Řecká písmena ve finanční matematice

Tyto řecká písmena nebo řecké či řecké jsou základní nástroje finančního řízení voleb . Pocházejí z hlavních modelů oceňování opcí , zejména z modelů Black Scholes .

Tyto ukazatele počítají dopad změny ceny na opční parametry, které ji tvoří:

• cena podkladu (nebo spotu ) ,S{\ displaystyle S \, \!}
• realizační cena stanovená opcí (nebo stávkou) ,K.{\ displaystyle {\ mathcal {}} K}
• volatility naznačil ,σ{\ displaystyle \ sigma \, \!}
• vypršení platnosti opce , tj. doba, po které lze opci provéstT{\ displaystyle T \, \!}
• úroková sazba (nebo úroková sazba ) .r{\ displaystyle r \, \!}

• d1=1σT[ln⁡(SK.)+(r+12σ2)T]{\ displaystyle d_ {1} = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {T}}}} \ left [\ ln \ left ({\ frac {S} {K}} \ right) + \ left (r + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ vpravo) T \ vpravo]}

• d2=d1-σT{\ displaystyle d_ {2} = d_ {1} - \ sigma {\ sqrt {T}}}

• NE′(X)=12πE-X2/2{\ displaystyle N '(x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} e ^ {- x ^ {2} / 2}}Je funkce hustoty pravděpodobnosti na snížené středem normálního rozdělení .

• NE(X)=∫-∞X12πE-t2/2dt{\ displaystyle N (x) = \ int \ limity _ {- \ infty} ^ {x} {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} e ^ {- t ^ {2} / 2} dt}Je distribuční funkce na snížené středem normálního rozdělení .

Definice

Opětovným převzetím notací vysvětlených v modelu Blacka a Scholese a upozorněním na prémii možnosti máme následující deriváty . P{\ displaystyle P \, \!}

Delta

δ=∂P∂S{\ displaystyle \ delta = {\ frac {\ částečné P} {\ částečné S}}}

δVSnall=NE(d1){\ displaystyle \ delta _ {Hovor} = N (d_ {1})}

δPut=δVSnall-1=NE(d1)-1{\ displaystyle \ delta _ {Put} = \ delta _ {volání} -1 = N (d_ {1}) - 1}

Delta opce měří citlivost její ceny na danou změnu ceny podkladového aktiva.

Prémie hovoru je rostoucí funkcí podkladových cen, zatímco cena putu je klesající funkcí . Čím vyšší je cena podkladového aktiva, tím větší je pravděpodobnost, že hovor bude v penězích. Symetricky, čím nižší je cena podkladového aktiva, tím větší je pravděpodobnost, že je put v penězích. Když má tedy opce deltu rovnou (v absolutní hodnotě) 0,5 nebo blízko 0,5, říká se, že je u peněz. δvs.nall≥0{\ displaystyle \ delta _ {call} \ geq 0}δput≤0{\ displaystyle \ delta _ {put} \ leq 0}

Kromě toho a . To lze pochopit tak, že vezmeme extrémní případ hovoru s nulovou realizační cenou, na podklad, který nemůže mít zápornou cenu. Prémie pro tuto možnost bude vždy rovna základní ceně: . Jeho derivát s ohledem na cenu podkladového aktiva se proto bude rovnat 1. δvs.nall≤1{\ displaystyle \ delta _ {hovor} \ leq 1}δput≥-1{\ displaystyle \ delta _ {put} \ geq -1}Pvs.nall=S{\ displaystyle P_ {call} \, \! = S \, \!}

Symetrický uvažování pomáhá pochopit, proč delta z put je vyšší než -1.

Delta portfolia opcí je součtem delt každé z opcí, které ji tvoří.

Pozn .: U hovoru je delta nutně pozitivní (v nejhorším případě nulová): opce na nákup má hodnotu, čím více, tím vyšší je cena podkladového aktiva. Kromě toho je delta volání nutně mezi 0 a 1.
Pro put je delta nutně záporná (v nejhorším případě nula): put opce za pevnou cenu je o to dražší, že cena podřízeného centra je nízký. Symetrickým uvažováním k předchozímu můžeme ukázat, že delta putu je striktně mezi -1 a 0.

Gama

hlavní článek: gama

yVSnall=yPut=∂2P∂S2=NE′(d1)SσT{\ displaystyle \ gamma _ {Call} = \ gamma _ {Put} = {\ frac {\ částečné ^ {2} P} {\ částečné S ^ {2}}} = {\ frac {N '(d_ {1 })} {S \ sigma {\ sqrt {T}}}}}

Gama představuje konvexnost nebo termaxitu ceny opce podle ceny podkladu. Udává, zda má cena opce tendenci se pohybovat rychleji nebo pomaleji než cena podkladového aktiva. Analogicky můžeme porovnat deltu s rychlostí a gama se zrychlením.

Dalším čtením gama je směr vývoje delty podle ceny podkladu. Pozitivní gama znamená, že cena podkladového aktiva a delta se pohybují stejným směrem, zatímco negativní gama ukazuje opak.

Like a říkáme, že hovor nebo put kupující bude gama dlouho, nebo jeho portfolio bude gamma kladná, a prodávající bude gamma krátká , nebo gama negativní. Pokud jsou všechny ostatní věci stejné, gama je maximální, pokud je opce na peníze (tj. Když je její delta rovna 0,5). U portfolia zahrnujícího dlouhé (tzv. Dlouhé ) a krátké (tzv. Krátké ) opce za různé realizační ceny (na stejném podkladu) se tedy hodnota jeho gama bude vyvíjet, nebo dokonce měnit znaménko, v závislosti na změnách v cena podkladového aktiva. yvs.nall≥0{\ displaystyle \ gamma _ {call} \ geq 0}yput≥0{\ displaystyle \ gamma _ {put} \ geq 0}

Gama portfolia opcí je součet gama každé z opcí, které ji tvoří.
Gama je klesající funkcí dospělosti.

Theta

Theta je cena (nebo zisk) času stráveného v portfoliu opcí. Posuzuje, nakolik plynutí času ovlivňuje hodnotu opce. Pozice dlouhé opce (kladné gama) bude záporná theta. Obchodník bude muset ujistit, že každý den věnovat své denní theta tím, že využije své dlouhé pozice v gama. Proto bychom raději byli dlouho s opcí, která je dostatečně volatilní, takže vyvážením pozice můžeme platit za čas, který uběhne obchodováním s gama.
θ=-∂P∂T{\ displaystyle \ theta = - {\ frac {\ částečné P} {\ částečné T}}}

Pro evropskou výzvu k akci, která nevyplácí dividendy:

θvs.nall=-SNE′(d1)σ2T-rK.E-rTNE(d2){\ displaystyle \ theta _ {call} = - {\ frac {SN '(d_ {1}) \ sigma} {2 {\ sqrt {T}}}} - rKe ^ {- rT} N (d_ {2} )}

Pro evropské put na akcii neplatí dividendy:

θput=-SNE′(d1)σ2T+rK.E-rTNE(-d2){\ displaystyle \ theta _ {put} = - {\ frac {SN '(d_ {1}) \ sigma} {2 {\ sqrt {T}}}} + rKe ^ {- rT} N (-d_ {2 })}

Rho

Jde o míru změny hodnoty pojistného v závislosti na bezrizikové úrokové sazbě.

ρ=∂P∂r{\ displaystyle \ rho = {\ frac {\ částečné P} {\ částečné r}}}

• ρvs.nall=K.TE-rTNE(d2){\ displaystyle \ rho _ {call} = KTe ^ {- rT} N (d_ {2})}

• ρput=-K.TE-rTNE(-d2){\ displaystyle \ rho _ {put} = - KTe ^ {- rT} N (-d_ {2})}

Vega

νvs.nall=νput=∂P∂σ=STNE′(d1){\ displaystyle \ nu _ {call} = \ nu _ {put} = {\ frac {\ částečné P} {\ částečné \ sigma}} = S {\ sqrt {T}} N '(d_ {1})}

Vega měří citlivost na implikovanou volatilitu (viz Black-Scholesův model ). Představuje malé písmeno nu, protože název „vega“ není sám o sobě řeckým písmenem. Like a říkáme, že hovor nebo put kupující bude dlouho zeleniny, nebo že jeho portfolio bude zelenina pozitivní, a že prodávající bude krátké ( short ) v zeleniny, nebo negativní zelenina. νvs.nall≥0{\ displaystyle \ nu _ {call} \ geq 0}νput≥0{\ displaystyle \ nu _ {put} \ geq 0}

Na rozdíl od gama a theta je zelenina rostoucí funkcí dospělosti. Souběžné zvýšení volatility bude mít tedy větší dopad na opce se vzdáleným datem vypršení platnosti, než na ty, které jsou jí blízké. Pozice, kterou obchodníci a tvůrci trhu obecně oceňují , je pak mít globálně pozitivní gama pozici (citlivou na hlavní pohyby trhu) a negativní vega, která spočívá v nákupu krátkých opcí a prodeji dlouhých opcí.

použití

Ukazatele rizik

Řekové jsou především ukazateli rizik, která nese ten, kdo koupil nebo prodal opce. Rozdělují tato rizika podle původu: cena podkladového aktiva, implikovaná volatilita, čas a úroková sazba.

Umožní proto jemně řídit každý z těchto parametrů, ať už na úrovni obchodování , nebo na úrovni služeb kontroly rizik ve strukturách, kde existují.

Tyto Řekové jsou velmi důležité, protože aby bylo možné zajistit rizika spojená s portfoliem možností. Obchodníci obecně nekryjí rizika spojená s každou opcí, ale spíše celková rizika portfolia opcí, za které jsou odpovědní. Software pro řízení rizik jim dává hodnoty těchto Řeků , aby věděli přímo, jaké produkty mají nakupovat nebo prodávat, aby pokryli rizika, která se rozhodnou neutralizovat. „Plně“ zajištěné portfolio je portfolio, u kterého mají všichni Řekové nulovou hodnotu: žádná citlivost na žádný parametr. V praxi je nemožné snížit rizika na nulu. Ve skutečnosti, že Řekové jsou také citlivé na stejných parametrů a hodnot neustále vyvíjejí s vývojem na trzích.

Nástroje pro správu obchodníka

Nejběžnější strategie správy možností se nazývá delta neutrální správa. Spočívá v neustálém vyloučení rizika spojeného s cenou podkladového aktiva.

Vezměte si příklad obchodníka, který okamžitě prodává identické delta hovory . Delta jeho portfolia je tedy . Pokud chce, aby jeho portfolio bylo imunní vůči výkyvům ceny podkladového aktiva, zruší tuto deltu. Nejjednodušším řešením je obecně pak koupit (protože v případě hovoru , ) množství podkladového nástroje. Podle definice je delta podkladového aktiva rovna 1. t0{\ displaystyle t_ {0}} ne{\ displaystyle n} δ0{\ displaystyle \ delta _ {0}}ne×δ0{\ displaystyle n \, \ krát \, \ delta _ {0}}δvs.nall≥0{\ displaystyle \ delta _ {call} \ geq 0}ne×δ0{\ displaystyle n \, \ krát \, \ delta _ {0}}

Během životnosti této možnosti se však její delta změní, zejména proto, že se změnila cena podkladového aktiva. V tuto chvíli se bude delta lišit, a proto zajištění portfolia již nebude optimální: obchodník to bude muset upravit nákupem nebo prodejem o něco více podkladového aktiva. t1{\ displaystyle t_ {1}}δ1{\ displaystyle \ delta _ {1}}δ0{\ displaystyle \ delta _ {0}}

Zohlednění gama umožňuje tuto správu optimalizovat. Když je gama kladné, delta se zvyšuje s růstem ceny podkladu. Pohodlná situace pro operátora, který musí prodat podkladový kapitál během růstu trhu a zpětně odkoupit během pádů. Tyto zpáteční lety do podkladového fondu se používají k úhradě nákladů plynoucích z času (často říkáme: zaplatit theta). Na druhou stranu, pokud je gama záporné, musí provést reverzní operace a zpáteční lety musí ztratit méně, než kolik získá theta.

Čím větší je gama, tím častější jsou zásahy k neutralizaci delty, což může být problém v prostředí, kde jsou vysoké transakční náklady. Naopak, pokud je gama opce nulové, může si obchodník udržovat pevnou pozici po celou dobu životnosti opce.

Delta-neutrální správa může být způsob sázení na volatilitu: protože portfolio je teoreticky imunní vůči výkyvům ceny podkladového aktiva, jeho hodnota se bude vyvíjet hlavně podle implikované volatility.

Podívejte se také

• Black and Scholes model
• Derivát
• Opce (finance) , call , put , straddle , warrant
• Finanční matematika
• Ocenění opcí

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">