 0,}

Totožnost provozovatelů vektorových pak vede ke vztahu  rÓt→ rÓt→ E→=Grnad→ diprotiE→ - ΔE→ {\ displaystyle \ {\ vec {\ mathrm {rot}}} \ {\ vec {\ mathrm {rot}}} \ {\ vec {E}} = {\ vec {\ mathrm {grad}}} \ \ mathrm {div} {\ vec {E}} \ - \ \ Delta {\ vec {E}} \}

ΔE→ - μ ϵ ∂2E→∂t2= μ ∂j→∂t + Grnad→ diprotiE→{\ displaystyle \ Delta {\ vec {E}} \ - \ \ mu \ \ epsilon \ {\ frac {\ částečné ^ {2} {\ vec {E}}} {\ částečné t ^ {2}}} = \ \ mu \ {\ frac {\ částečné {\ vec {j}}} {\ částečné t}} \ + \ {\ vec {\ mathrm {grad}}} \ \ mathrm {div} {\ vec {E} }}

a vztah 4 nakonec znamená

ΔE→ - μ ϵ ∂2E→∂t2= μ∂j→∂t + 1ϵ Grnad→ ρ.{\ displaystyle \ Delta {\ vec {E}} \ - \ \ mu \ \ epsilon \ {\ frac {\ částečné ^ {2} {\ vec {E}}} {\ částečné t ^ {2}}} = \ \ mu {\ frac {\ částečné {\ vec {j}}} {\ částečné t}} \ + \ {\ frac {1} {\ epsilon}} \ {\ vec {\ mathrm {grad}}} \ \ rho.}

Rovnice vztahující se k magnetickému poli H

Podobným zacházením, aplikací rotačního vztahu 3 a odvozením prvního s ohledem na čas, to přichází

ΔH→ - μ ϵ ∂2H→∂t2= - μ rÓt→ j→.{\ displaystyle \ Delta {\ vec {H}} \ - \ \ mu \ \ epsilon \ {\ frac {\ částečné ^ {2} {\ vec {H}}} {\ částečné t ^ {2}}} = \ - \ \ mu \ {\ vec {\ mathrm {rot}}} \ {\ vec {j}}.}

Aplikace na různá média

V izolátorech nebo ve vakuu

Hustota proudu je nula a hustota náboje je konstantní. Tak :

ΔE→ - 1proti2 ∂2E→∂t2=0→,{\ displaystyle \ Delta {\ vec {E}} \ - \ {\ frac {1} {v ^ {2}}} \ {\ frac {\ částečné ^ {2} {\ vec {E}}} {\ částečné t ^ {2}}} = {\ vec {0}},} ΔH→ - 1proti2 ∂2H→∂t2=0→,{\ displaystyle \ Delta {\ vec {H}} \ - \ {\ frac {1} {v ^ {2}}} \ {\ frac {\ částečné ^ {2} {\ vec {H}}} {\ částečné t ^ {2}}} = {\ vec {0}},}

což jsou dvě d'Alembertovy rovnice, jejichž vlny se šíří rychlostí definovanou . proti{\ displaystyle v}ϵ μ proti2=1{\ displaystyle \ epsilon \ \ mu \ v ^ {2} = 1}

Ve vakuu ( a ) je od té doby fázová rychlost světla . μ=μ0{\ displaystyle \ mu = \ mu _ {0}}ϵ=ϵ0{\ displaystyle \ epsilon = \ epsilon _ {0}}ϵ0 μ0 vs.2=1{\ displaystyle \ epsilon _ {0} \ \ mu _ {0} \ c ^ {2} = 1}

Oddělení mezi magnetickým a elektrickým polem v těchto posledních dvou rovnicích je pouze patrné: tato dvě pole skutečně zůstávají propojena Maxwellovými rovnicemi (vztahy 1 a 3 výše).

Řešení

D'Alembertovy rovnice mají jako řešení harmonické rovinné vlny : počínaje pulzací a vlnovým vektorem s označenou normou , skalární funkcí ω{\ displaystyle \ omega} k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}k{\ displaystyle k}

u(X→,t)=Ei((k→,X→)-ωt){\ displaystyle u ({\ vec {x}}, t) = e ^ {i (({{vec {k}}, {\ vec {x}}) - \ omega t)}}

umožňuje definovat pole

H→(X→,t)=u(X→,t)H→0{\ displaystyle {\ vec {H}} ({\ vec {x}}, t) = u ({\ vec {x}}, t) {\ vec {H}} _ {0}} E→(X→,t)=u(X→,t)E→0{\ displaystyle {\ vec {E}} ({\ vec {x}}, t) = u ({\ vec {x}}, t) {\ vec {E}} _ {0}}

což jsou řešení, když kproti=ω.{\ displaystyle k \, v = \ omega.}

Maxwellovy rovnice také ukládají ortogonalitu 3 vektorů:

(E→,H→)=(k→,E→)=(k→,H→)=0{\ displaystyle ({\ vec {E}}, {\ vec {H}}) = ({\ vec {k}}, {\ vec {E}}) = ({\ vec {k}}, {\ vec {H}}) = 0}

a poměr čtverců norem pole vyhovuje

μ ||H||2=ϵ ||E||2.{\ displaystyle \ mu \ || H || ^ {2} = \ epsilon \ || E || ^ {2}.} Odůvodnění

Po postupném ověření

∂E→∂t = - i ω u E→0,{\ displaystyle {\ frac {\ částečné {\ vec {E}}} {\ částečné t}} \ = \ - \ i \ \ omega \ u \ {\ vec {E}} _ {0},} rÓt→ E→ = i u k→∧E→0,{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {rot}}} \ {\ vec {E}} \ = \ i \ u \ {\ vec {k}} \ klín {\ vec {E}} _ {0}, } diproti E→ = i u (k→,E→0),{\ displaystyle \ mathrm {div} \ {\ vec {E}} \ = \ i \ u \ ({\ vec {k}}, {\ vec {E}} _ {0}),}

Maxwellovy rovnice (1 až 4) naznačují příslušně

1. k→∧E→0 = - μωH→0{\ displaystyle {\ vec {k}} \ klín {\ vec {E}} _ {0} \ = \ - \ \ mu \ omega {\ vec {H}} _ {0}}
2. μ (k→,H→0) = 0{\ displaystyle \ mu \ ({\ vec {k}}, {\ vec {H}} _ {0}) \ = \ 0}
3. k→∧H→0 = ϵ ωE→0{\ displaystyle {\ vec {k}} \ klín {\ vec {H}} _ {0} \ = \ \ epsilon \ \ omega {\ vec {E}} _ {0}}
4. ϵ (k→,E→0) = 0{\ displaystyle \ epsilon \ ({\ vec {k}}, {\ vec {E}} _ {0}) \ = \ 0}

kdy a tedy ortogonalita 3 vektorů. j→=0→{\ displaystyle {\ vec {j}} = {\ vec {0}}}ρ=0,{\ displaystyle \ rho = 0,}

Relativní rovnost čtverců norem vyplývá z 1 a k2=μ ϵ ω2.{\ displaystyle k ^ {2} = \ mu \ \ epsilon \ \ omega ^ {2}.}

V ohmických vodičích

Na Ohmův zákon je fenomenologické vztah mezi hustotou proudu do elektrického pole:

j→=σΩE→,{\ displaystyle {\ vec {j}} = \ sigma _ {\ Omega} {\ vec {E}},}

σΩ{\ displaystyle \ sigma _ {\ Omega}}je elektrická vodivost (což je inverzní hodnota odporu ).

Za předpokladu, že hustota náboje zůstane konstantní, se potom zapíší rovnice šíření

ΔE→ - 1proti2 ∂2E→∂t2 - σΩ μ ∂E→∂t=0,{\ displaystyle \ Delta {\ vec {E}} \ - \ {\ frac {1} {v ^ {2}}} \ {\ frac {\ částečné ^ {2} {\ vec {E}}} {\ částečný t ^ {2}}} \ - \ \ sigma _ {\ Omega} \ \ mu \ {\ frac {\ částečný {\ vec {E}}} {\ částečný t}} = 0,} ΔH→ - 1proti2 ∂2H→∂t2 - σΩ μ ∂H→∂t=0.{\ displaystyle \ Delta {\ vec {H}} \ - \ {\ frac {1} {v ^ {2}}} \ {\ frac {\ částečné ^ {2} {\ vec {H}}} {\ částečné t ^ {2}}} \ - \ \ sigma _ {\ Omega} \ \ mu \ {\ frac {\ částečné {\ vec {H}}} {\ částečné t}} = 0.} Řešení

Tyto rovnice mají řešení, která jsou tlumenými rovinnými vlnami , zejména harmonickými vlnami, jejichž amplituda exponenciálně klesá: ve skutečnosti vlna zesiluje, jak se šíří ve vodivém médiu.

Počínaje pulzací , normálovým vlnovým vektorem a tlumícím faktorem , skalární funkcí ω{\ displaystyle \ omega}k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}k{\ displaystyle k}λ{\ displaystyle \ lambda}

u(X→,t)=E-λ(k→,X→)⋅Ei((k→,X→)-ωt){\ displaystyle u ({\ vec {x}}, t) = e ^ {- \ lambda ({\ vec {k}}, {\ vec {x}})} \ cdot e ^ {i (({{ vec {k}}, {\ vec {x}}) - \ omega t)}}

je řešení parciální diferenciální rovnice za předpokladu respektování dva vztahy, které spojují v tomto pořadí a k . k{\ displaystyle k}λ{\ displaystyle \ lambda}ω{\ displaystyle \ omega}

Stejně jako v případě izolačního média existují možnosti polí, která jsou proporcionální a která splňují Maxwellovy rovnice: stále respektují ortogonalitu 3 vektorů. u(X→,t){\ displaystyle u ({\ vec {x}}, t)}

Poměr čtverců norem polí nakonec splňuje

μ ||H||2=ϵ(1+σΩ2ϵ2 ω2)12 ||E||2.{\ displaystyle \ mu \ || H || ^ {2} = \ epsilon \ vlevo (1 + {\ frac {\ sigma _ {\ Omega} ^ {2}} {\ epsilon ^ {2} \ \ omega ^ {2}}} \ vpravo) ^ {\ frac {1} {2}} \ || E || ^ {2}.} Odůvodnění

Po postupném ověření

Δu =(i-λ)2k2u,{\ displaystyle \ Delta u \ = (i- \ lambda) ^ {2} k ^ {2} u,} ∂u∂t=-i ω u,{\ displaystyle {\ frac {\ částečné u} {\ částečné t}} = - i \ \ omega \ u,} ∂2u∂t2=-ω2u,{\ displaystyle {\ frac {\ částečné ^ {2} u} {\ částečné t ^ {2}}} = - \ omega ^ {2} u,}

u(X→,t){\ displaystyle u ({\ vec {x}}, t)} splňuje parciální diferenciální rovnici

Δu - μ ϵ ∂2u∂t2 - σΩ μ ∂u∂t=0{\ displaystyle \ Delta u \ - \ \ mu \ \ epsilon \ {\ frac {\ částečné ^ {2} u} {\ částečné t ^ {2}}} \ - \ \ sigma _ {\ Omega} \ \ mu \ {\ frac {\ částečné u} {\ částečné t}} = 0}

pokud

(i-λ)2k2+μ ϵ ω2+i σΩ μ ω.{\ displaystyle (i- \ lambda) ^ {2} k ^ {2} + \ mu \ \ epsilon \ \ omega ^ {2} + i \ \ sigma _ {\ Omega} \ \ mu \ \ omega.}

Některé algebraické výpočty umožňují ověřit, zda se jedná o skutečnou a imaginární část tohoto omezení

k2=12 μ ϵ ω2 (s+1){\ displaystyle k ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \ \ mu \ \ epsilon \ \ omega ^ {2} \ (s + 1)} λ2=s-1s+1{\ displaystyle \ lambda ^ {2} = {\ frac {s-1} {s + 1}}}

nebo s=(1+σΩ2ϵ2 ω2)12.{\ displaystyle s = \ left (1 + {\ frac {\ sigma _ {\ Omega} ^ {2}} {\ epsilon ^ {2} \ \ omega ^ {2}}} \ right) ^ {\ frac { 1} {2}}.}

Jedná se o vztahy závazné a pro (z nichž najdeme případ izolátoru, když ). k{\ displaystyle k}λ{\ displaystyle \ lambda}ω{\ displaystyle \ omega}σΩ=0{\ displaystyle \ sigma _ {\ Omega} = 0}

Zejména při vysoké rychlosti v dobrém vodiči ( ) můžeme připustit přiblížení s>>1{\ displaystyle s >> 1}

λ k=(12 μ ω σΩ)12.{\ displaystyle \ lambda \ k = \ left ({\ frac {1} {2}} \ \ mu \ \ omega \ \ sigma _ {\ Omega} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}. }

Inverze (jehož jednotkou je délka) označuje hloubku průniku vlny (která je po překonání této vzdálenosti zmírněna faktorem ) a hloubka se zmenšuje s inverzí kořene pulzu. λk{\ displaystyle \ displaystyle \ lambda k}E{\ displaystyle e}

Nakonec zbývá najít řešení s poli složenými ze skutečných čísel, a to navzdory léčbě zahrnující komplexy. Například libovolným výběrem skutečného počátečního elektrického pole a vektoru ortogonální vlny definujeme skutečný vektor a fázový posun splňující rovnost E→0{\ displaystyle {\ vec {E}} _ {0}}k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}F→0{\ displaystyle {\ vec {F}} _ {0}}θ{\ displaystyle \ theta}

(i-λ)k→∧E→0 = i μ ω EiθF→0.{\ displaystyle (i- \ lambda) {\ vec {k}} \ klín {\ vec {E}} _ {0} \ = \ i \ \ mu \ \ omega \ e ^ {i \ theta} {\ vec {F}} _ {0}.}

Poté definujete pole

H→(X→,t)=u(X→,t) EiθF→0{\ displaystyle {\ vec {H}} ({\ vec {x}}, t) = u ({\ vec {x}}, t) \ e ^ {i \ theta} {\ vec {F}} _ {0}} E→(X→,t)=u(X→,t)E→0{\ displaystyle {\ vec {E}} ({\ vec {x}}, t) = u ({\ vec {x}}, t) {\ vec {E}} _ {0}}

vidíme, že respektují:

• Maxwellova rovnice 1 (protože výše uvedený vztah je poskytován pro tento účel),
• Maxwellova rovnice 3 kvůli vztahům spojujícím a k ,k{\ displaystyle k}λ{\ displaystyle \ lambda}ω{\ displaystyle \ omega}
• nulové divergence, protože tři vektory jsou kolmé.

Linearitou těchto rovnic skutečné části takto definovaných elektrických a magnetických polí uspokojí soubor Maxwellových rovnic. Zůstává však fázový posun (u izolátorů nulový) definovaný: 0≤θ<π4{\ displaystyle 0 \ leq \ theta <{\ frac {\ pi} {4}}}

tG(θ)=λ.{\ displaystyle \ displaystyle tg (\ theta) = \ lambda.}

Předchozí prvky umožňují odvodit vztah mezi normami komplexních polí, a to mezi amplitudami jejich příslušných reálných částí, pomocí E→{\ displaystyle {\ vec {E}}}H→{\ displaystyle {\ vec {H}}}

μ2 ω2 ||H||2=(1+λ2) k2||E||2=μ ϵ ω2 s ||E||2.{\ displaystyle \ mu ^ {2} \ \ omega ^ {2} \ || H || ^ {2} = (1+ \ lambda ^ {2}) \ k ^ {2} || E || ^ { 2} = \ mu \ \ epsilon \ \ omega ^ {2} \ s \ || E || ^ {2}.}

Související články

• Maxwellovy rovnice
• Rovnice telegrafních operátorů
• Elektrodynamika spojitých médií
• D'Alembertova rovnice
• Šíření vln

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">