Rayleigh-Taylor nestabilita

Rayleigh-Taylor , pojmenovaný pro britský fyzik lord Rayleigh a GI Taylor , je nestabilita v rozhraní mezi dvěma tekutinami s hustot různých, vyplývající z tahu těžší kapaliny na lehčí kapaliny (zrychlení v případě dynamického systému nebo gravitace pro původně statický systém směřuje ke světelné fázi). Tento jev je produkován například rázovou vlnou při vzniku mezihvězdných mraků . V tomto konkrétním případě, kdy je šok způsoben zrychlením systému, se bude hovořit o nestabilitě Richtmyer-Meshkov . Podobná situace nastává, když gravitace ovlivňuje dvě tekutiny různé hustoty (hustší tekutina ležící nad méně hustou tekutinou), jako je minerální olej na povrchu vody.

Vezměme si dvě vrstvy nemísitelných tekutin, které se skládají ve dvou rovnoběžných rovinách, přičemž nejtěžší převyšují nejlehčí a obě podléhají pozemské gravitaci. Rovnováha je nestabilní při sebemenší poruchy : jakékoliv poruchy zesílí a uvolnit potenciální energii , těžší kapalina postupně získává dolní polovina účinkem gravitačního pole, a světlo tekutina prochází přepětí výše. Právě tuto konfiguraci studoval lord Rayleigh. Důležitým objevem GI Taylora bylo ukázat, že tato situace je ekvivalentní situaci, ke které dochází při zrychlení tekutin (mimo veškerou gravitaci) , přičemž lehká tekutina je poháněna uvnitř těžší tekutiny. To se stává zejména tehdy, když hodíme na zem sklenici se zrychlením větším než je gravitace Země g .

Jak nestabilita vyvíjí své účinky, nepravidelnosti („dolíčky“) se šíří dolů do Rayleigh-Taylorových polypů, které se nakonec dokonce promíchají. Proto se Rayleigh-Taylorova nestabilita někdy označuje jako prstová nestabilita . Světlejší tekutina expanduje nahoru jako jaderná houba .

Tento jev je pozorován v několika běžných situacích, a to nejen v solných dómech nebo inverzních vrstvách , ale také v astrofyzice a elektrokinetice . Polypy Rayleigh-Taylor jsou zvláště viditelné v Krabí mlhovině , kde pler generovaný Krabí pulzarem přetéká projekce z exploze supernovy před 1000 lety.

Rayleigh-Taylorova nestabilita by neměla být zaměňována s Plateau-Rayleighovou nestabilitou (někdy označovanou jako „nestabilita zahradní hadice “): ta, která se vyskytuje v proudech kapaliny, je způsobena napětím. Povrchní, které má tendenci rozptýlit válcovitý paprsek do projekce kapiček stejného objemu, ale méně specifického povrchu.

Lineární stabilitní analýza

Neviskózní dvou - dimenzionální Rayleigh - Taylor nestabilita poskytuje vynikající testovací sada pro matematické studium stability vzhledem k extrémně jednoduché povaze počáteční konfigurace, popsané v průměru rychlostního pole, jako je , kde je pole gravitační je rozhraní mezi kapaliny o hustotách v horní zóně a ve spodní zóně. Ukazuje se, že v této části, když je nejtěžší tekutina nahoře, se nejmenší rušení rozhraní exponenciálně zesiluje s rychlostí ${\ displaystyle U (x, z) = W (x, z) = 0, \,}$ ${\ displaystyle {\ textbf {g}} = - g {\ hat {\ textbf {z}}}. \,}$ ${\ displaystyle z = 0 \,}$ ${\ displaystyle \ rho _ {G} \,}$ ${\ displaystyle \ rho _ {L} \,}$

{\ displaystyle \ exp (\ gamma \, t) \ ;, \ qquad {\ text {s}} \ quad \ gamma = {\ sqrt {{\ mathcal {A}} g \ alpha}} \ quad {\ text {et}} \ quad {\ mathcal {A}} = {\ frac {\ rho _ {\ text {heavy}} - \ rho _ {\ text {light}}} {\ rho _ {\ text {heavy} } + \ rho _ {\ text {light}}}}, \,}

kde je rychlost růstu, je číslo prostorové vlny a je Atwoodovo číslo . $\ gamma \,$ $\ alpha \,$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \,}$

Analýza lineární stability

Porucha způsobená systémem je popsána rychlostním polem s nekonečně malou amplitudou. Předpokládáme nestlačitelnou tekutinu, toto rychlostní pole je irrotační a lze jej popsat proudovými linkami . ${\ displaystyle (u '(x, z, t), w' (x, z, t)). \,}$

{\ displaystyle {\ textbf {u}} '= (u' (x, z, t), w '(x, z, t)) = (\ psi _ {z}, - \ psi _ {x}) , \,}

kde indexy označují částečné derivace . Kromě toho v nestlačitelné tekutině zpočátku ve stacionárním pohybu nedochází k žádnému víru a pole rychlosti tekutiny zůstává irrotační , tzn . Pokud jde o aktuální řádek, Pak, protože systém je neměnný jakýmkoli překladem ve směru x , můžeme hledat řešení ve formě ${\ displaystyle \ nabla \ times {\ textbf {u}} '= 0 \,}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi = 0. \,}$

{\ Displaystyle \ psi \ left (x, z, t \ right) = e ^ {i \ alpha \ left (x-ct \ right)} \ Psi \ left (z \ right), \,}

kde je číslo prostorové vlny . Problém tedy sestává z řešení rovnice $\ alpha \,$

{\ displaystyle \ left (D ^ {2} - \ alpha ^ {2} \ right) \ Psi _ {j} = 0, \, \, \, \ D = {\ frac {d} {dz}}, \, \, \, \ j = L, G. \,}

Pole, ve kterém je problém vyřešen, je následující: indexovaná tekutina „L“ je omezena na oblast , zatímco indexovaná tekutina „G“ je v horní polorovině . Pro stanovení úplného řešení musí být nastaveny okrajové a rozhraní podmínky. To určuje celeritu c , která zase určuje vlastnosti stability systému. ${\ displaystyle - \ infty <z \ leq 0 \,}$ ${\ displaystyle 0 \ leq z <\ infty \,}$

První z těchto podmínek je poskytována hraničními daty. Rychlost rušení by měla splňovat podmínku nepropustnosti (nulový průtok), která by měla bránit expanzi tekutiny mimo oblast studia. Tedy, podél a pro . Pokud jde o racionalizace , je to psáno ${\ displaystyle w '_ {i} \,}$ ${\ displaystyle z = \ pm \ infty. \,}$ ${\ displaystyle w_ {L} '= 0 \,}$ ${\ displaystyle z = - \ infty \,}$ ${\ displaystyle w_ {G} '= 0 \,}$ ${\ displaystyle z = \ infty \,}$

{\ displaystyle \ Psi _ {L} \ left (- \ infty \ right) = 0, \ qquad \ Psi _ {G} \ left (\ infty \ right) = 0. \,}

Další tři podmínky poskytuje chování rozhraní . ${\ displaystyle z = \ eta \ left (x, t \ right) \,}$

Spojitost vertikální složky rychlosti; ve svislé složky rychlosti, musí být připojeny: . Pokud jde o racionalizace , je to psáno ${\ displaystyle z = \ eta}$ ${\ displaystyle w '_ {L} = w' _ {G} \,}$

{\ displaystyle \ Psi _ {L} \ left (\ eta \ right) = \ Psi _ {G} \ left (\ eta \ right). \,}

U Development Limited v Získají ${\ displaystyle z = 0 \,}$

{\ displaystyle \ Psi _ {L} \ left (0 \ right) = \ Psi _ {G} \ left (0 \ right) + {\ text {o (z)}}, \,}

Je to rovnice vyjadřující podmínku rozhraní.

Stav volné plochy: Podél volné plochy platí následující kinematické podmínky: ${\ displaystyle z = \ eta \ left (x, t \ right) \,}$

{\ displaystyle {\ frac {\ částečné \ eta} {\ částečné t}} + u '{\ frac {\ částečné \ eta} {\ částečné x}} = w' \ levé (\ eta \ pravé). \, }

Linearizací jednoduše získáme

{\ displaystyle {\ frac {\ částečné \ eta} {\ částečné t}} = w '\ doleva (0 \ doprava), \,}

kde je rychlost linearizována na povrchu . Při použití reprezentací a zefektivnění normálního režimu je tato podmínka druhá podmínka rozhraní. ${\ displaystyle w '\ left (\ eta \ right) \,}$ ${\ displaystyle z = 0 \,}$ ${\ displaystyle c \ eta = \ Psi \,}$

Tlakový skok na rozhraní: Pokud je zohledněno povrchové napětí , je tlakový skok přes rozhraní dán Laplaceovou rovnicí : ${\ displaystyle z = \ eta}$

{\ Displaystyle p_ {G} \ doleva (z = \ eta \ doprava) -p_ {L} \ doleva (z = \ eta \ doprava) = \ sigma \ kappa, \,}

kde σ je povrchové napětí a κ je zakřivení rozhraní, jehož aproximace se získá linearizací:

{\ displaystyle \ kappa = \ nabla ^ {2} \ eta = \ eta _ {xx}. \,}

Tak,

{\ displaystyle p_ {G} \ doleva (z = \ eta \ doprava) -p_ {L} \ doleva (z = \ eta \ doprava) = \ sigma \ eta _ {xx}. \,}

Tato podmínka však zahrnuje celkový tlak (= základní tlak + porucha), to znamená

{\ displaystyle \ left [P_ {G} \ left (\ eta \ right) + p '_ {G} \ left (0 \ right) \ right] - \ left [P_ {L} \ left (\ eta \ right ) + p '_ {L} \ vlevo (0 \ vpravo) \ vpravo] = \ sigma \ eta _ {xx}. \,}

(Jako obvykle můžeme linearizovat odchylky různých velikostí podél povrchu z = 0. ) Vyjádřením hydrostatické rovnováhy ve formě

{\ displaystyle P_ {L} = - \ rho _ {L} gz + p_ {0}, \ qquad P_ {G} = - \ rho _ {G} gz + p_ {0}, \,}

získáváme

{\ displaystyle p '_ {G} -p' _ {L} = g \ eta \ left (\ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ right) + \ sigma \ eta _ {xx}, \ qquad {\ text {on}} z = 0. \,}

Změna tlakového pole je vyhodnocována aktuálními funkcemi díky rovnici horizontálního impulzu převzatého z linearizovaných Eulerových rovnic pro poruchy, s nimiž dává ${\ displaystyle {\ frac {\ částečné u_ {i} '} {\ částečné t}} = - {\ frac {1} {\ rho _ {i}}} {\ frac {p_ {i}'} {\ částečné x}} \,}$ ${\ displaystyle i = L, G, \,}$

{\ displaystyle p_ {i} '= \ rho _ {i} cD \ Psi _ {i}, \ qquad i = L, G. \,}

Odkazující tuto poslední rovnici na podmínku skoku,

{\ displaystyle c \ left (\ rho _ {G} D \ Psi _ {G} - \ rho _ {L} D \ Psi _ {L} \ right) = g \ eta \ left (\ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ vpravo) + \ sigma \ eta _ {xx}. \,}

Využitím druhé podmínky rozhraní a použitím reprezentace normálního režimu se tento vztah stane ${\ displaystyle c \ eta = \ Psi \,}$

{\ displaystyle c ^ {2} \ left (\ rho _ {G} D \ Psi _ {G} - \ rho _ {L} D \ Psi _ {L} \ right) = g \ Psi \ left (\ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ vpravo) - \ sigma \ alpha ^ {2} \ Psi, \,}

kde je také zbytečné index (pouze jeho deriváty), protože když $\ Psi \,$ ${\ displaystyle \ Psi _ {L} = \ Psi _ {G} \,}$ ${\ displaystyle z = 0. \,}$

Řešení

Nyní, když byl model stratifikovaného toku matematicky popsán, je řešení na dosah. Rovnice proudových čar s okrajovými podmínkami se řeší podle ${\ displaystyle \ left (D ^ {2} - \ alpha ^ {2} \ right) \ Psi _ {i} = 0, \,}$ ${\ displaystyle \ Psi \ doleva (\ pm \ infty \ doprava) \,}$

{\ displaystyle \ Psi _ {L} = A_ {L} e ^ {\ alpha z}, \ qquad \ Psi _ {G} = A_ {G} e ^ {- \ alpha z}. \,}

První podmínka rozhraní nařizuje to v , což ukládá Třetí podmínka rozhraní to nařizuje ${\ displaystyle \ Psi _ {L} = \ Psi _ {G} \,}$ ${\ displaystyle z = 0 \,}$ ${\ displaystyle A_ {L} = A_ {G} = A. \,}$

{\ displaystyle c ^ {2} \ left (\ rho _ {G} D \ Psi _ {G} - \ rho _ {L} D \ Psi _ {L} \ right) = g \ Psi \ left (\ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ vpravo) + \ sigma \ alpha ^ {2}. \,}

Umístěním řešení do této rovnice vytvoříme vztah

{\ displaystyle Ac ^ {2} \ alpha \ left (- \ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ right) = Ag \ left (\ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ right ) + \ sigma \ alpha ^ {2}. \,}

Je zjednodušeno na obou stranách, a to zůstane

{\ displaystyle c ^ {2} = {\ frac {g} {\ alpha}} {\ frac {\ rho _ {L} - \ rho _ {G}} {\ rho _ {L} + \ rho _ { G}}} + {\ frac {\ sigma \ alpha} {\ rho _ {L} + \ rho _ {G}}}. \,}

Pro úplnou interpretaci tohoto výsledku je zajímavé zvážit případ, kdy je povrchové napětí nulové. V tom případě,

{\ displaystyle c ^ {2} = {\ frac {g} {\ alpha}} {\ frac {\ rho _ {L} - \ rho _ {G}} {\ rho _ {L} + \ rho _ { G}}}, \ qquad \ sigma = 0, \,}

a je tedy jasné, že

pokud , a c je skutečné. To se stane, když je nejsvětlejší tekutina nahoře; ${\ displaystyle \ rho _ {G} <\ rho _ {L} \,}$ ${\ displaystyle c ^ {2}> 0 \,}$
v případě , a c je dokonale čisté: to je to, co se stane, když těžší kapaliny nad. ${\ displaystyle \ rho _ {G}> \ rho _ {L} \,}$ ${\ displaystyle c ^ {2} <0 \,}$

Když je tedy nejtěžší tekutina nahoře, a ${\ displaystyle c ^ {2} <0 \,}$

{\ displaystyle c = \ pm i {\ sqrt {\ frac {g {\ mathcal {A}}} {\ alpha}}}, \ qquad {\ mathcal {A}} = {\ frac {\ rho _ {G } - \ rho _ {L}} {\ rho _ {G} + \ rho _ {L}}}, \,}

kde je Atwoodovo číslo . Vezmeme-li v úvahu pouze pozitivní řešení, vidíme, že řešení má formu ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \,}$

{\ displaystyle \ Psi \ left (x, z, t \ right) = Ae ^ {- \ alpha | z |} \ exp \ left [i \ alpha \ left (x-ct \ right) \ right] = A \ exp \ left (\ alpha {\ sqrt {\ frac {g {\ tilde {\ mathcal {A}}}} {\ alpha}}} t \ right) \ exp \ left (i \ alpha x- \ alpha | z | \ right) \,}

a že je spojena s pozicí η rozhraní pomocí: Pojďme nyní nastavit ${\ displaystyle c \ eta = \ Psi. \,}$ ${\ displaystyle B = A / c. \,}$

Charakteristická doba růstu volné plochy je zpočátku dána vztahem: ${\ displaystyle z = \ eta (x, t), \,}$ ${\ Displaystyle \ eta (x, 0) = \ Re \ left \ {B \, \ exp \ left (i \ alpha x \ right) \ right \}, \,}$

{\ displaystyle \ eta = \ Re \ vlevo \ {B \, \ exp \ vlevo ({\ sqrt {{\ mathcal {A}} g \ alpha}} \, t \ vpravo) \ exp \ vlevo (i \ alfa x \ right) \ right \} \,}

který v průběhu času exponenciálně roste. Zde B označuje velikost počátečního rušení, a je reálná část tohoto komplexu výrazu v závorkách. ${\ displaystyle \ Re \ left \ {\ cdot \ right \} \,}$

Obecně platí, že podmínkou pro lineární nestabilitu je to, že imaginární část komplexní rychlosti c je kladná. Konečně, k opětovnému stanovení povrchového napětí snižuje C 2 v modulu, a proto má stabilizující účinek. Ve skutečnosti existuje pole krátkých vln, pro které povrchové napětí stabilizuje systém a zabraňuje nestabilitě.

Dlouhodobé chování

Předchozí analýza již není platná, pokud jde o narušení s velkou amplitudou: v tomto případě je růst nelineární, polypy a bubliny se proplétají a končí ve vírech. Jak je znázorněno na opačném obrázku, je nutné se k numerickému popisu systému uchýlit k numerické simulaci .

Poznámky a odkazy

DH Sharp, „ Přehled Rayleigh-Taylorovy nestability “, Physica D , sv. 12,1984, str. 3–18 ( DOI 10.1016 / 0167-2789 (84) 90510-4 )
Drazin (2002), str. 50–51 .
HB Che, B. Hilko a E. Panarella, „ Nestabilita Rayleigh - Taylor ve sférickém stísnění “, Journal of Fusion Energy , sv. 13, n O 4,1994, str. 275–280 ( DOI 10.1007 / BF02215847 )
(en) Wang, C.-Y. & Chevalier RA „ Nestability and Clumping in Type Ia Supernova Remnants “, verze v1,2000.
(in) RJ Tayler ( eds. ), W. Hillebrandt a P. Höflich , Stellar Astrophysics , Supernova 1987a in the Large Magellanic Cloud , Bristol / Philadelphia, CRC Press ,1992, 356 s. ( ISBN 0-7503-0200-3 ) , str. 249–302 : srov. strana 274.
J. Jeff Hester , „ Krabí mlhovina: astrofyzikální chiméra “, Annual Review of Astronomy and Astrophysics , sv. 46,2008, str. 127–155 ( DOI 10.1146 / annurev.astro.45.051806.110608 )
Drazin (2002), str. 48–52 .
Podobný výpočet najdeme v práci Chandrasekhar (1981), §92, s. 433–435.
Shengtai Li a Hui Li, „ Parallel AMR Code for Compressible MHD or HD Equations “ , Národní laboratoř Los Alamos (přístup k 5. září 2006 )
IUSTI, „ Numerická simulace nestabilit Richtmyer-Meshkov “ ,6. října 2008(zpřístupněno 20. srpna 2009 )

Podívejte se také

Bibliografie

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku anglické Wikipedie s názvem „ Rayleigh-Taylor Instability “ ( viz seznam autorů ) .

Historické prameny

John William Strutt Rayleigh , „ Vyšetřování charakteru rovnováhy nestlačitelné těžké tekutiny proměnné hustoty “, Proceedings of the London Mathematical Society , sv. 14,1883, str. 170–177 ( DOI 10.1112 / plms / s1-14.1.170 )(Originální papír je k dispozici na adrese : https://web.archive.org/web/20061210173022/https://www.irphe.univ-mrs.fr/%7Eclanet/otherpaperfile/articles/Rayleigh/rayleigh1883.pdf .)
Geoffrey Ingram Taylor , „ Nestabilita kapalných povrchů při zrychlení ve směru kolmém na jejich roviny “, Proceedings of the Royal Society of London. Řada A, Matematické a fyzikální vědy , sv. 201, n o 10651950, str. 192–196 ( DOI 10.1098 / rspa.1950.0052 )

Nedávná bibliografie

Subrahmanyan Chandrasekhar , Hydrodynamická a elektromagnetická stabilita , Dover Publications ,devatenáct osmdesát jedna, 652 s. ( ISBN 978-0-486-64071-6 , číst online )
PG Drazin , Úvod do hydrodynamické stability , Cambridge University Press ,2002, xvii + 238 stran str. ( ISBN 0-521-00965-0 , číst online ) .
PG Drazin a WH Reid , Hydrodynamická stabilita , Cambridge, Cambridge University Press ,2004( Dotisk 2 nd ), 626 str. ( ISBN 0-521-52541-1 , číst online )