Zákony Snell-Descartes

Tyto zákony Snell popsat chování světla na rozhraní dvou prostředí. Tyto zákony jsou čtyři, dva pro odraz a dva pro lom světla . S přímočarým šířením světla v homogenním a izotropním prostředí jsou tyto zákony základem geometrické optiky . Jejich název odkazuje na Willebrord Snell a René Descartes , kteří souběžně, ale nezávisle na sobě objevené tyto zákony v XVII -tého století .

Celerimetrický profil a Snellovy zákony určují trajektorii paprsků ve vodě. Stejné zákony umožňují určit ideální zakřivení rohovky oka v atmosféře nebo ve vodním prostředí. Jeden z těchto zákonů také vysvětluje jednoduchý matematický vztah, který existuje mezi úhlem dopadu světelného paprsku a jeho úhlem lomeným vodou nebo jevem známým jako Snellovo okno .

Historický

Objev zákonů lomu je přičítán Ibn Sahlovi (kolem 940–1000) v roce 983. Tyto zákony jsou na obrázku znázorněny dvěma trojúhelníky vlevo nahoře. Ibn Sahl použil tyto zákony k návrhu čočky hyperbolického tvaru s dokonalým zaostřením (paprsek rovnoběžných paprsků pak konverguje přesně ve stejném bodě: zaostření).

Pojednání Ibn Sahla však zůstává záhadné, protože vztah se objevuje bez jakýchkoli experimentálních údajů nebo teoretických základů. Kromě toho není definována žádná konstanta ekvivalentní optickému indexu . Dále je těžké uvěřit, že Ibn al-Haytham (Alhazen) nepřijal zásadní objev svého pána Ibn Sahla. Zdá se, že tento vztah byl zapomenut. Jednou z možných interpretací je, že se jedná o cvičení v designu čoček, uvažované v čistě geometrické oblasti, aniž by byl stanoven fyzikální zákon.

Později je teorie duhy známá v muslimském světě ( Al Farisi ).

Pak prostřednictvím latinského překladu optickým pojednání o Ibn al-Haytham , optika šíří v Evropě: Oxford ( Robert Grosseteste , Roger Bacon ), Paříž, Praha. Zákon malých úhlů je známý: Witelo (alias Vitellion ) by vzal experimentální tabulky odchylek stanovené Ptolemaiosem , ale byl to právě Kepler, který v Paralipomena k Vitellionovi výslovně uvedl vztah mezi (malými) úhly dopadu a lom světla. Thomasovi Harriotovi se připisuje zásluha za nastavení stolů pomocí sinusového zákona (1601) a vysvětlení duhy (1606); ale nepublikuje.

Snell rozvinul své dílo současně s vydáním své tabulky sinusů (1621).
Descartes publikoval zákon v roce 1637 ve svém pojednání La Dioptrique (v příloze Pojednání o metodě ).
Zákony Snell může být plně odečtena od Fermatův princip a moderní fyziky Maxwellovy rovnice o elektromagnetismu .

V západní Evropě se prioritní hádka - Snell nebo Descartes? - byl rozsáhle diskutován; vezmeme-li v úvahu Ibn Sahla, Harriota, Keplera, jedná se o „starou“ hádku (viz kontroverze karteziánství , dioptrické).

Stará hádka

V západní Evropě je tvrzení o sinusovém zákoně přisuzováno Descartovi i Snellovi a tato skutečnost bude předmětem prioritního sporu, který je v této době tak častý (počátek 17. století): kontroverze ohledně otázky, zda Descartes sám objevil tento zákon nebo o něm jednoduše věděl krátce předtím Snell, který zemřel, aniž by jej zveřejnil. Pokud by Leibniz a Huygens usoudili, že Descartes by skutečně nemohl být, aniž by znal zákon vyhlášený Snellem, nejsou názory historiků tak jednoznačné. B. Maitte evokuje poznání, které by měl Descartes o nepublikovaném Snellově rukopisu (který by podle J.-P. Mauryho byl svěřen Rivetovi, profesorovi teologie ve vztahu k Mersennovi , který sám s Descartem hodně koresponduje). . Podle P. Costabela však v současném stavu historické dokumentace neexistuje důkaz, že Descartes komunikoval o výsledku Snella. Jiní autoři evokují anterioritu Harriota, který by uvedený zákon našel, ale poskytl by Keplerovi pouze tabulky měření bez výkladu.

Aktuálně nalezené historické dokumenty nám neumožňují znát Snellov přístup. Co se týká Descartese, některé indikace vedou k závěru, že myšlenka sinusů byla přímo spojena s hledáním tvaru takzvaného „dokonalého“ objektivu, to znamená schopného konvergovat přesně v určitém bodě. paprsek rovnoběžných paprsků. Očekávaným profilem dioptrie byl profil hyperboly a je to geometrická studie tohoto profilu - kvalifikovaného jako anaklastická - která potvrdila Descartes v platnosti sinusového zákona: přesvědčení, aby neřekl důkaz, bylo výsledkem soubor úvah, experimentální (výroba na hranici možného takového objektivu od Ferriera) a teoretický (demonstrace, že hyperbolická forma dobře odpovídala vztahu mezi sinusy úhlů geometrem Mydorgeem a matematikem Beeckmanem ). Dodejme zde, že tato obava vyplynula z vynálezu dalekohledu, dalekohledu vylepšeného Galileem a předaného Keplerovi, který poskytl počáteční vysvětlení.

Zákony Snell-Descartes pro reflexi

Světelný paprsek se říká, že dopadající předtím, než došlo k odrazné plochy, říká se, že se projeví později.

Bod setkání dopadajícího paprsku a odrazné plochy se nazývá bod dopadu .

Čára kolmá k odrazné ploše v bodě dopadu se nazývá normální (k odrazné ploše).

Rovina obsahující dopadající paprsek a kolmice na odrazný povrch v bodě dopadu se nazývá rovina dopadu .

Orientovaný úhel θ 1 přijata mezi kolmicí v místě dopadu a dopadající paprsek se nazývá úhel dopadu .

Orientovaný úhel θ 2 pořízený mezi normálou v bodě dopadu a odraženým paprskem se nazývá úhel odrazu .

Úhly θ 1 a θ 2 jsou kladné, pokud jsou orientovány proti směru hodinových ručiček , jinak záporné. Poznámka: někteří autoři používají jiné konvence.

Zákony odrazu jsou stanoveny následovně:

odrazený paprsek, dopadající paprsek a normála (k dioptrii) jsou obsaženy v rovině dopadu;
úhly dopadu a odrazu jsou v absolutních hodnotách stejné; θ 1 a θ 2 ověřují: θ 2 = - θ 1 .

Snell-Descartovy zákony pro lom světla

Snell-Descartovy zákony lomu vyjadřují změnu směru světelného paprsku při přechodu stěny oddělující dvě různá média. Každé médium se vyznačuje svou schopností „zpomalit“ světlo, modelované indexem lomu n, který je vyjádřen ve formě:

ne=vs.proti{\ displaystyle n = {\ frac {c} {v}}} ${\ displaystyle n = {\ frac {c} {v}}}$ nebo:

v je rychlost světla v tomto médiu;
to je rychlost světla ve vakuu.

Světelný paprsek se říká, že dopadající předtím, než došlo k Čočkový povrch (nazvaný dioptrie), říká se, že se může lámat poté.

Místo setkání dopadajícího paprsku a dioptrie se nazývá bod dopadu.

Rovina obsahující dopadající paprsek a kolmici na dioptrii se v místě dopadu nazývá rovina dopadu.

Orientovaný úhel θ 1 pořízený mezi normálem v bodě dopadu a dopadajícím paprskem se nazývá úhel dopadu.

Orientovaný úhel θ 2 mezi normálou v bodě dopadu a lomeným paprskem se nazývá úhel lomu.

Úhly θ 1 a θ 2 jsou kladné, pokud jsou orientovány proti směru hodinových ručiček, jinak záporné.

Nechť n 1 je index lomu média, ve kterém se šíří dopadající paprsek, a n 2 index lomu média, ve kterém se lomený paprsek šíří.

Zákony lomu jsou stanoveny následovně:

lomený paprsek, dopadající paprsek a normála (k dioptrii) jsou ve stejné rovině, rovině dopadu;
vztah spojující indexy lomu n 1 a n 2 každého z médií a úhly dopadu t Vstup 1 a refrakčních θ 2 , nazvaný Snell-Descartes vztah, je psáno:

ne1hřích⁡θ1=ne2hřích⁡θ2{\ displaystyle n_ {1} \, \ sin \ theta _ {1} = n_ {2} \, \ sin \ theta _ {2}} ${\ displaystyle n_ {1} \, \ sin \ theta _ {1} = n_ {2} \, \ sin \ theta _ {2}}$

Pro n 1 > n 2 (respektive n 1 < n 2 ) se lomený (nebo dopadající) paprsek blíží dioptrii rychleji než dopadající (nebo lomený) paprsek. Když je lomený (nebo dopadající) paprsek matematicky nalezen na dioptrii (jeho limitu), dojde k úplnému odrazu .

Empirické zákony odrazu a lomu lze interpretovat různými modely: Huygensův vlnový model (Huygensův princip ), Fermatův nejméně akční model (Fermatův princip ), Maxwellův model elektromagnetických vln .

Snell-Descartovy zákony se také používají v ultrazvukovém odrazu.

Zákony Snell-Descartes a Galileova relativita

Zákony Snell-Descartes jsou ve skutečnosti důsledkem, přímým, ale nikoli triviálním, principu relativity Galileo , to znamená neměnnosti zákonů fyziky během překladu v prostoru nebo v čase.

Demonstrace

Nechť je na monochromatické rovinnou vlnu (které v komplexní formě ), a na vlně přenášeného skrz (nebo také odráží na) nekonečné roviny P oddělující dvě lineární a homogenní média. Zákony předepisující přenášenou vlnu a odraženou vlnu musí být neměnné během časového ( ) a prostorového ( ) překladu , kde jsou rovnoběžné s P (aby rovina zůstala neměnná). Pak se násobí a o . Invariance fyzikálních zákonů během časoprostorového překladu ukládá, že se tedy nemění, že bez ohledu na překlad: ${\ displaystyle \ psi _ {0} = A_ {0} \ exp \ left [\ mathrm {i} \, ({\ vec {k}} _ {0} \ cdot {\ vec {r}} - \ omega _ {0} t) \ vpravo]}$ ${\ displaystyle \ psi = A \ exp \ left [\ mathrm {i} \, ({\ vec {k}} \ cdot {\ vec {r}} - \ omega t + \ varphi) \ right]}$ ${\ displaystyle t \ rightarrow t- \ tau}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}} \ rightarrow {\ vec {r}} - {\ vec {a}}}$ ${\ vec a}$ ${\ displaystyle \ psi _ {0}}$ ${\ displaystyle C_ {0} = \ exp [\ mathrm {i} \, (\ omega _ {0} \ tau - {\ vec {k}} _ {0} \ cdot {\ vec {a}})] }$ $\ psi$ ${\ displaystyle C = \ exp [\ mathrm {i} \, (\ omega \ tau - {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {a}})]}$ ${\ displaystyle A / {A_ {0}}}$ $C = C_ {0}$

${\ displaystyle \ omega = \ omega _ {0}}$ , přenos a odraz šetří frekvenci ;
${\ displaystyle {\ vec {k}} _ {\ paralelní} = {\ vec {k}} _ {0 \ paralelní}}$ (projekce roviny a na rovinu), ze kterých lze snadno odvodit, že roviny lomu a odrazu (definované a a složka kolmé k rovině) se shodují s rovinou dopadu (definovanou a ); ${\ vec k}$ ${\ displaystyle {\ vec {k}} _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ vec {k}} _ {\ paralelní}}$ ${\ displaystyle {\ vec {k}} _ {\ perp}}$ ${\ vec k}$ ${\ displaystyle {\ vec {k}} _ {0 \ paralelní}}$ ${\ displaystyle {\ vec {k}} _ {0 \ perp}}$
${\ displaystyle {\ frac {\ sin \ theta} {c}} = {\ frac {\ sin \ theta _ {0}} {c_ {0}}}}$ kde a jsou v tomto pořadí úhel dopadu a rychlost vln v první médium, a a je úhel lomu a rychlost druhého média (nebo úhel odrazu a rychlost prvního média); tento vztah vyplývá ze vztahu vazby a (nebo a ) : (a jednoduchou geometrií ). $\ theta _ {0}$ $c_ {0}$ $\ theta$ $vs.$ ${\ displaystyle \ | {\ vec {k}} \ |}$ $vs.$ ${\ displaystyle \ | {\ vec {k}} _ {0} \ |}$ $c_ {0}$ ${\ displaystyle c \ | {\ vec {k}} \ | = \ omega = \ omega _ {0} = c_ {0} \ | {\ vec {k}} _ {0} \ |}$ ${\ displaystyle \ | {\ vec {k}} \ | \ sin \ theta = \ | {\ vec {k}} _ {\ paralelní} \ | = \ | {\ vec {k}} _ {0 \ paralelní } \ | = \ | {\ vec {k}} _ {0} \ | \ sin \ theta _ {0}}$

Tyto vztahy (a zejména třetí) zůstávají platné, když existuje několik odražených a přenášených vln (případ seismických vln ), když jsou média anizotropní , a dokonce i když je přenášená vlna evanescentní ( „totální“ odraz , čistě imaginární ). ${\ displaystyle k _ {\ perp}}$

Vektorová forma zákonů Snell-Descartes

Vektorová forma umožňuje vyjádřit směrové vektory odraženého a lomeného paprsku od směrového vektoru dopadajícího paprsku. Výsledek je stejný jako u skalárních tvarů , ale jako vektory místo úhlů.

Vzhledem k směrujícímu vektoru dopadajícího paprsku (vycházejícího ze světelného zdroje a ve směru dioptrie) a kolmému vektoru k dopadající rovině máme: ${\ displaystyle {\ vec {I}}}$ ${\ vec {n}}$

{\ displaystyle \ cos \ theta _ {1} = {\ vec {n}} \ cdot (- {\ vec {I}})}

{\ displaystyle \ cos \ theta _ {2} = {\ sqrt {1- \ vlevo ({\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ vpravo) ^ {2} \ vlevo (1- \ cos ^ {2} \ theta _ {1} \ vpravo)}}}

{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {\ mathrm {r {\ akutní {e}} fl {\ akutní {e}} chi}} = {\ vec {I}} + \ doleva (2 \, \ cos \ theta _ {1} \ right) {\ vec {n}}}

{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {\ mathrm {r {\ akutní {e}} zlomek {\ akutní {e}}}} = \ left ({\ frac {n_ {1}} {n_ {2 }}} \ vpravo) {\ vec {I}} + \ vlevo ({\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ cos \ theta _ {1} - \ cos \ theta _ {2} \ right) {\ vec {n}}}

Poznámka: musí být pozitivní. V opačném případě musíte použít: ${\ displaystyle {\ vec {n}} \ cdot (- {\ vec {I}})}$

{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {\ mathrm {r {\ akutní {e}} zlomek {\ akutní {e}}}} = \ left ({\ frac {n_ {1}} {n_ {2 }}} \ right) {\ vec {I}} + \ left ({\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ cos \ theta _ {1} + \ cos \ theta _ {2} \ right) {\ vec {n}}.}

Úplný odraz nastane, když radicand vzorce pro cos ( θ 2 ) je negativní.

Zobecnění zákonů odrazu a lomu

v října 2011, skupina mezinárodních vědců pracujících na Harvardově univerzitě ve Spojených státech zobecnila zákony odrazu a lomu. Myšlenka spočívá v úpravě rozhraní oddělujícího dvě média tak, aby se zavedl fázový posun na světelném paprsku, který již není jednotný, ale který závisí na prostoru. Za tímto účelem ozdobili rozhraní maticí plazmonických antén nanoskopické velikosti, které umožňují zavedení konstantního fázového gradientu podél rozhraní.

Nové zákony odrazu a lomu se získají zvážením Fermatova principu s přihlédnutím k tomuto fázovému gradientu. Velikost použitých plazmonických antén je mnohem menší než vlnová délka světla, fázový gradient se zavádí náhle při přechodu přes rozhraní, čímž se odděluje fáze nahromaděná během šíření a skákání. Fáze zavedená nanostrukturami.

Zobecněný zákon lomu je poté uveden následovně:

{\ displaystyle n_ {2} \, \ sin \ theta _ {2} -n_ {1} \, \ sin \ theta _ {1} = {\ frac {\ lambda} {2 \, \ pi}} \; {\ frac {\ mathrm {d} \ phi} {\ mathrm {d} x}}}

nebo:

${\ textstyle {\ frac {\ mathrm {d} \ phi} {\ mathrm {d} x}}}$ představuje fázový gradient náhle zavedený na rozhraní.

Zobecněný zákon reflexe se uvádí:

{\ displaystyle \ sin \ theta _ {r} - \ sin \ theta _ {i} = {\ frac {\ lambda} {2 \, \ pi \, n_ {i}}} \; {\ frac {\ mathrm {d} \ phi} {\ mathrm {d} x}}}

nebo:

θ i je úhel dopadu;
θ r je úhel odrazu.

Zákon odrazu je překvapivý: úhel odrazu se již nemusí nutně rovnat úhlu dopadu.

Vizualizace Snellova-Descartova zákona: povrch pomalosti

Říkáme vektoru pomalosti, vektoru nesenému směrem šíření vlny a modulu rovného inverzní rychlosti jeho fázové rychlosti v tomto směru. Povrchy pomalosti jsou lokusem konce tohoto vektoru pro všechny směry šíření vln.

Podle definice je povrch zpomalení místem konců vektoru zpomalení , nakresleným z pevného bodu O, když se směr šíření mění. ${\ displaystyle {\ displaystyle {\ vec {m}}}}$ ${\ displaystyle {\ displaystyle {\ vec {n}}}}$

Vektor pomalosti:

{\ displaystyle {\ vec {m}} = {\ frac {\ vec {n}} {V}}}

Směr šíření vln lze určit graficky z povrchů pomalosti. Snell-Descartovy zákony skutečně odpovídají zachování projekce na rozhraní pomalých vektorů všech vln (dopadajících, odražených a přenášených), jak je znázorněno na opačném obrázku.

Izotropní médium

V izotropních médiích (pevných nebo kapalných), přičemž rychlost vlny je stejná bez ohledu na směr, povrchy pomalosti jsou koule; kruhy v rovině dopadu (jedna pro podélné vlny a větší pro příčné vlny ).

Anizotropní médium

U anizotropního média se povrchy pomalosti odchylují od čistě sférického zobrazení vztahujícího se k izotropním tělesům. Řez v rovině povrchů pomalosti pro anizotropní materiál je uveden na opačném obrázku.

Poznámky a odkazy

(in) A. Kwan, JM Dudley, E. Lantz, „Who really Discovered Snell's law?“, Physics World 15 (2002): 64-84. and Roshdi Rashed , Geometry and Dioptrics in Classical Islam (London: al-Furqan, 2005), XIII-1178-VI p., ( ISBN 1 873992 99 8 )
(en) Gorden Videen „Whose Law of Refraction?“, Optics and Photonics News, publikoval OSA http://www.osa-opn.org/print.aspx?path=%2FArchives%2F0508% 2Fdepartments% 2Fviewpoint.aspx
R. Rashed, „ Model transparentní koule a vysvětlení duhové oblohy: Ibn al-Haytham - Farisi ,“ History of Science Journal and applications , no bones 23-2,1970, str. 109-140 ( číst online ).
B. Maitte Historie duhy. Paris: Seuil, Open Science, 2005
J.-P. Maury Na počátku vědeckého výzkumu: Mersenne. Paris: Vuibert, 2003
B. Rochot Vědecká korespondence otce Mersenna . Paris: Palace of Discovery, 1966.
P. Costabel Originální přístupy naučeného Descarta. Paris: Vrin, 1982.
Jean-Pierre Provost a Gérard Vallée, Matematika z fyziky: Fyzika filtrem matematiky , Paříž, Éditions Dunod , kol. "Sup Sciences",Březen 2004, 1 st ed. , 331 s. ( ISBN 2-10-004652-7 ) , str. 82-83.
(in) Andrew S. Glassner , An Introduction to Ray Tracing , Morgan Kaufmann,1989, 327 s. ( ISBN 0-12-286160-4 , číst online )
Nanfang Yu, Patrice Genevet Michail Kats, Francesco Aieta, Jean-Philippe Tetienne, Federico Capasso, Zeno Gaburro, šíření světla s fáze nespojitosti: Generalized zákony lomu a odrazu , Science, 334, 333, 2011.
„ Šíření a nedestruktivní testování pevných látek ACO3 “
" PARVIZ NAVI: Akustické vlastnosti materiálů: Šíření harmonických rovinných vln. "