Kruh ohraničený trojúhelníkem

V geometrii k trojúhelníku se circumcircle trojúhelníku není plochou je jediný kruh procházející třemi vrcholy.

Střed tohoto kruhu je průsečík z kolmých přímek ze stran trojúhelníku .

Základní vlastnosti

Tři kolmé přímky trojúhelníku jsou souběžné v bodě $O ve$ stejné vzdálenosti od tří vrcholů (což je také střed popsané kružnice, viz níže).

Demonstrace

Označme $O$ průsečík dvou kolmých půlících řezů segmentů $[ AB ]$ a $[ AC ]$ .

$O$ je na kolmém půlícím řezu $[ AB ],$ takže $AO = BO$ .
$O$ je na kolmém půlícím řezu $[ AC ],$ takže $AO = CO$ .

Takže $BO = CO$ : tedy $O$ je na kolmé půlící čáře segmentu $[ BC ]$ . Tito tři mediátoři jsou proto v $O$ současně .

Skrze tři vrcholy trojúhelníku najednou prochází jeden a pouze jeden kruh. Tato kružnice se středem $O$ se nazývá kružnice ohraničená trojúhelníkem.

Demonstrace

Existence

Bylo prokázáno výše: $AO = BO = CO$ , takže kružnice se středem $O$ a prochází A také projde B a C .

Jedinečnost

Pokud kruh prochází oběma A a B , jeho střed patří do kolmého půlící čáry $[ AB ]$ . Pokud prochází A a C , jeho střed patří k půle $[ AC ]$ . Pokud tedy kruh prochází třemi body A , B a C , jeho střed patří oběma kolmým půlícím řezům $[ AB ]$ a $[ AC ]$ , tj. V jejich průsečíku. To se redukuje na bod, $O$ ; kruh má proto nutně $O jako$ střed . Poloměr kruhu je tedy roven $AO$ . Máme jedinečnost středu a poloměru, tedy kruhu.

Podle zapsané věty o úhlu je kružnice ohraničená trojúhelníkem ( ABC ) lokusem bodů M vyhovujících: ${\ displaystyle ((MB), (MC)) = ((AB), (AC)) \, (1)}$ kde označuje orientovaný úhel přímek D a D ' . Můžeme permutovat písmena A, B, C ve vztahu (1), nebo to napsat ve tvaru: ${\ displaystyle (D, D ')}$

{\ displaystyle ((BM), (BA)) = ((CM), (CA)) \, (2)}

Existuje nekonečno trojúhelníků, jejichž základna je známa a jejichž úhel k opačnému vrcholu je znám, a místo těchto vrcholů tvoří kruh.

Demonstrace

Sínusový vzorec nám říká, že:

{\ displaystyle {\ frac {a} {\ sin {\ hat {A}}}} = 2R}

poloměr opsané kružnice proto závisí pouze na délce základny a a na úhlu na opačném vrcholu . Z toho vyplývá, že pro dva pevné body A a B na kružnici o poloměru R a vzdálené od a , jakýkoli bod C na této kružnici kromě shody s jedním z ostatních bodů tvoří konstantní úhel . ${\ hat A}$ ${\ displaystyle {\ widehat {ACB}}}$

{\ displaystyle {\ widehat {ACB}} = \ arcsin {\ frac {2R} {a}}}

Existuje tedy skutečně nekonečno bodů C , takže úhel je konstantní a místo těchto bodů je kruh o poloměru . ${\ displaystyle {\ widehat {ACB}}}$ ${\ displaystyle R = {\ frac {a} {2 \ sin {\ hat {A}}}}}$

Středová poloha

Nechť $Ω$ je střed kruhu a já střed $[ AB ]$ . $O$ je tedy na kolmém půlícím řezu $[ AB ]$ a $[ AO ]$ je poloměr kruhu. Takže máme

{\ displaystyle {AO} ^ {2} = {AI} ^ {2} + {IO} ^ {2}}

Označíme h vzdálenost $I Ω$ .

{\ displaystyle h ^ {2} = R ^ {2} - \ left ({\ frac {a} {2}} \ right) ^ {2} = \ left ({\ frac {a} {2 \ sin { \ hat {A}}}} \ vpravo) ^ {2} - \ vlevo ({\ frac {a} {2}} \ vpravo) ^ {2}}

{\ displaystyle h ^ {2} = \ left ({\ frac {a} {2}} \ right) ^ {2} \ left ({\ frac {1} {\ sin ^ {2} {\ hat {A }}}} - 1 \ right) = \ left ({\ frac {a} {2}} \ right) ^ {2} \ left ({\ frac {\ cos ^ {2} {\ hat {A}} } {\ sin ^ {2} {\ hat {A}}}} \ vpravo)}

{\ displaystyle h = {\ frac {a} {2 \ tan {\ hat {A}}}}}

Kruh popsaný vrcholem C je proto zcela charakterizován délkou jeho základny a úhlem ve vrcholu. Můžeme nakreslit kružnici, aniž by věděl přesně bod C .

Střed, poloměr a kartézská rovnice

Centrum

Označíme $O$ středem ohraničené kružnice, a = BC , b = CA , c = AB, délky tří stran trojúhelníku a úhly protilehlé ke každé z těchto tří stran. ${\ displaystyle {\ hat {A}}, {\ hat {B}}, {\ hat {C}}}$

V barycentrický souřadnicovém systému se barycentrický souřadnice středového $O$ jsou , nebo , nebo znovu . ${\ displaystyle (A, B, C)}$ ${\ displaystyle (\ sin 2 {\ hat {A}}, \ sin 2 {\ hat {B}}, \ sin 2 {\ hat {C}})}$ ${\ displaystyle (a \ cos {\ hat {A}}, b \ cos {\ hat {B}}, c \ cos {\ hat {C}})}$ ${\ displaystyle \ left (a ^ {2} (b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}), b ^ {2} (c ^ {2} + a ^ {2} -b ^ {2}), c ^ {2} (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}) \ vpravo)}$

Jeho trilineární souřadnice jsou . ${\ displaystyle \ cos {\ hat {A}}: \ cos {\ hat {B}}: \ cos {\ hat {C}}}$

Jeho kartézské souřadnice v ortonormální jsou s , , a : ${\ displaystyle A = (x_ {A}, y_ {A})}$ ${\ displaystyle B = (x_ {B}, y_ {B})}$ ${\ displaystyle C = (x_ {C}, y_ {C})}$ ${\ displaystyle \ Delta = 2 {\ begin {vmatrix} x_ {A} & y_ {A} & 1 \\ x_ {B} & y_ {B} & 1 \\ x_ {C} & y_ {C} & 1 \ end {vmatrix}}}$

{\ displaystyle x_ {O} = {\ frac {1} {\ Delta}} {\ begin {vmatrix} x_ {A} ^ {2} + y_ {A} ^ {2} & y_ {A} & 1 \ \ x_ {B} ^ {2} + y_ {B} ^ {2} & y_ {B} & 1 \\ x_ {C} ^ {2} + y_ {C} ^ {2} & y_ {C} & 1 \ end {vmatrix}}, \ qquad y_ {O} = - {\ frac {1} {\ Delta}} {\ begin {vmatrix} x_ {A} ^ {2} + y_ {A} ^ {2} & x_ {A} & 1 \ \ x_ {B} ^ {2} + y_ {B} ^ {2} & x_ {B} & 1 \\ x_ {C} ^ {2} + y_ {C} ^ { 2} & x_ {C} & 1 \ end {vmatrix}}}

(To se prokazuje identifikováním koeficientů ve dvou ekvivalentních kartézských rovnicích níže .)

Paprsek

Jeho poloměr $R$ lze vyjádřit pomocí sinusového zákona :

{\ displaystyle {\ frac {a} {\ sin {\ hat {A}}}} = {\ frac {b} {\ sin {\ hat {B}}}} = {\ frac {c} {\ sin {\ hat {C}}}} = {\ frac {abc} {2S}} = 2R}

kde S označuje oblast trojúhelníku .

Dedukujeme symetrické výrazy: kde $p$ $=$ ${\ displaystyle R = {\ frac {p} {\ sin {\ hat {A}} + \ sin {\ hat {B}} + \ sin {\ hat {C}}}}}$ $a + b + c / 2$ je poloviční obvod trojúhelníku a . ${\ displaystyle R ^ {2} = {S \ nad {2 \ sin {\ hat {A}} \ sin {\ hat {B}} \ sin {\ hat {C}}}}}$

Vzhledem k tomu, v Heron vzorec , máme: . ${\ displaystyle R = {abc \ nad {4 {\ sqrt {p (pa) (pb) (pc)}}}}}$

Vztah Euler udává vzdálenost $ve$ středu opsané kružnice do středu vepsané kružnice , nebo $d 2 = R 2 - 2 R R$ (kde $R$ je poloměr vepsané kružnice).

Kartézská rovnice

V euklidovské rovině je možné dát kartézskou rovnici kruhu ohraničeného trojúhelníkem.

Opsané kružnice je množina bodů , například s a jak je uvedeno výše, tj. ${\ displaystyle M = (x, y)}$ ${\ displaystyle \ left \ | {\ overrightarrow {OM}} \ right \ | ^ {2} = R ^ {2}}$ $Ó$ $R$

{\ displaystyle (x-x_ {O}) ^ {2} + (y-y_ {O}) ^ {2} = R ^ {2}}

Ale můžeme také psát tento kartézský rovnici přímo (bez nejprve vypočítá , a ). ${\ displaystyle x_ {O}}$ ${\ displaystyle y_ {O}}$ $R$

První psaní, determinant

Kartézská rovnice ohraničené kružnice se píše:

{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} x ^ {2} + y ^ {2} & x & y & 1 \\ x_ {A} ^ {2} + y_ {A} ^ {2} & x_ {A} & y_ {A} & 1 \ \ x_ {B} ^ {2} + y_ {B} ^ {2} & x_ {B} & y_ {B} & 1 \\ x_ {C} ^ {2} + y_ {C} ^ {2} & x_ {C} & y_ {C} & 1 \ end {vmatrix}} = 0}

. Demonstrace

Rovnice kružnice v ortonormálním souřadném systému má tvar . Čtyři body jsou proto cocyklické právě tehdy, když existují tři konstanty, jako například: ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + \ alpha x + \ beta y + \ gamma = 0}$ ${\ displaystyle M, A, B, C}$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta, \ gamma}$

{\ displaystyle {\ begin {cases} x ^ {2} + y ^ {2} + \ alpha x + \ beta y + \ gamma & = 0 \\ x_ {A} ^ {2} + y_ {A} ^ {2} + \ alpha x_ {A} + \ beta y_ {A} + \ gamma & = 0 \\ x_ {B} ^ {2} + y_ {B} ^ {2} + \ alpha x_ {B} + \ beta y_ {B} + \ gamma & = 0 \\ x_ {C} ^ {2} + y_ {C} ^ {2} + \ alpha x_ {C} + \ beta y_ {C} + \ gamma & = 0 \ \\ konec {případů}}}

Existence takové trojice konstant je ekvivalentní existenci vektoru, jehož první složkou je , v jádře matice . ${\ displaystyle N: = {\ begin {pmatrix} x ^ {2} + y ^ {2} & x & y & 1 \\ x_ {A} ^ {2} + y_ {A} ^ {2} & x_ {A} & y_ {A} & 1 \\ x_ {B} ^ {2} + y_ {B} ^ {2} & x_ {B} & y_ {B} & 1 \\ x_ {C} ^ {2 } + y_ {C} ^ {2} & x_ {C} & y_ {C} & 1 \ end {pmatrix}}}$ $1$

Protože se předpokládá, že tři body nejsou zarovnány, menší je nenulový, takže předchozí podmínka je jednoduše ekvivalentní proto . $ABC$ ${\ displaystyle {\ begin {vmatrix} x_ {A} & y_ {A} & 1 \\ x_ {B} & y_ {B} & 1 \\ x_ {C} & y_ {C} & 1 \ end {vmatrix }}}$ ${\ displaystyle \ ker N \ neq \ {0 \}}$ ${\ displaystyle \ det N = 0}$

Druhé psaní, složité

Jsou- li příslušná přípony , získáme kartézskou rovnici opsané kružnice zapsáním neplatnosti imaginární části ${\ displaystyle a, b, c, z}$ ${\ displaystyle A, B, C, M}$

{\ displaystyle (zb) ({\ overline {z}} - {\ overline {c}}) (ac) ({\ overline {a}} - {\ overline {b}})}

Demonstrace

Úhlová podmínka výše je zapsána v komplexech ${\ displaystyle ((MB), (MC)) = ((AB), (AC))}$ ${\ displaystyle \ arg \ left ({\ frac {zb} {zc}} \ right) = \ arg \ left ({\ frac {ab} {ac}} \ right) \ mod \ pi}$

Proto pomocí křížového poměru ekvivalentní podmínka:

{\ displaystyle [a, b, c, z] = \ left ({\ frac {zb} {zc}} \ right): \ left ({\ frac {ab} {ac}} \ right)}

nemovitýVynásobením konjugáty jmenovatelů získáme podmínku

{\ displaystyle \ Im {((zb) ({\ overline {z}} - {\ overline {c}}) (ac) ({\ overline {a}} - {\ overline {b}}))} = 0}

Pozoruhodné body patřící do kruhu ohraničeného trojúhelníkem

Patří do kruhu ohraničeného trojúhelníkem:

symetrický vůči orthocentru vzhledem k jeho stranám;

Demonstrace

Homothety centra H a poměr $1 / 2$ , transformuje A 1 (symetrický k A vzhledem k $Ω$ ) na I 1 , stejným způsobem jsou body I 2 a I 3 obrazy dvou bodů ohraničené kružnice. Eulerova kružnice ohraničená trojúhelníkem I 1 I 2 I 3 je obraz kružnice ohraničené ABC, v homothety se středem H a poměrem $1 / 2$ .

Označíme K 1 , průsečík výšky (AH 1 ) s ohraničenou kružnicí (jiný než A) . Segment [AA 1 ], který je průměrem, je trojúhelník AK 1 A 1 vepsaný do půlkruhu obdélníkem. Přímky (BC) a (K 1 A 1 ), kolmé na výšku (AH 1 ), jsou rovnoběžné. Přímka (I 1 H 1 ) prochází středem I 1 [HA 1 ], je to čára středů HA 1 K 1 , H 1 je tedy středem [HK 1 ]. Přímka (HK 1 ) je kolmá na (BC), K 1 je symetrická k H vzhledem k (BC).

symetrický v orthocentru vzhledem ke středovým bodům po stranách;

Demonstrace

Označme I 1 střed [BC], I 2 střed [AC] a I 3 střed [AB]. Není těžké vidět, že homothety se středem G a poměrem $- 1 / 2$ přeměňte trojúhelník ABC na střední trojúhelník I 1 I 2 I 3 a ohraničenou kružnici ABC na kružnici ohraničenou I 1 I 2 I 3 : tento poslední kruh je přesně Eulerův kruh .

Stejná homothety centra G to umožňuje říci . Buď 1 symetrický z A, pokud jde o O . V trojúhelníku AHA 1 je tedy přímka ( OI 1 ) přímkou středních bodů trojúhelníku a bod I 1 středem [HA 1 ]: A 1 je symetrická k H vzhledem k I 1 . ${\ displaystyle {\ overrightarrow {OI_ {1}}} = - {\ frac {1} {2}} {\ overrightarrow {HA}} = {\ frac {1} {2}} {\ overrightarrow {AH}} }$

střední body segmentů spojujících středy excipovaných kruhů s trojúhelníkem ;
středy segmentů spojujících střed vepsané kružnice a střed vepsaných kružnic k trojúhelníku.

Demonstrace

Kružnice ohraničená trojúhelníkem je Eulerova kružnice trojúhelníku tvořeného středy vysvětlených kruhů (Bevanův trojúhelník). Vrcholy trojúhelníku jsou nohy výšek přidruženého Bevanského trojúhelníku. Uvedený kruh tedy prochází také středy po stranách Bevanova trojúhelníku (což jsou středy kruhů excinovaných původnímu trojúhelníku) a středy segmentů spojujících ortocentrum Bevanova trojúhelníku (střed vepsané kružnice původní trojúhelník) a vrcholy Bevanova trojúhelníku (středy segmentů spojujících střed vepsané kružnice a střed vepsaných kružnic k původnímu trojúhelníku).

Reference

(in) Eric W. Weisstein , „ Barycentrické souřadnice “ na MathWorld .
„ Distance OI “ , na webu geogebra .org .

Kruh ohraničený trojúhelníkem

Základní vlastnosti

Střed, poloměr a kartézská rovnice

Centrum

Paprsek

Kartézská rovnice

První psaní, determinant

Druhé psaní, složité

Pozoruhodné body patřící do kruhu ohraničeného trojúhelníkem

Reference

Související články