Charakteristika prstenu

V algebře je charakteristická z (jednotkové) kruhu A, je podle definice pořadí pro aditivní právem neutrální prvek multiplikativní zákona, pokud tento příkaz je omezené; je-li tento řád nekonečný, je charakteristika prstence podle definice nulová .

Pro jednotný kruh ( A , +, ×) označíme 0 A neutrální prvek „+“ a 1 A prvek „ד.

Charakteristika kruhu A je tedy nejmenší celé číslo n > 0 takové, že

 ne.1NA = 1NA+1NA+⋯+1NA⏟nepodmínky = 0NA {\ displaystyle {\ n.1_ {A} ~ = ~ \ spodní výztuha {1_ {A} + 1_ {A} + \ cdots + 1_ {A}} _ {n \; {\ text {terms}}} ~ = ~ 0_ {A}} ~}

pokud takové celé číslo existuje. Jinak (jinými slovy, je-li 1 A nekonečného řádu), je charakteristika nulová.

Poznámka. Tato definice je v souladu s literaturou v XXI -tého  století . Bourbaki výslovně říká, že definuje charakteristiku prstenu, pouze pokud tento prsten obsahuje tělo. Lang považuje ideál Z tvořený n tak, že n. 1 A = 0; pokud tento ideál je prvočíslo, to znamená, že formy se Z , kde je nula nebo prvočíslo , definuje charakteristiku A jako je počet . Jinak to nedefinuje.

Homomorfismus Z v A

Existuje jedinečná morfismus z jednotkové kroužků z oblasti A ( je skutečně počáteční objekt na kategorii kruhy). Podle definice, pokud n je přísně kladné celé číslo, máme: F{\ displaystyle f}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}

F(ne)=1NA+⋯+1NA{\ displaystyle f (n) = 1_ {A} + \ cdots + 1_ {A} \,},

kde 1 A se opakuje nkrát . Vzhledem k tomu je euklidovská kruh , jádro je hlavní ideální a, podle definice je charakteristika z A je jeho pozitivní generátor. Přesněji řečeno, je to jedinečné přirozené číslo c , takže jádro je ideální . Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}F{\ displaystyle f} F{\ displaystyle f}vs.Z{\ displaystyle c \ mathbb {Z}}

Vlastnosti kroužků

• Charakteristickým je jedinečné číslo c nezáporné jako buď jednotný dílčí kruhu A .Z/vs.Z{\ displaystyle \ mathbb {Z} / c \ mathbb {Z}}

To vyplývá z výše uvedené definice a z faktorizační věty . Dedukujeme zejména:

• Pokud B je jednotkový dílčí kruh A , pak A a B mají stejnou charakteristiku.
• Kroužky s nulovou charakteristikou jsou ty, které tvoří jednotný dílčí kruh. Jsou tedy nekoneční.Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}

To je případ pro oblast o komplexních čísel a všech jejích podílových dílčích prstenců, například na poli z reálných čísel nebo pole z racionálních čísel . VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}

• Jakýkoli zcela objednaný prsten má nulovou charakteristiku.

Homomorfismus skutečně roste. Jakékoli přísně kladné celé číslo je odesláno přísně kladnému prvku kruhu, tím spíše než 0.Z→NA{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ do A} To je například případ (a jeho dílčích kroužků). R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

• Jediným prstenem, jehož charakteristika se rovná 1, je nulový prsten .
• Charakteristika integrálního kruhu je buď nula, nebo prvočíslo.

Ve skutečnosti, pokud je jednotkový dílčí kruh integrálního kruhu, pak je sám integrální, proto c je nula nebo prvočíslo.Z/vs.Z{\ displaystyle \ mathbb {Z} / c \ mathbb {Z}}

• Pro morfizmus jednotky kroužky g  : → B , charakteristické B dělení, které z A .

Ve skutečnosti je homomorfismus jednotkových kruhů složený homomorfismus g ∘ f . Pokud p a q jsou příslušné charakteristiky A a B , jádro g ∘ f je tedy , nebo g ( f ( p )) = g (0 A ) = 0 B , takže obsahuje p , jinými slovy q rozděluje p . Z→B{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ do B}qZ{\ displaystyle q \ mathbb {Z}}qZ{\ displaystyle q \ mathbb {Z}}

• Pokud je A komutativní kruh a pokud je jeho charakteristikou prvočíslo p , pak pro všechny prvky x, y v A máme ( x + y ) p = x p + y p . Aplikace na x spolupracovníků x p je endomorfní kruh zvaný Frobeniova endomorfismus .

Výsledek bezprostředně vyplývá z Newtonova binomického vzorce a ze skutečnosti, že p dělí binomické koeficienty objevující se v expanzi.

Vlastnosti na tělech

Pokud jde o jakýkoli integrální kruh, charakteristika pole K je buď 0, nebo prvočíslo p . Navíc ve druhém případě, stejně jako u kteréhokoli prstence nenulové charakteristiky p , K obsahuje kopii, která (protože zde je p prvočíslo) je pole: je to jedinečné konečné pole F p s prvky p . Z/pZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}

• Každé pole s nulovou charakteristikou obsahuje kopii .Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}

Ve skutečnosti takové pole K již obsahuje (jako každý prsten s nulovou charakteristikou) kopii . Vzhledem k tomu, K je pole, proto obsahuje pole frakcí o , a to v oblasti racionálních lidí. Jakékoli těleso má tedy minimální dílčí těleso, své hlavní těleso , izomorfní (podle své charakteristiky) s konečným polem F p nebo s tělesem . Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}

• Každé konečné pole má pro charakteristiku prvočíslo a pro kardinála mocnost tohoto čísla.

Pokud je K konečné pole, má jako každý konečný kruh nenulovou charakteristiku. Podle výše uvedeného je tedy jeho charakteristikou prvočíslo p a K obsahuje kopii pole F p . Ve skutečnosti je K vektorový prostor na F p . Takže jeho mohutnost je p o síle jeho rozměru (který je tedy nutně konečný, jinými slovy, K je konečný rozšíření z F p ).

• Pro jakékoli prvočíslo p existuje nekonečné pole charakteristické p  :

například pole racionálních frakcí na F p nebo algebraické uzavření z F p .

Poznámky a odkazy

1. Například (in) Joseph Gallian , Contemporary Abstract Albegra , Cengage Learning,2010, 656  str. ( ISBN  978-0-547-16509-7 , číst online ) , s.  252-253.
2. N. Bourbaki, Algebra, kapitoly 4 až 7 , Masson ,devatenáct osmdesát jedna, str.  V.2.
3. Serge Lang, Algebra , Dunod ,2004, str.  97.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">