Frobeniova rozklad

Uvažujeme K - vektorový prostor E konečné dimenze a endomorfismus u tohoto prostoru. Frobenius rozklad je rozklad E do přímého součtu tzv cyklických podprostorů, tak, že příslušné minimální (nebo charakteristické ) polynomy těchto omezení u k faktory jsou neměnné faktory z u . Frobeniovu rozklad lze provést na jakémkoli poli : nepředpokládáme zde, že K je algebraicky uzavřeno .

Vodivý polynom

Nechť x je vektor E , množina

JáX={P∈K.[X]∣P(u)(X)=0}{\ displaystyle I_ {x} = \ {P \ v K [X] \ střední P (u) (x) = 0 \}}

je ideální z K [ X ] není snížena na 0 (v souladu s Cayley-Hamilton teorém , charakteristický polynom je nenulový polynom náležející tomuto ideálu); proto je generován unikátní jednotným polynomu nazývá vodivý polynom o u u x , nebo někdy místní minimální polynom u u x . πu,X{\ displaystyle \ pi _ {u, x}}

Cyklický podprostor

Nechť x je vektor E , množina

SX={P(u)(X)∣P∈K.[X]}{\ displaystyle S_ {x} = \ {P (u) (x) \ střední P \ v K [X] \}}

je vektor podprostor z E stabilní od u tzv u cyklického podprostor generovaný x , nebo u -stable uzávěr z x .

Nebo máme právě tehdy . Vodivý polynom je tedy minimální polynom endomorfismu indukovaného u na podprostoru S x . P∈K.[X]{\ displaystyle P \ v K [X]}P∈JáX{\ displaystyle P \ v I_ {x}}∀y∈SX, P(u)(y)=0{\ displaystyle \ for all y \ in S_ {x}, \ P (u) (y) = 0}πu,X{\ displaystyle \ pi _ {u, x}}

Rozměr S x se rovná stupni polynomu . πu,X{\ displaystyle \ pi _ {u, x}}

U -maximální vektory

Pro jakýkoliv vektor x o E , vodivou polynomu rozděluje minimální polynomu o u . Řekneme, že x je u -maximální, když . Frobeniův rozklad je založen na následujících dvou výsledcích (prokázaných na Wikiversity ): πu,X{\ displaystyle \ pi _ {u, x}}πu{\ displaystyle \ pi _ {u}} πu,X=πu{\ displaystyle \ pi _ {u, x} = \ pi _ {u}}

• jakýkoli endomorfismus u připouští vektor u - maximum;
• pro libovolný vektor u -maximální x , S x připouští další stabilní o u .

Pokračováním indukcí se dostaneme k Frobeniovi rozkladu .

Frobeniova rozklad

Existuje posloupnost vektorů z E tak, že X1,X2,...,Xp{\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ tečky, x_ {p}}

• E=SX1⊕SX2⊕⋯⊕SXp{\ displaystyle E = S_ {x_ {1}} \ oplus S_ {x_ {2}} \ oplus \ dots \ oplus S_ {x_ {p}}}
• πu,Xp∣⋯∣πu,X2∣πu,X1{\ displaystyle \ pi _ {u, x_ {p}} \ střední \ tečky \ střední \ pi _ {u, x_ {2}} \ střední \ pi _ {u, x_ {1}}}

Polynomů nejsou závislé na volbě vektorů , které jsou neměnné faktory z u . Minimální polynom je a charakteristický polynom je . πu,Xi{\ displaystyle \ pi _ {u, x_ {i}}}Xi{\ displaystyle x_ {i}}πu=πu,X1{\ displaystyle \ pi _ {u} = \ pi _ {u, x_ {1}}}χu=πu,X1πu,X2...πu,Xp{\ displaystyle \ chi _ {u} = \ pi _ {u, x_ {1}} \ pi _ {u, x_ {2}} \ tečky \ pi _ {u, x_ {p}}}

Dva endomorfismy jsou podobné právě tehdy, pokud mají stejné invariantní faktory.

Alternativně můžeme Frobeniovu větu o rozkladu vidět jako okamžitý důsledek věty o invariantním faktoru vytvořením korespondence mezi -vektorovým prostorem a - modulem vybaveným externím produktem definovaným pomocí . Věta o invariantním faktoru je však mnohem obtížnější prokázat obecně, než zde popsaný důkaz, který používá techniky lineární algebry. K.{\ displaystyle \ mathbb {K}}E{\ displaystyle E}K.[X]{\ displaystyle \ mathbb {K} [X]} (E,u){\ displaystyle (E, u)}P⋅uX=P(u)(X){\ displaystyle P \ cdot _ {u} x = P (u) (x)}

Endomorfismy indukované u jsou cyklické endomorfismy, u nichž zbývá pouze studovat specifické vlastnosti.

Cyklický endomorfismus

Říká se, že u je cyklický endomorphism v případě, že je prvek x z E tak, že S x = E .

Můžeme charakterizovat cyklické endomorphisms několika způsoby: endomorphism u z e je cyklická tehdy a jen tehdy, když:

• stupeň minimálního polynomu u se rovná dimenzi E  ;
• minimální polynom a charakteristický polynom u jsou stejné (kromě znaménka);
• endomorfismus dojíždí s u (if a) pouze v případě, že se jedná o polynom v u  ;
• existuje základ E , ve kterém je matrice u je společník matice . To je pak doprovodná matice minimálního polynomu u .

Aplikace

• Frobeniova dekompozice nám umožňuje studovat komutanta a dvojkomutanta endomorfismu.
• Poskytuje ucelený systém invariancí podobnosti čtvercové matice, který elegantně ukazuje, že:
  • libovolná čtvercová matice je podobná její transpozici (dokazujeme to ručně pro doprovodnou matici a to stačí);
  • pokud dva čtvercové matice s položkami v těle K jsou podobné přes regulární matice s koeficienty v prodloužení části K , pak jsou také prostřednictvím nezvratné matrice s koeficienty v K .

Odkaz

J. Fresnel, Algebra matic , Hermann, 1997, § A 4.1, s. 139-141

Podívejte se také