Schnirelmannova hustota
V matematice je hustota Schnirelmann ze se souborem všech nenulových přirozených čísel je číslo, které měří, jak „hustý“, která sada je. Toto je příklad asymptotické hustoty . Byl pojmenován na počest ruského matematika Lva Schnirelmanna , který jej studoval jako první.
Intuitivně cítíme, že existuje „více“ lichých čísel než dokonalých čtverců ; množina lichých čísel však není „větší“ než množina dokonalých čtverců: tyto dvě množiny jsou spočetné a lze je tedy obejít . Proto potřebujeme lepší opatření, abychom formalizovali naši intuitivní představu. To je to, co dělá pojem asymptotické hustoty, jehož příkladem je Schnirelmannova hustota.
Definice
Dovolit být sada nenulových přirozených celých čísel. Zaznamenáváme počet prvků , to znamená počet prvků, které jsou menší nebo rovny nebo . Poté se hustota Schnirelmann z je reálné číslo :
NA{\ displaystyle A}NA(ne){\ displaystyle A (n)}NA∩[1,ne]{\ displaystyle A \ cap [1, n]}NA{\ displaystyle A}ne{\ displaystyle n}NA(ne)=Kartu({k≤ne|k∈NA}){\ displaystyle A (n) = {\ textrm {karta}} (\ {\, k \ leq n \, | \, k \ v A \, \})}NA{\ displaystyle A}
σ(NA)=inf{NA(ne)ne | ne∈NE∗}{\ displaystyle \ sigma (A) = \ inf \ left \ {{\ frac {A (n)} {n}} ~ {\ Big |} ~ n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ vpravo \ }}
kde označuje dolní mez (která vždy existuje, na rozdíl od limitu , nazývaného asymptotická hustota nebo přirozená hustota nebo aritmetická hustota).
inf{\ displaystyle \ inf} limne→∞NA(ne)ne{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {A (n)} {n}}}
Například sada lichých čísel má Schnirelmannovu hustotu . Že ze čtverců celých čísel nebo čísel Mersennových je nula, když tyto dvě skupiny jsou nekonečné.
12{\ displaystyle {\ dfrac {1} {2}}}
Vlastnosti
Schnirelmannova hustotní funkce σ (definovaná na množině částí ℕ *) má pro kteroukoli část A z ℕ * následující vlastnosti :
- 0 ≤ σ ( A ) ≤ 1;
- pokud σ ( A ) = 0, pak pro všechna ε> 0 existuje n takové, že A ( n ) <ε n , což vyplývá z definice σ ( A ) jako dolní meze, jakož i:
- ∀ n , A ( n ) ≥ n σ ( A ), ze kterých odvodíme:
- pokud σ ( A ) = 1, pak A = ℕ * (konverzace je okamžitá);
- pokud 1 nepatří do A, pak σ ( A ) = 0 (protože A (1) = 0).
Člověk by se mohl divit, jaká je užitečnost takové funkce hustoty, protože je extrémně citlivá na první hodnoty uvažované množiny (například sada sudých čísel má nulovou Schnirelmannovu hustotu). Schnirelmann a Linnik (ne) to využili, jak uvidíme.
Schnirelmannovy věty
Pokud nastavíme (množinu čtverců nenulových celých čísel), pak Lagrangeova věta o čtyřech čtvercích - která uvádí, že libovolné celé číslo lze vyjádřit jako součet čtyř čtverců - lze znovu vyjádřit jako:
G2={k2}k=1∞{\ displaystyle {\ mathfrak {G}} ^ {2} = \ {k ^ {2} \} _ {k = 1} ^ {\ infty}}
σ(G2⊕G2⊕G2⊕G2)=1{\ displaystyle \ sigma \ left ({\ mathfrak {G}} ^ {2} \ oplus {\ mathfrak {G}} ^ {2} \ oplus {\ mathfrak {G}} ^ {2} \ oplus {\ mathfrak {G}} ^ {2} \ vpravo) = 1}.
kde ⊕ je operátor součtu množin podmnožin .
G2{\ displaystyle {\ mathfrak {G}} ^ {2}}
Je jasné, že . Ve skutečnosti vždy máme a člověk by se mohl divit, v jakém bodě součet množin dosáhne Schnirelmannovy hustoty 1 a jak se zvyšuje. Ukazuje se, že a je vidět, že přidání ještě jednou vytvoří celek.
σ(G2)=0{\ displaystyle \ sigma \ left ({\ mathfrak {G}} ^ {2} \ right) = 0}σ(G2⊕G2)=0{\ displaystyle \ sigma \ left ({\ mathfrak {G}} ^ {2} \ oplus {\ mathfrak {G}} ^ {2} \ right) = 0}σ(G2⊕G2⊕G2)=5/6{\ displaystyle \ sigma \ left ({\ mathfrak {G}} ^ {2} \ oplus {\ mathfrak {G}} ^ {2} \ oplus {\ mathfrak {G}} ^ {2} \ right) = 5 / 6}G2{\ displaystyle {\ mathfrak {G}} ^ {2}}NE∗{\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {*}}
Schnirelmann se podařilo tuto myšlenku vyvinout v následujících větách, směřujících k aditivní teorii čísel , a prokázal, že jsou novým (potenciálně silným) zdrojem pro útok na důležité problémy, jako je Waringův problém a domněnka. Od Goldbacha .
Schnirelmannova první věta je slabá verze Mannovy věty :
Věta
- Dovolit a být dvěma podmnožinami ℕ *. Tak
NA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}σ(NA⊕B)≥σ(NA)+σ(B)-σ(NA)⋅σ(B).{\ Displaystyle \ sigma \ left (A \ oplus B \ right) \ geq \ sigma (A) + \ sigma (B) - \ sigma (A) \ cdot \ sigma (B).}
Poznamenejme, že σ ( A ) + σ ( B ) - σ ( A ) σ ( B ) = 1 - (1-σ ( A )) (1-σ ( B )), odvozíme indukcí:
Dodatek
- Pro jakoukoli konečnou rodinu podmnožin ℕ *,
NAi{\ displaystyle A_ {i}}σ(⊕NAi)≥1-∏i(1-σ(NAi)).{\ Displaystyle \ sigma \ left (\ oplus A_ {i} \ right) \ geq 1- \ prod _ {i} \ left (1- \ sigma \ left (A_ {i} \ right) \ right).}
Tato věta poskytuje první pohled na akumulační chování součtů množin. Zdá se nešťastné, že jeho závěr přichází dříve, než ukazuje, že σ je superaditivní (tj. Σ ( A ⊕ B ) ≥ σ ( A ) + σ ( B )). Schnirelmann to překonává následujícími výsledky, které jsou pro většinu jeho účelů dostačující:
Věta
- Nechť A a B jsou dvě podmnožiny ℕ *.
Anoσ(NA)+σ(B)≥1takNA⊕B=NE∗.{\ displaystyle {\ text {Si}} \ quad \ sigma (A) + \ sigma (B) \ geq 1 \ quad {\ text {then}} \ quad A \ oplus B = \ mathbb {N} ^ {* }.}
Schnirelmannova věta - Nechť A je podmnožinou ℕ *. Pokud σ ( A )> 0, pak existuje celé číslo takové, že
k{\ displaystyle k}
NA⊕NA⊕...⊕NA=NE∗,{\ displaystyle A \ oplus A \ oplus \ ldots \ oplus A = \ mathbb {N} ^ {*},}
kde se v součtu opakují časy.
NA{\ displaystyle A}k{\ displaystyle k}
Aplikace této věty umožňuje vyjádřit libovolné celé číslo jako součet prvků množiny A = {1, 2, 3, 5, 7, 11, ...} prvočísel, ke kterým přidáme 1. Schnirelmann ukázal, že , ale to σ ( A ⊕ A )> 0. Použitím Schnirelmannovy věty existuje celé číslo k takové, že k krát součet A ⊕ A se rovná ℕ *. To znamená, že existuje číslo s takové, že jakékoli kladné celé číslo se rovná součtu maximálně s prvočísel nebo se rovná 1.
σ(NA)=0{\ displaystyle \ sigma (A) = 0}
Toto číslo se nazývá Schnirelmannova konstanta . Jsou to minimálně 3 a Goldbachova domněnka se rovná . Jeho nejznámější nárůst (prokázaný v roce 1995 Olivierem Ramaré ) je s ≤ 7.
s{\ displaystyle s}s=3{\ displaystyle s = 3}
Aditivní báze
Podmnožina A of ℕ * s vlastností, že A ⊕ A ⊕… ⊕ A = ℕ * pro konečný součet, se nazývá aditivní základ a nejmenší počet požadovaných termínů se nazývá stupeň základny. Poslední věta tedy vyjadřuje, že každá množina s přísně pozitivní Schnirelmannovou hustotou je aditivní základ. V této terminologii je sada čtverců doplňkovým základem stupně 4.
G2={k2}k=1∞{\ displaystyle {\ mathfrak {G}} ^ {2} = \ {k ^ {2} \} _ {k = 1} ^ {\ infty}}
Mannova věta
Historicky byly výše uvedené věty indikátory následujícího výsledku, který je nejlepším možným zpřesněním jeho „slabé verze“ (viz výše), kterou prokázal Schnirelmann, a ukázalo se, že je obtížné jej napadnout. Stala se známou jako hypotéza α + β, kterou použil Edmund Landau , a nakonec ji v roce 1942 demonstroval Henry Mann .
Věta
- Dovolit a být podmnožinami ℕ *. V případě, že A ⊕ B ≠ ℕ *, stále máme
NA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}
σ(NA⊕B)≥σ(NA)+σ(B){\ displaystyle \ sigma (A \ oplus B) \ geq \ sigma (A) + \ sigma (B)}.
Waring problém
Dovolit a být přirozená čísla. Pojďme definovat:
k{\ displaystyle k}NE{\ displaystyle N}
- Gk={ik | i∈NE∗},{\ displaystyle {\ mathfrak {G}} ^ {k} = \ {i ^ {k} ~ | ~ i \ v \ mathbb {N} ^ {*} \},}
-
rNEk(ne){\ displaystyle r_ {N} ^ {k} (n)}jako počet řešení rovnice(X1,...,XNE)∈NENE{\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {N}) \ in \ mathbb {N} ^ {N}}X1k+X2k+⋯+XNEk=ne,{\ displaystyle x_ {1} ^ {k} + x_ {2} ^ {k} + \ cdots + x_ {N} ^ {k} = n,}
-
RNEk(ne){\ displaystyle R_ {N} ^ {k} (n)}jako počet řešení nerovnosti(X1,...,XNE)∈NENE{\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {N}) \ in \ mathbb {N} ^ {N}}X1k+X2k+⋯+XNEk≤ne.{\ displaystyle x_ {1} ^ {k} + x_ {2} ^ {k} + \ cdots + x_ {N} ^ {k} \ leq n.}
Takže máme:
- RNEk(ne)=∑i=0nerNEk(i),{\ displaystyle R_ {N} ^ {k} (n) = \ součet _ {i = 0} ^ {n} r_ {N} ^ {k} (i),}
- rNEk(ne)>0⇔ne∈NEGk,{\ displaystyle r_ {N} ^ {k} (n)> 0 \ Leftrightarrow n \ in N {\ mathfrak {G}} ^ {k},}
- RNEk(ne)≥(neNE)NEk.{\ displaystyle R_ {N} ^ {k} (n) \ geq \ left ({\ frac {n} {N}} \ right) ^ {\ frac {N} {k}}.}
Objem definovaného -dimenzionálního bloku je omezen objemem hyperkrychle velikosti , v důsledku čehož je (zhruba) zvýšen o . Linnik prokázal, že tento terminál stále funguje v průměru, to znamená:
NE{\ displaystyle N}0≤X1k+X2k+⋯+XNEk≤ne{\ displaystyle 0 \ leq x_ {1} ^ {k} + x_ {2} ^ {k} + \ cdots + x_ {N} ^ {k} \ leq n}ne1/k{\ displaystyle n ^ {1 / k}}RNEk(ne){\ displaystyle R_ {N} ^ {k} (n)}(1+ne1/k)NE{\ displaystyle (1 + n ^ {1 / k}) ^ {N}}
Lema - Pro každé přirozené celé číslo k existuje přirozené celé číslo N a konstanta , závislá pouze na k , taková, že pro všechna celá čísla m, n splňující 0 ≤ m ≤ n ,
vs.=vs.(k){\ displaystyle c = c (k)}
rNEk(m)<vs.neNEk-1.{\ displaystyle r_ {N} ^ {k} (m) <cn ^ {{\ frac {N} {k}} - 1}.}
S tímto lemmatem lze elegantně dokázat následující větu.
Věta - Pro všechno existuje něco takového .
k{\ displaystyle k}NE{\ displaystyle N}σ(NEGk)>0{\ displaystyle \ sigma (N {\ mathfrak {G}} ^ {k})> 0}
Vyjádřili jsme tedy obecné řešení Waringova problému:
Důsledek - Pro všechna k existuje N , záleží pouze na k , takže každé kladné celé číslo n lze vyjádřit jako součet maximálně N mocnin k- th.
Aplikace Schnirelmannovy hustoty
Můžeme snadno ukázat, že množina prvočísel je nekonečná, když uvedeme do hry pojem Schnirelmannovy hustoty. Nejprve si představme několik notací:
- S nenulovým přirozeným číslem označíme množinu čísel dělitelnou p.p{\ displaystyle p}NEp{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {p}}
- Označíme množinu prvočísel.P{\ displaystyle {\ mathcal {P}}}
Předpokládejme, že je to hotové. Pak si to všimneme .
P{\ displaystyle {\ mathcal {P}}}{p1,...,pk}{\ displaystyle \ lbrace p_ {1}, ..., p_ {k} \ rbrace}
Máme . Odstraněním všech nenulových přirozených celých čísel dělitelných alespoň jedním prvočíslem však zůstává pouze 1 a , což je v rozporu s předchozí nerovností.
σ(NE∗∖(NEp1∪...∪NEpk))⩾1p1...pk>0{\ displaystyle \ sigma (\ mathbb {N} ^ {*} \ setminus ({\ mathcal {N}} _ {p_ {1}} \ cup ... \ cup {\ mathcal {N}} _ {p_ { k}})) \ geqslant {\ frac {1} {p_ {1} ... p_ {k}}}> 0}σ({1})=0{\ displaystyle \ sigma (\ lbrace 1 \ rbrace) = 0}
Dedukujeme známou větu:
Věta - Sada prvočísel je nekonečná.
Poznámky a odkazy
(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku
anglické Wikipedie s názvem
„ Schnirelmannova hustota “ ( viz seznam autorů ) .
-
(in) Eric W. Weisstein , „ Schnirelmann Density “ na MathWorld
-
(in) O. Ramaré , „ stálá Je to Šnirel'man “ , Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. , sv. 22, n o 4,1995, str. 645-706 ( číst online )
-
(v), Paul Erdős a Ivan Niven , " hypotéza a související problémy "α+β{\ displaystyle \ alpha + \ beta} , Amer. Matematika. Měsíčně , sv. 53,1946, str. 314-317 ( číst online ).
-
(in) Henry B. Mann, „ Důkaz základní věty o hustotě součtů množin kladných celých čísel “ , Annals of Mathematics , řada 2 E , sv. 43, n o 3,1942, str. 523-527 ( DOI 10.2307 / 1968807 )Odkaz na matematické recenze
-
(De) David Hilbert , „ Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n ter Potenzen (Waringsches Problem) “ , Mathematische Annalen , sv. 67, n o 3,1909, str. 281–300
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">