Průměrná životnost
Vzhledem k sadě prvků, jejichž počet klesá k nule, je průměrná životnost (také nazývaná životnost) číslo, které charakterizuje míru redukce ( snížení ) sady. Zejména pokud je individuální životnost prvku sestavy čas strávený mezi referenčním okamžikem a zmizením tohoto prvku, průměrná životnost je aritmetickým průměrem jednotlivých životů.
Případ exponenciálního poklesu: průměrný život a poločas
Rozpad částice je „zcela náhodný“, to znamená, že její pravděpodobnost rozpadu je jednotná a je zaznamenána λ. Jeho pravděpodobnost rozpadu mezi časy t a d t je tedy:
P (rozpad v [ t ; t + d t ]) = λ⋅d t
Je také pravděpodobnost, že životnost T částice je t (protože existuje v čase t a již neexistuje v t + d t ):
P (T ∈ [ t ; t + d t ]) = λ⋅d t
To také popisuje systémy vykazující konstantní okamžitou poruchovost, to znamená poruchu bez mladistvé slabosti, opotřebení nebo paměťového efektu, jako jsou elektronické součástky.
Na stupnici populace N částic (nebo systémů) je proto napsán zákon rozpadu (nebo selhání):
dNE(t)dt=-λ⋅NE(t){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathrm {N} (t)} {\ mathrm {d} t}} = - \ lambda \ cdot \ mathrm {N} (t)}kde N ( t ) je populace v čase t a λ (řecké písmeno lambda) je rychlostní konstanta.
Řešení této diferenciální rovnice odhalí klesající exponenciální funkci:
NE(t)=NE0E-λt{\ displaystyle \ mathrm {N} (t) = \ mathrm {N} _ {0} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda t}}Termín N 0 je koncentrace v počáteční době.
Průměrná délka života je tedy aritmetickým průměrem nebo matematickým očekáváním délky života:
t¯=1NE0∫0+∞tdNE′(t)dt=1λ{\ displaystyle {\ bar {t}} = {\ frac {1} {\ mathrm {N} _ {0}}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} t \ mathrm {d} \ mathrm { N} '(t) \ mathrm {d} t = {\ frac {1} {\ lambda}}}.
Demonstrace
Statisticky, počet částic rozpadajících (nebo systémy vykazující selhání) mezi časy t a t + d t je:
NE(t+dt)-NE(t)=NE′(t)dt=-NE0λE-λtdt{\ displaystyle \ mathrm {N} (t + \ mathrm {d} t) - \ mathrm {N} (t) = \ mathrm {N} '(t) \ mathrm {d} t = - \ mathrm {N} _ {0} \ lambda \ mathrm {e} ^ {- \ lambda t} \ mathrm {d} t}Je to počet částic, které měly životnost t . Průměr těchto životů je tedy
t¯=1NE0∫0+∞tNE′(t)dt=-λ∫0+∞tE-λtdt{\ displaystyle {\ bar {t}} = {\ frac {1} {\ mathrm {N} _ {0}}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} t \ mathrm {N} '(t ) \ mathrm {d} t = - \ lambda \ int _ {0} ^ {+ \ infty} t \ mathrm {e} ^ {- \ lambda t} \ mathrm {d} t}Jeden provádí integraci po částech :
t×E-λt=u×proti′{\ displaystyle t \ times \ mathrm {e} ^ {- \ lambda t} = u \ times v '}s
u=t ; proti′=E-λtu′=1 ; proti=-1λE-λt{\ displaystyle {\ begin {aligned} u = t & {\ text {; }} & v '= \ mathrm {e} ^ {- \ lambda t} \\ u' = 1 & {\ text {; }} & v = - {\ frac {1} {\ lambda}} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda t} \ end {zarovnáno}}}je
t¯=-λ[uproti]0+∞+λ∫0+∞u′protidt=-λ[-tλE-λt]0+∞+λ∫0+∞(-1λ)E-λtdt{\ displaystyle {\ bar {t}} = - \ lambda \ vlevo [uv \ right] _ {0} ^ {+ \ infty} + \ lambda \ int _ {0} ^ {+ \ infty} u'v \ mathrm {d} t = - \ lambda \ left [- {\ frac {t} {\ lambda}} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda t} \ right] _ {0} ^ {+ \ infty} + \ lambda \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ left (- {\ frac {1} {\ lambda}} \ right) \ mathrm {e} ^ {- \ lambda t} \ mathrm {d} t }máme pro pozitivní λ (viz Asymptotické srovnání> Srovnávací stupnice ),
limt→+∞tE-λt=0{\ displaystyle \ lim _ {t \ až + \ infty} t \ mathrm {e} ^ {- \ lambda t} = 0}proto je první člen nula, zůstává
t¯=-∫0+∞E-λtdt=[1λE-λt]0+∞=1λ{\ displaystyle {\ bar {t}} = - \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda t} \ mathrm {d} t = \ left [{\ frac { 1} {\ lambda}} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda t} \ right] _ {0} ^ {+ \ infty} = {\ frac {1} {\ lambda}}}CQFD.
Často používáme řecké písmeno τ (tau):
τ = 1 / λ
a potom můžeme vyjádřit zákon úbytku s τ místo λ:
NE(t)=NE0E-tτ{\ displaystyle \ mathrm {N} (t) = \ mathrm {N} _ {0} \ mathrm {e} ^ {\ frac {-t} {\ tau}}}Fyzická realita rozpadu je tak jasněji popsána.
Je také možné spojit dobu poločasu se střední dobou života. Poločas rozpadu t _ 1/2 je definován jako čas nezbytný pro rozpad poloviny částic; jinými slovy, koncentrace N ( t 1/2 ) musí odpovídat N 0/2 . Matematicky je to medián . To vede k následující rovnocennosti:
t1/2=τ⋅ln2=ln2λ{\ displaystyle t_ {1/2} = \ tau \ cdot \ ln 2 = {\ frac {\ ln 2} {\ lambda}}}použití
Poločas je parametr nejčastěji používaný k charakterizaci radioaktivního izotopu nebo nestabilní elementární částice . Datování uhlíku 14 obvykle vyžaduje pouze předchozí znalost podílu uhlíku 14 v živých organismech a poločasu izotopu uhlíku 14.
Další statistické zákony
Ne všechny systémy dodržují exponenciální zákon. Okamžitá míra selhání nemá zejména důvod být jednotná:
- může se snížit, což naznačuje, že systém se postupem času stává robustnějším nebo že systémy s mladistvými vadami jsou eliminovány brzy (viz Dětská úmrtnost , Dětská úmrtnost a Běh v );
- může růst, což naznačuje fenomén stárnutí, opotřebení;
- může mít křivku „vany“ se třemi fázemi životnosti systému: klesající, poté konstantní a poté rostoucí.
Ve všech případech zůstává průměrná životnost t rovna matematickému očekávání.
V mnoha případech se používá Weibullův zákon , jehož populace (zákon o přežití) je vyjádřena ve formě:
NE(t)=NE0×E-(X/λ)β{\ displaystyle \ mathrm {N} (t) = \ mathrm {N} _ {0} \ times \ mathrm {e} ^ {- (x / \ lambda) ^ {\ beta}}}nebo:
- β (řecké písmeno beta) je parametr tvaru;
- λ je parametr měřítka.
Tento zákon umožňuje jednoduše modelovat mnoho typů profilů: exponenciální s β = 1 - ale všimneme si, že tvarový parametr λ je potom inverzní k λ exponenciálního zákona -, Gaussian s β mezi 3 a 4, ... pak mít:
t¯=τ=λ×Γ(1+1/β){\ displaystyle {\ bar {t}} = \ tau = \ lambda \ krát \ gama (1 + 1 / \ beta)}s Γ gama funkcí - v případě exponenciálního zákona, β = 1, máme Γ (2) = 1.
Průměrné životnosti a poločasy pro různé spojité statistické zákony
Zákon
|
Funkce přežití R ( t ) = N ( t ) / N 0 |
Průměrná životnost τ = t
|
Poločas t 1/2 = L 50 = B 50 |
---|
Exponenciální
|
exp (-λ t )
|
1 / λ
|
ln (2) / λ
|
---|
Normální
|
1-Φ(t-μσ){\ displaystyle 1- \ Phi \ left ({\ frac {t- \ mu} {\ sigma}} \ right)}
|
μ
|
μ
|
---|
Log-normální
|
1-Φ(lnt-μσ){\ displaystyle 1- \ Phi \ left ({\ frac {\ ln t- \ mu} {\ sigma}} \ right)}
|
exp (μ + σ 2 /2)
|
exp (μ)
|
---|
Weibulle
|
exp(-(t/λ)β){\ displaystyle \ exp \ left (- (t / \ lambda) ^ {\ beta} \ right)}
|
λΓ (1 + 1 / β)
|
λln (2) 1 / β |
---|
Χ 2
|
y(k/2,t/2)Γ(k/2){\ displaystyle {\ frac {\ gama (k / 2, t / 2)} {\ gama (k / 2)}}}
|
k
|
≈ k - 2/3
|
---|
Logistika
|
11+exp(X-μs){\ displaystyle {\ frac {1} {1+ \ exp \ left ({\ frac {x- \ mu} {s}} \ right)}}}
|
μ
|
μ
|
---|
Log-logistika
|
αβtβ+αβ{\ displaystyle {\ frac {\ alpha ^ {\ beta}} {t ^ {\ beta} + \ alpha ^ {\ beta}}}}
|
απβhřích(π/β){\ displaystyle {\ frac {\ alfa \ pi} {\ beta \ sin (\ pi / \ beta)}}}
|
α
|
---|
Poznámky a odkazy
Poznámky
-
Jedná se o doplněk distribuční funkce : R ( t ) = 1 - F ( t )
Reference
Podívejte se také
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">