Vzpěr

Vzpěru nebo vybočení je fenomén nestability pružné struktury se zabránilo vysoké zatížení provozní režim nevyžádané deformaci, ale mezi menší tuhostí na zatížení. Koncept vzpěru se obecně vztahuje na štíhlé nosníky, které, když jsou vystaveny normální tlakové síle , mají tendenci se ohýbat a deformovat ve směru kolmém k ose stlačování (průchod stavu tlaku ve stavu ohybu ); ale může být také použit například na pružinové listy předpjaté v ohybu, které se nakloní v kroucení, aby unikly nákladu.

Termín vzpěr se v konstrukční mechanice spíše používá pro daný jev a odpovídající dimenzovací kritérium a termín vzpěr pro konkrétní událost.

Pro místní nestability duší nebo panelů mluvíme o vzpěru .

Síla materiálu

Příklad plochého plastového pravítka:

• pokud jsou konce pravidla drženy a taženy, k porušení pravidla dochází, když jsou tahová napětí větší než pevnost v tahu plastu;
• na druhé straně, pokud jsou konce pravidla drženy a stlačovány podélně, pravidlo se ohne a zlomí s tlakovou silou mnohem nižší, než je síla potřebná pro porušení v tahu.

Tento jev se nazývá vzpěr.

V odolnosti materiálů (RdM) je vzpěr fenoménem pružné nestability zvýrazněné při stlačování nosníku; vyvíjí se parazitický ohybový moment zesílený deformacemi a posuny zatíženého paprsku.

Tento jev není zvýrazněn klasickým modelem RdM nebo teorií nosníků, protože tento model se domnívá, že výpočetní síly se vztahují na nedeformovanou strukturu (předpoklady vnější linearizace a malé posuny mechaniky těles a RdM), a nikoli na konstrukci již načtená a deformovaná (teorie druhého řádu).

Vzpěr se vyskytuje o to snadněji, že paprsek je štíhlý, to znamená velké délky a malého průřezu. Vzpěr také závisí na okrajových podmínkách, zejména na povaze spojů na koncích nosníku (zejména vložení nebo členění).

I když se zde používá výraz paprsek, je třeba upustit od předpokladu RdM malých posunutí, aby byl model realističtější. Model RdM musí být doplněn o další předpoklady, že kmeny zůstávají malé, ale že posuny mohou být velké; to umožňuje vzít v úvahu jevy druhého řádu zanedbávané v modelu RdM.

Tento dokončený model RdM již není lineární, rozlišení se provádí postupnými iteracemi až do možné konvergence výsledku. Tento model zdůrazňuje nestability, z nichž je Eulerovo kritické zatížení jednoduchým příkladem.

Protože tento vzorec zahrnuje pouze výrazy vyplývající z lineárního elastického modelu RdM (Youngův modul a geometrie paprsku), jeden říká, že vzpěr je fenomén pružné nestability. Obecně je elastické vzpěrování pouze začátkem mnohem složitějšího nelineárního chování, které jednou započaté vede k plastickým deformacím v materiálu a potom ke zničení nosníku.

Pro paprsek konstantní setrvačnosti vystavený normální jednoduché tlakové síle je teoretické kritické vzpěrné zatížení dáno Eulerovým vzorcem  :

F=π2EJálk2{\ displaystyle F = {\ frac {\ pi ^ {2} EI} {l_ {k} ^ {2}}}}

nebo

• E{\ displaystyle E}je Youngův modul materiálu;
• Já{\ displaystyle I}je kvadratický moment paprsku;
• lk{\ displaystyle l_ {k}} je vzpěrná délka nosníku.

Toto kritické zatížení je zjevně omezeno průřezovým odporem nosníku (z určité štíhlosti je selhání dosaženo před nástupem vzpěru). Ve skutečném případě je selhání vzpěr dosaženo ještě dříve, zejména kvůli výrobním nebo implementačním nedokonalostem (viz níže).

Faktor představuje délku ekvivalentní délce nosníku kloubového závěsu. Jedná se o vzdálenost oddělující dva inflexní body deformace nosníku, tj. Vzdálenost mezi dvěma body nulového ohybového momentu. Tak, lk{\ displaystyle l_ {k}}

• u paprsku zavěšeného na obou koncích délka paprsku;lk=1×L{\ displaystyle l_ {k} = 1 \ krát L}
• pro vložený paprsek - mobilní vložený (podél svislé osy)  ,;lk=0,5×L{\ displaystyle l_ {k} = 0,5 \ krát L}
• pro pevný otočný paprsek (koeficient 0,699 je přibližný);lk=0,699×L{\ displaystyle l_ {k} = 0,699 \ krát L}
• pro upnutý paprsek .lk=2×L{\ displaystyle l_ {k} = 2 \ krát L}

Vzpěr je jev pružné nestability spojený s Youngovým modulem a nezávisle na meze pružnosti je použití oceli s vyšší mezí pružnosti ke snížení vzpěru závažnou chybou.

Eulerovo kritické zatížení

Diagram

Předběžné notace

• F→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}} : 2 protilehlé tlakové síly působící podél osy nosníku na jeho koncích;(Ó;X){\ displaystyle (O; x)}
• osa kolmá k paprsku;(Ó;y){\ displaystyle (O; y)}
• y=F(X){\ displaystyle y = f (x)} : deformace nosníku;
• MF(X){\ displaystyle M _ {\ text {f}} (x)} : ohybový moment ve svazku na úsečce x;
• y′=dF(X)dX=dydX{\ displaystyle y '= {\ frac {\ mathrm {d} f (x)} {\ mathrm {d} x}} = {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x}} } : derivace ve srovnání s x „deformace“;
• y„=d2ydX2{\ displaystyle y '' = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} y} {\ mathrm {d} x ^ {2}}}} : druhá derivace ve srovnání s x „deformace“;

Budeme potřebovat vztah mezi ohybovým momentem a . MF(X){\ displaystyle M _ {\ text {f}} (x)}y„=d2ydX2{\ displaystyle y '' = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} y} {\ mathrm {d} x ^ {2}}}}

Tento vztah je napsán (viz Studie deformace ohnutého nosníku ):

F„(X)=-MF(X)EJá(1){\ displaystyle f '' (x) = - {\ frac {M _ {\ text {f}} (x)} {E \, I}} \ qquad (1)}.

Demonstrace

Ohybový moment je způsoben dvěma silami a skutečností, že paprsek je od sebe vzdálen o vzdálenost od počáteční osy paprsku. Tento ohybový moment na ose x vyvolaný tímto má hodnotu: MF(X){\ displaystyle M _ {\ text {f}} (x)}F→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}F(X){\ displaystyle f (x)}

MF(X)=F{\ displaystyle M _ {\ text {f}} (x) = F} X F(X)(2){\ displaystyle f (x) \ qquad (2)}

je to jednoduchý součin intenzity síly ramene páky . F→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}F(X){\ displaystyle f (x)}

Tyto vzorce (1) a (2) získá:

F„(X)=-FF(X)EJá{\ displaystyle f '' (x) = - {\ frac {Ff (x)} {EI}}}

buď dotazem:

ω2=FEJá{\ displaystyle \ omega ^ {2} = {\ frac {F} {EI}}}

Získáme klasickou kvadratickou diferenciální rovnici:

F„(X)=-ω2F(X){\ displaystyle f '' (x) = - \ omega ^ {2} f (x)}

Obecná řešení této diferenciální rovnice mají tvar:

F(X)=NAcos⁡ωX+Bhřích⁡ωX{\ displaystyle f (x) = A \ cos \ omega x + B \ sin \ omega x}

kde A a B jsou konstanty, které mají být určeny jako funkce následujících okrajových podmínek:

F(0)=0{\ displaystyle f (0) = 0} a F(L)=0{\ displaystyle f (L) = 0}

protože 2 konce jsou upevněny podél osy (O; y).

Mezní stav n ° 1  :, a proto , nebo , a proto zde zůstává pouze jeden , který usnadňuje expresi f (x) v: F(0)=0{\ displaystyle f (0) = 0}NAcos⁡0+Bhřích⁡0=0{\ displaystyle A \ cos 0 + B \ sin 0 = 0}cos⁡(0)=1{\ displaystyle \ cos (0) = 1}hřích⁡(0)=0{\ displaystyle \ sin (0) = 0}1NA+0B=0{\ displaystyle 1A + 0B = 0}NA=0{\ displaystyle A = 0}

F(X)=Bhřích⁡ωX{\ displaystyle f (x) = B \ sin \ omega x}

Mezní Stav N ° 2  :, to znamená , který poskytuje pouze 2 možnosti: a . F(L)=0{\ displaystyle f (L) = 0}Bhřích⁡ωL=0{\ displaystyle B \ sin \ omega L = 0}B=0{\ displaystyle B = 0}hřích⁡ωL=0{\ displaystyle \ sin \ omega L = 0}

1. Pokud , pak řešení diferenciální rovnice je , pro všechna x splňující 0 <x <L; funkce je funkce null. Rovnice zkreslené přímky je y = 0; to znamená, že paprsek je přímočarý. Nedochází k vybočení.B=0{\ displaystyle B = 0}F(X)=0{\ displaystyle f (x) = 0}F{\ displaystyle f}
2. To je tedy možné pouze tehdy, když k je celé číslo . Případ k = 0 odpovídá absenci vzpěru ( ).hřích⁡ωL=0{\ displaystyle \ sin \ omega L = 0}ωL=kπ{\ displaystyle \ omega L = k \ pi}F(X)=0{\ displaystyle f (x) = 0}

První vzpěrný režim odpovídá  ; získáváme: k=1{\ displaystyle k = 1}

ωL=π{\ displaystyle \ omega L = \ pi}

je :

ω=πL{\ displaystyle \ omega = {\ frac {\ pi} {L}}}

Které dávají:

ω2=π2L2{\ displaystyle \ omega ^ {2} = {\ frac {\ pi ^ {2}} {L ^ {2}}}}.

Protože jsme pózovali výše , ω2=FEJá{\ displaystyle \ omega ^ {2} = {\ frac {F} {EI}}}

FEJá=π2L2{\ displaystyle {\ frac {F} {EI}} = {\ frac {\ pi ^ {2}} {L ^ {2}}}}

z toho lze odvodit kritické zatížení Eulera:

FE=π2EJáL2{\ displaystyle F _ {\ text {e}} = {\ frac {\ pi ^ {2} EI} {L ^ {2}}}}

Pohodlný výpočet pro homogenní materiály

Tento problém je vážně zvažován v případě dimenzování sloupků nebo sloupů a mechanických spojovacích tyčí , prvků nezbytně velké délky a podrobených stlačování.

Jeden obvykle definuje geometrický parametr , nazývaný koeficient štíhlosti (bezrozměrný): λ{\ displaystyle \ lambda}

λ=lkρ,sρ2=JáS{\ displaystyle \ lambda = {\ frac {l_ {k}} {\ rho}}, \ quad {\ text {with}} \ quad \ rho ^ {2} = {\ frac {I} {S}}}

kde je poloměr kroužení paprsku a část tohoto paprsku. ρ{\ displaystyle \ rho}S{\ displaystyle S}

Poloměr setrvačnosti paprsku vzhledem k ose, představuje radiální vzdálenost, ve které musí být všechny materiály koncentruje, čímž se získá stejný kvadratický moment jako skutečné paprsku.

Poté můžeme definovat kritický štíhlostní koeficient (bezrozměrný), který závisí pouze na vlastnostech materiálu: λvs.{\ displaystyle \ lambda _ {c}}

λvs.2=π2EσE{\ displaystyle \ lambda _ {c} ^ {2} = {\ frac {\ pi ^ {2} E} {\ sigma _ {e}}}}

kde je mez kluzu materiálu, pak relativní štíhlostní koeficient (bezrozměrný) σE{\ displaystyle \ sigma _ {e}}λrel{\ displaystyle \ lambda _ {\ text {rel}}}

λrel=λλvs.=λπσEE{\ displaystyle \ lambda _ {\ text {rel}} = {\ frac {\ lambda} {\ lambda _ {c}}} = {\ frac {\ lambda} {\ pi}} {\ sqrt {\ frac { \ sigma _ {e}} {E}}}}

V praxi se Eulerův vzorec přímo nepoužívá k dimenzování paprsku. Kritické vzpěrné zatížení Eulera bylo možné dosáhnout pouze v ideálním případě dokonale přímočaré a homogenní tyče, bez jakékoli geometrické nedokonalosti a zatížené bez jakékoli výstřednosti. Ve skutečnosti mají tyto nedokonalosti důsledek toho, že vedou k brzkému vzpěru tyče, podceňované Eulerovým vzorcem. Konečně je konečné zatížení samozřejmě omezeno odporem sekce v čisté kompresi ( ). σES{\ displaystyle \ sigma _ {e} S}

Aby bylo možné tyto různé úvahy vzít v úvahu jednotným způsobem, praxe obvykle vyvinutá v nedávných standardech spočívá v zavedení vzpěrného faktoru sloužícího ke snížení odporu průřezu prutu (jednoduchá komprese), aby se dosáhlo jeho celkového odporu v tlaku. χ{\ displaystyle \ chi}FR=σES{\ displaystyle F _ {\ text {R}} = \ sigma _ {e} S}

FR, k=χ⋅FR=χ⋅σE⋅S{\ displaystyle F _ {\ text {R, k}} = \ chi \ cdot F _ {\ text {R}} = \ chi \ cdot \ sigma _ {e} \ cdot S}.

Tento vzpěrný faktor, vyplývající z numerických simulací a experimentálních výsledků, je obecně definován takto:

χ=1Φ+Φ2-λrel2⩽1{\ displaystyle \ chi = {\ frac {1} {\ Phi + {\ sqrt {\ Phi ^ {2} - \ lambda _ {\ text {rel}} ^ {2}}}}} \ leqslant 1}

kde je faktor definovaný podle použitého materiálu a typu nedokonalostí. Například ve Švýcarském standardu pro kovovou konstrukci (SIA 263) je tento faktor zapsán: Φ{\ displaystyle \ Phi}

Φ=1+α(λrel-0,2)+λrel22{\ displaystyle \ Phi = {\ frac {1+ \ alpha (\ lambda _ {\ text {rel}} - 0,2) + \ lambda _ {\ text {rel}} ^ {2}} {2}} }

V tomto vzorci je faktor nedokonalosti materiálu; záleží na uvažovaném směru vzpěru a na výrobním procesu. Je třeba si všimnout, že když má sklon k 0, křivka vzpěru se blíží křivce vzpěru Eulera . α{\ displaystyle \ alpha}α{\ displaystyle \ alpha}χ(λrel){\ displaystyle \ chi (\ lambda _ {\ text {rel}})}1/λrel2{\ displaystyle 1 / \ lambda _ {\ text {rel}} {} ^ {2}}

Když - jak se často stává - je paprsek vystaven nejen tlaku, ale také ohybové nebo smykové síle , je mezní zatížení dále sníženo, jednak proto, že část odporu je mobilizována, aby proti těmto namáháním působila proti na druhé straně proto, že ohybový moment vyvolává předběžné zakřivení, které bude zesíleno kompresí. Mluvíme pak o interakci sil a kritéria selhání jsou obecně formulována na základě křivek nebo interakčních vzorců. Závisí zejména na relativních podílech různých napětí na celkovém napětí.

Aplikace na sloupce a sloupce

Litinové sloupy

Železobetonové sloupy

Eulerův vzorec nelze použít na železobetonové sloupy a vzpěry: kvůli praskání betonu se setrvačnost mění po celé délce, což vede ke složitým výpočtům. Jedním z průkopníků v této oblasti výpočtů byl Pierre Faessel, který vytvořil výpočtové grafy.

Geologie

V geologii najdeme také fenomén vzpěru, ale v mnohem větším měřítku než v odolnosti materiálů . Stlačení velké kontinentální masy způsobuje v místním nebo regionálním měřítku vznik pohoří. Na měřítku celého kontinentu vzpěr způsobuje řadu sekundárních „prohlubní“ a „nerovností“ .

Například alpská srážka v západní Evropě je zodpovědná za vznik nebo reaktivaci dalších sekundárních reliéfů, jejichž význam klesá, když se člověk vzdaluje od Alp: centrální masiv („Bosse“) a Limagne („Hollow“), Sologne („dutý“), Armorican Massif a Alpes Mancelles („bosse“, i když také spojený s otevřením Atlantiku), Severní moře („dutý“, jehož dalším vysvětlujícím faktorem je také otevření Atlantiku ), Pays de Caux a Pays de Bray („šéfové“), močály a poldry v oblasti Calais a severní Pikardie („duté“), Boulonnais , Artois , Ardeny a Eifel („boule“), Flandry ( "dutý").

Mohli bychom popsat himálajský odpor stejným způsobem: tibetská plošina („dutina“), Altaj („boule“), Bajkalské jezero („dutina“).

Současná shoda mezi geology však spočívá v tom, že Limagne a obecněji kolapsové příkopy , jako je Rýnský graben , nesouvisí s jevy vzpěrného typu, ale spíše s částečným roztavením desky. Oceánské kůry ( subdukce ) a tepelné eroze kůry na úrovni budoucího příkopu, mechanické oslabení a tvorba trhlin .

Podívejte se také

Související články

• Síla materiálu
• Rozlít

externí odkazy

• Sciences.ch - Teorie odporu materiálů
• Referenční příručka ICAB: výpočet paprsku a nestability při vzpěru, boční vzpěrné vzpěrné, vzpěrné
• Geologie: Trhlina a vulkanismus v Massif Central, globální geodynamický model (vzpěr, trhlina, subdukce, zejména v případě Limagne)

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">