Jacobian matrix

V vektorové analýzy je Jacobian matice je matice z prvního řádu parciální derivace jednoho vektorové funkce v daném bodě. Jeho název pochází od matematika Charlese Jacobiho . Determinant této matice, nazvaný Jakobián , hraje důležitou roli při integraci tím, substituce a při řešení nelineárních problémů .

Definice

Nechť $F je$ funkcí jako otevřený soubor z $ℝ n$ s hodnotami v $ℝ m$ . Taková funkce je definována jejími $m$ složkovými funkcemi se skutečnými hodnotami:

{\ displaystyle F: {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\\ vdots \\ x_ {n} \ end {pmatrix}} \ longmapsto {\ begin {pmatrix} f_ {1} (x_ {1}, \ tečky, x_ {n}) \\\ vdots \\ f_ {m} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) \ end {pmatrix}}}

Částečné derivace těchto funkcí v bodě $M$ , pokud existují, lze uložit do matice s $m$ řádky $an$ sloupců, která se nazývá Jacobianova matice $F$ :

J_ {F} \ left (M \ right) = {\ begin {pmatrix} {\ dfrac {\ částečné f_ {1}} {\ částečné x_ {1}}} & \ cdots & {\ dfrac {\ částečné f_ { 1}} {\ částečné x_ {n}}} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ dfrac {\ částečné f_ {m}} {\ částečné x_ {1}}} & \ cdots & {\ dfrac {\ částečné f_ {m}} {\ částečné x_ {n}}} \ konec {pmatrix}}.

Pole na řádku i a sloupci j obsahuje, což je parciální derivace f i podle proměnné x j . Tato matice je známá: ${\ displaystyle {\ frac {\ částečné f_ {i}} {\ částečné x_ {j}}}}$

{\ displaystyle J_ {F} \ levý (M \ pravý), \ qquad {\ frac {\ částečný \ levý (f_ {1}, \ ldots, f_ {m} \ pravý)} {\ částečný \ levý (x_ { 1}, \ ldots, x_ {n} \ right)}} \ qquad {\ text {or}} \ qquad {\ frac {\ mathrm {D} \ left (f_ {1}, \ ldots, f_ {m} \ right)} {\ mathrm {D} \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ right)}}}

Pro $i = 1,\dots, m$ je $i$ - tou řádkou této matice transpozice vektoru přechodu v bodě $M$ funkce $f i$ , pokud tato existuje. Jakobiánská matice je také maticí diferenciálu funkce, pokud existuje. Dokazujeme, že funkce $F$ je třídy $C 1 právě$ tehdy, když existují její parciální derivace a jsou spojité.

Příklad: Jakobiánská matice funkce

F

ℝ 3

ℝ 4

definovaná:

{\ displaystyle F \ left (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3} \ right) = \ left (x_ {1}, 5x_ {3}, 4x_ {2} ^ {2} -2x_ {3 }, x_ {3} \ sin x_ {1} \ vpravo)}

{\ displaystyle J_ {F} \ left (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3} \ right) = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 8x_ {2} & - 2 \\ x_ {3} \ cos x_ {1} & 0 & \ sin x_ {1} \ end {pmatrix}}}

Vlastnosti

Sloučenina $F \circ G$ z diferencovatelné funkce je diferencovatelná a jeho Jacobiho matice se získá ze vzorce:

{\ displaystyle J_ {F \ circ G} = {\ bigl (} J_ {F} \ circ G {\ bigr)} \ cdot J_ {G}}

zvláštní případ, což je derivát vzorec složený ze dvou reálných funkcí reálné proměnné , $f$ a $g$ :

{\ Displaystyle (f \ circ g) '(x) = (f' \ circle g) (x) \ krát g '(x)}

Jacobian determinant

Pokud $m = n$ , pak je jakobiánská matice $F$ čtvercová matice. Jeho determinant $det J F$ se nazývá Jacobian , nebo Jacobian , determinant . Říci, že jakobián je nenulový, tedy znamená říkat, že jakobiánská matice je invertibilní.

Funkce $F$ třídy $C 1$ je invertibilní v sousedství části $M$ s recipročním $F -1$ třídy $C, 1,$ tehdy a jen tehdy, pokud jeho Jacobian v $M$ je nenulová ( lokální inverze věta ). Jakobiánská matice $F - 1$ se poté odvodí z matice $F$ pomocí vzorce

{\ displaystyle J_ {F ^ {- 1}} = {\ bigl (} J_ {F} \ circ F ^ {- 1} {\ bigr)} ^ {- 1}}

Věta o změně proměnných ve více integrálech zahrnuje absolutní hodnotu jakobiána.

Věta - Nechť $U je$ otevřená množina $ℝ n$ , $F$ injekce třídy $C 1$ z $U$ do $ℝ n$ a $V = F ( U )$ .

Pokud $g$ je měřitelná funkce z $V$ v $[0, + \infty]$ , máme rovnost integrálů pro opatření Lebesgue na $ℝ n$ : ${\ displaystyle \ int _ {V} g (y_ {1}, \ ldots, y_ {n}) ~ \ mathrm {d} y_ {1} \ ldots \ mathrm {d} y_ {n} = \ int _ { U} g \ left (F \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ right) \ right) \ left | \ det J_ {F} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} ) \ right | ~ \ mathrm {d} x_ {1} \ ldots \ mathrm {d} x_ {n}}$ .
Pokud $g$ je integrovatelná funkce na $V$ s komplexními hodnotami potom $( g \circ F ) | det J F |$ je integrovatelný na $U$ a oba integrály se stále shodují.

Není nutné předpokládat, že $V$ je otevřené, ani že $F$ je homeomorfismus z $U$ nad $V$ : toto vyplývá z hypotéz podle věty o doménové invariance .

Nejprve dokážeme tuto větu, pokud je $F$ difeomorfismus (který podle věty o místní inverzi jednoduše znamená přidání hypotézy, že jakobián z $F$ nezmizí v žádném bodě $U$ ), pak se této hypotézy zbavíme díky Sardova věta .

Příklad

Změna polárních souřadnic je změnou proměnných $( x , y ) \to ( r , θ )$ definovaných následující aplikací:

{\ begin {array} {rcl} F: \ mathbb {R} _ {+} \ times [0,2 \ pi] & \ longrightarrow & \ mathbb {R} ^ {2} \\\ left (r, \ theta \ right) & \ longmapsto & \ left (r \ cos \ theta, r \ sin \ theta \ right). \ end {pole}}

Jakobiánská matice v bodě $( r , θ )$ je:

{\ displaystyle J_ {F} \ left (r, \ theta \ right) = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta & -r \ sin \ theta \\\ sin \ theta & r \ cos \ theta \\\ konec {pmatrix}}}

Jacobian průchodu v polárních souřadnicích je tedy:

{\ displaystyle r \ cos ^ {2} \ theta + r \ sin ^ {2} \ theta = r}

Pokud $g$ je integrovatelná funkce na otevřené $V$ části $ℝ 2$ , nastavením

{\ displaystyle U = F ^ {- 1} (V) = \ vlevo \ {(r, \ theta) \ v \ mathbb {R} _ {+} \ krát [0,2 \ pi] \ uprostřed \ vlevo ( r \ cos \ theta, r \ sin \ theta \ right) \ ve V \ right \}}

a aplikací výše uvedené věty ne přímo na $U$ a $V$ ( $F$ není injektivní a $U$ není otevřené v $ℝ 2$ ), ale na mezilehlé otvory

{\ displaystyle V '= V \ setminus (\ mathbb {R} ^ {+} \ krát \ {0 \}) \ quad {\ text {et}} \ quad U' = F ^ {- 1} (V ' ) = U \ cap (\ mathbb {R} _ {+} ^ {*} \ krát] 0,2 \ pi [)}

dostaneme (protože $U \ U '$ a $V \ V'$ jsou zanedbatelné ):

{\ Displaystyle \ iint _ {V} g \ left (x, y \ right) \, \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y = \ iint _ {U} g \ left (r \ cos \ theta, r \ sin \ theta \ right) r \, \ mathrm {d} r \ mathrm {d} \ theta}

Výklad

Jacobian matrix

Jacobská matice zasahuje do omezeného vývoje funkcí s několika proměnnými: v blízkosti bodu $M$ je lineární aproximace funkce $F$ dána vztahem:

{\ displaystyle F \ left (X \ right) \ přibližně F \ left (M \ right) + J_ {F} \ left (M \ right) {\ overrightarrow {MX}}}

Jacobian

Pokud je Jacobian kladný v bodě $M$ , je orientace prostoru udržována v blízkosti tohoto bodu. Naopak, orientace je obrácena, pokud je Jacobian záporný.

Pokud vezmeme v úvahu „malou“ doménu, objem obrazu této domény funkcí $F$ bude objem počáteční domény vynásobený absolutní hodnotou jakobiána.

aplikace

V mechanice kontinua je tenzor přetvoření pro malé kmeny (neboli Zelený tenzor) symetrickou částí jakobiánské matice vektoru posunutí každého bodu tělesa. V analytické mechanice víme, že transformace je kanonická právě tehdy, pokud její Jacobian patří do skupiny symplektiků .

Inverze produktu po sobě jdoucích jakobiánských matic je také užitečná pro stanovení šíření nejistot v experimentu. Například v případě tří senzorů poskytujících respektive tři pozorování, která jsou citlivá na tři měřené veličiny, inverze Jacobovy matice vztahu měřených veličin k pozorováním umožňuje určit nejistotu na každém z měřených veličin experimentálně s nejistotou na každém pozorování (experimentální hluk pozadí). Když jsou tři senzory zcela odděleny, v ideálním případě jsou Jacobovy matice diagonální a nedochází k dramatickému šíření nejistoty.

Poznámky a odkazy

Viz například François Laudenbach , Calculus diferenciální et integrale , Éditions École Polytechnique,2000, 214 s. ( ISBN 978-2-7302-0724-9 , číst online ) , s. 48, Příklad 1 a str. 51 , Návrh II.1.9 (a pro zobecnění funkcí třídy $C r$ , s. 53 ) nebo odstavce „Diferenciály funkcí od $R p$ do $R q$ “ a „Dostatečná podmínka diferencovatelnosti definované funkce na produktu “V kapitole o různorodosti na Wikiversity .
Laudenbach 2000 , s. 177-182.
Laudenbach 2000 , s. 184.

Podívejte se také

Hesenská matice