Pár (matematika)

V matematice jsou dvojicí dvou objektů data těchto dvou objektů v určeném pořadí. Pár ze dvou objektů a je známý . Pokud a jsou odlišné, dvojice je odlišná od dvojice ; v tomto je pojem páru odlišen od pojmu páru . Pro označení páru používají mluvčí angličtiny objednaný pár , to znamená objednaný pár . $na$ $b$ $(a, b)$ $na$ $b$ $(a, b)$ $(b, a)$

Koncept pár

Objekty a b jsou příslušně nazývá první složku a druhou složku páru ( , b ).

Charakteristická vlastnost

Nejprve představen jako primitivní pojem, podstata pojmu pár spočívá v následující charakteristické vlastnosti :

Dva páry jsou si rovny právě tehdy, pokud jsou jejich první složky na jedné straně a jejich druhé složky na druhé straně stejné.

Jinými slovy, cokoli a 1 , a 2 , b 1 , b 2 , máme:

( 1 , 2 ) = ( b 1 , b 2 ), jestliže a pouze v případě, 1 = b 1 a 2 = b 2 .

Tato vlastnost je třeba porovnat s rovnosti páry , pro které b 1 a b 2 může být permutované s ohledem na v 1 a s 2 , což není případ párů.

To potvrzuje následující důsledek:

Složky krouticího momentu nelze navzájem vyměňovat bez úpravy točivého momentu, pokud nejsou identické . což lze formálně vyjádřit: ( a , b ) = ( b , a ) právě tehdy, když a = b .

Proto:

pro pár ( a , b ): b ≠ a ⇒ ( b , a ) ≠ ( a , b )
pro pár { a , b }: { b , a } = { a , b }

Pořadí komponent v páru je proto důležité, proto definice:

Pokud se a liší od b, dvojici ( b , a ) se říká symetrický pár nebo dokonce vzájemný pár páru ( a , b ).

kartézský součin

Soubor všech dvojic, jejichž první složka patří nějaký soubor X a druhý na jakýkoliv soubor Y se nazývá kartézský součin těchto dvou sad a je označena X × Y . Tyto podmnožiny z X × Y jsou grafy .

Projekce

Vzhledem k tomu, sadu párů C je množina prvních složek párů C , se nazývá první výstupek z C , nebo výstupek na první souřadnici:

A = { x | ∃ y ( x , y ) ∈ C };

množina B druhých složek párů C se nazývá druhý výstupek z C , nebo výstupek na druhé souřadnici:

B = { y | ∃ x ( x , y ) ∈ C }.

Příklady

(1, 4) a (4, 4) jsou dvojice celých čísel.
Pokud E = {1, 2, 3}, pak ({1}, {1, 3}) a (Ø, {1}) jsou páry částí E.

Páry v teorii množin

Norbert Wiener si jako první všiml (v roce 1914), že pojem pár lze definovat za určitých podmínek, a proto není nutné tento pojem zavádět jako primitivní pojem, jakmile jej máme. . Obvykle se používá zastoupení párů kvůli Kazimierz Kuratowski (1921), viz níže. Tato volba je pohodlná, ale v žádném případě není vnitřní. Zastoupení párů v teorii množin vyžaduje:

charakteristická vlastnost párů;
abychom mohli vytvořit kartézský součin dvou množin (tj. vzhledem ke dvěma množinám X a Y existuje jedinečná množina X × Y, což je množina všech párů, z nichž první prvek patří X a druhý prvek patří až Y );
být schopen ukázat, že jakákoli sada párů je podmnožinou určitého kartézského součinu.

Z těchto vlastností lze odvodit všechny užitečné matematické vlastnosti. Ve skutečnosti je v teorii množin Zermelo-Fraenkel charakteristická vlastnost párů dostatečná: další dvě vlastnosti se z ní odvozují náhradou.

Kuratowski páry

Páry jsou obvykle definovány v teorii množin následovně:

Pro x a y libovolné dvě sady nastavíme ( x , y ) = {{ x }, { x , y }}.

Pro tuto definici musíme použít axiom dvojice třikrát , nejprve k vytvoření singletonu { x }, poté k vytvoření páru (nebo singletonu) { x , y } a nakonec k vytvoření páru (nebo singletonu) {{ x }, { x , y }}.

Pojem pár jsme jasně definovali jedinečným způsobem. Charakteristická vlastnost je odvozena z axiomu extenzity :

pro všechny množiny x, y, x 'a y', pokud {{ x }, { x , y }} = {{ x ' }, { x' , y ' }} , pak x = x' a y = y ', to v teorii množin, která ověřuje axiom dvojice a axiom extenzity.

Stačí použít podmínku rovnosti pro dva páry (nebo singletony) a pečlivě rozlišit všechny možné případy.

Nechť { x } = { x ' } a { x , y } = { x' , y ' }. Potom (rovnost dvou singletonů) x = x ' . Na druhou stranu (rovnost dvou párů), buď x = x ' a y = y' , které chceme demonstrovat, nebo x = y ' a y = x' , ale jako jinak x = x ' , 4 prvky jsou tedy stejné, proto výsledek.
Nechť { x } = { x ' , y' } a { x , y } = { x ' }. Z těchto dvou rovností odvodíme, že 4 prvky jsou si rovny, tedy výsledek.

Dejme tomu, že vzhledem k tomu, množina dvojic C . Pak složky C patří do množiny E získané setkáním se spojením prvků C , a proto můžeme definovat porozuměním dvou projekcí C , to znamená množiny A prvních složek C , a množina B jejích druhých složek:
E = ∪∪ C ; A = { x ∈ E | ∃ y ( x , y ) ∈ C }; B = { y ∈ E | ∃ x ( x , y ) ∈ C }.

To je užitečné například k definování definiční množiny nebo obrazové množiny relace nebo funkce považované za množiny párů (používáme axiom sjednocení a schéma axiomů porozumění ).

Použitím dvojice, unie, axiomu množiny částí , pak porozumění, také ukážeme, že X a Y jsou dvě dané množiny, páry Kuratowski, jejichž první složka patří X a druhá Y tvoří množinu který je pro toto kódování, na kartézského součinu z X a Y (viz kartézský produkt # zastoupení v teorie množin ). Schéma náhradního axiomu eliminuje potřebu všech dílů.

Všechny užitečné vlastnosti proto demonstruje Zermelova teorie množin .

Další zastoupení párů

Wiener v roce 1914 použil následující definici párů: ( x , y ) = {{{ x }, ∅}, {{ y }}}, což je stěží komplikovanější než u Kuratowského.

Můžeme také použít ( x , y ) = { x , { x , y }}, ale důkaz charakteristické vlastnosti vyžaduje axiom základu . Tato definice má výhodnou vlastnost, že pár vždy obsahuje dva prvky, x a { x , y } nutně odlišné, což neplatí pro páry Kuratowski nebo Wiener.

Spojovací funkce

V teorii množin někdy nazýváme spojovací funkci funkcí (v intuitivním smyslu a ne ve smyslu teorie množin, ve které pracujeme), která ke kterýmkoli dvěma objektům x a y přiřadí objekt ( x , y ) splňující charakteristickou vlastnost párů:

( x , y ) = ( x ' , y' ) ⇔ ( x = x ' a y = y' ).

Znázornění párů Kuratowského nebo Wienerova poskytuje příklady spojovací funkce. Obvyklé matematické vlastnosti párů jsou odvozeny z charakteristické vlastnosti v Zermelo-Fraenkelově teorii množin , bez ohledu na to, jak je definována. Zejména :

pro libovolnou spojovací funkci x , y ↦ ( x , y ) je kartézský součin dvou množin X a Y , X × Y = {( x , y ) | x ∈ X a y ∈ Y } je skutečně množina,
skutečně pro každé y ∈ Y {( x , y ) | x ∈ X }} je množina nahrazení, tedy výsledek nahrazení a sjednocení ;
pro jakoukoli spojovací funkci x , y ↦ ( x , y ) první projekce množiny párů skutečně tvoří množinu, stejně jako druhá projekce, ve
skutečnosti stačí použít náhradu za funkční asociaci se sadou, která je pár (ve smyslu spojovací funkce) jeho první komponenta (druhá pro druhou projekci).

Podle druhého tvrzení je jakákoli sada párů podmnožinou kartézského součinu.

Pár v teorii kategorií

Zde je konstrukce konceptů provedena v opačném směru: dvojice je definována z kartézského součinu, který je sám definován z funkcí, přičemž pojem funkce vnímaný jako morfismus je tedy v teorii kategorií situován velmi proti proudu .

Toto je však zvláštní a relativně nedávná vize teorie kategorií, jejíž axiomatický základ dosud nebyl stanoven; ve většině prací jsou základní pojmy používané pro kategorie, včetně párů a funkcí, založeny na teorii množin.

Zobecnění

Trojice lze definovat jako splňující charakteristickou vlastnost:

dvě trojice jsou stejné právě tehdy, když jsou jejich první složky navzájem stejné, jejich druhé složky také a jejich třetí složky stejné .

Triplet ( a , b , c ) lze kódovat jako ( a , ( b , c )) nebo dva vnořené páry. Volba pořadí vnoření je čistě libovolná. Proces konstrukce lze zobecnit na n -uples, přičemž n je libovolné celé číslo.

Abychom zovšeobecnili na nekonečno komponent, nemluvíme už o n -upletu, ale o rodině , nebo pokračování v počitatelném případě .

Poznámky a odkazy

Poznámky

Všimněte si mírné dvojznačnosti: v matematice obecně, zejména v kombinatorice, je dvojice složena ze dvou odlišných prvků a vyhýbáme se zápisu { a , b }, když a = b . V teorii množin by byl návrh nudný, kdyby notace { a , b } vždy měla předpokládat a ≠ b a my to nebudeme předpokládat , máme { a , a } = { a }. Nejčastěji se snažíme rezervovat pár v případě, že jsou dva prvky odlišné, ačkoli dvojice axiom také ukazuje existenci singletonů. Někdy si dovolíme napsat dvojici { a , b }, i když je možné, že a = b ; pak bychom museli říci pár nebo singleton { a , b }. V praxi jsou použití dobře definována a případná nejednoznačnost nepředstavuje problém.

Reference

Halmos 1967 , str. 34.
Lévy 1979 , s. 24–26, viz funkce #Coupling .
Lévy 1979 , s. 25, viz funkce #Coupling .
Lévy 1979 , str. 24.
Lévy 1979 , s. 25.
Lévy 1979 , s. 26.
(in) „ Kategorie teorie | 1. Obecné definice, příklady a aplikace “ , Stanfordská encyklopedie filozofie , 6. prosince 1996, aktualizováno 3. října 2014.

Podívejte se také

Související články

Bibliografie

Kazimierz Kuratowski , „ K pojmu řád v teorii množin “, fond. Matematika. , sv. 2,1921, str. 161-171 ;
Paul R. Halmos , Úvod do teorie množin , Paříž, Mouton , École Pratique des Hautes Etudes a Gauthier-Villars ,1967 ;
(en) Azriel Lévy , Základní teorie množin , Springer Verlag,1979( ISBN 3-540-08417-7 ) ;
(en) Norbert Wiener , „ Zjednodušení logiky vztahů “ , Proc. Cambridge Philos. Soc. , sv. 17,1914, str. 387-390.