V matematice , přesněji v geometrii v prostoru se Descartes-Euler teorém , nebo Eulerova vztahu , uvádí matematický vzorec do mnohostěnu z rodu 0 , to znamená, že intuitivně mnohostěnu deformovatelné do koule . Spojuje několik z vrcholů , počet všech hran a počet a tváří v následujícím způsobem:
Věta byla formulována Leonhardem Eulerem v roce 1752 . Zdá se však, že Descartes se ukázal jako analogický vztah v pojednání, které nikdy nebylo publikováno. To je důvod, proč má tento vztah tento dvojitý název. Množství se nazývá Eulerova charakteristika . Descartes-Eulerova věta uvádí, že pro konvexní mnohostěn rodu 0 má hodnotu 2.
Lze přistoupit k ověření vlastnosti pro pět platonických těles :
Příjmení | Obrázek | s (počet vrcholů) | a (počet hran) | f (počet tváří) | s - a + f (charakteristika Eulera) |
---|---|---|---|---|---|
Čtyřstěn | 4 | 6 | 4 | 2 | |
Hexahedron nebo krychle | 8 | 12 | 6 | 2 | |
Osmistěn | 6 | 12 | 8 | 2 | |
Pravidelný dvanáctistěn | 20 | 30 | 12 | 2 | |
Dvacetistěnu | 12 | 30 | 20 | 2 |
Jakýkoli konvexní mnohostěn je rodu 0, a proto je ověřen Eulerův vztah.
Pokud mnohostěny nejsou rodu 0, nemůžeme použít Descartes-Eulerovu větu. Zde jsou protiklady, kde se Eulerova charakteristika s - a + f liší od 2:
Příjmení | Obrázek | s (počet vrcholů) | a (počet hran) | f (počet tváří) | s - a + f (charakteristika Eulera) |
---|---|---|---|---|---|
Tetrahemihexahedron | 6 | 12 | 7 | 1 | |
Octahemioctahedron | 12 | 24 | 12 | 0 | |
Cubohemioctahedron | 12 | 24 | 10 | -2 |
Zde předvedenou demonstraci přednesl Cauchy v roce 1811 .
Nechť je mnohostěn rodu 0, pokusíme se to dokázat v tomto. Odstranili jsme tvář z našeho mnohostěnu. Pohybem směrem ven po stranách této chybějící plochy jeden deformuje mnohostěn zploštěním a jeden získá rovinný graf, jehož uzly jsou vrcholy a oblouky jsou deformované hrany. Počet vrcholů, hran a ploch se ve srovnání s výchozím mnohostěnem nezměnil (vzhledem k tomu, že vše mimo náš graf představuje odstraněnou plochu).
Nyní pokaždé, když vidíme plochu s více než třemi stranami, nakreslíme úhlopříčku (to znamená segment spojující dva vrcholy, které nejsou přímo spojené). Tato operace přidá obličej a hranu do našeho grafu a nezmění počet vrcholů, takže výraz zůstane nezměněn. Tuto operaci opakujeme, dokud nebudeme mít pouze trojúhelníkové plochy.
V této fázi opakujeme následující dvě operace:
Opakováním předchozích dvou kroků, jeden po druhém, zbývá pouze jeden trojúhelník. Samotný tento trojúhelník má dvě tváře (vnitřní a vnější trojúhelník), tři hrany a tři vrcholy. Tedy , a tak se rovná 2. Tento termín se rovná výrazu původní, protože každý krok udržoval tento výraz stejný. Dospěli jsme k závěru, že náš výchozí mnohostěn výraz uspokojil . Vztah je tedy prokázán.
Můžeme snížit tento vztah k teselační vlastnosti koule pomocí následující zobrazovací techniky
Tato operace je ve skutečnosti centrální projekcí . Na kouli pak získáme „vrcholy“, obrazy vrcholů mnohostěnů, „hrany“, které jsou oblouky velkých kruhů, a části koulí ohraničených hranami, které jsou „ sférickými polygony “. Tuto konfiguraci můžeme kvalifikovat jako sférický mnohostěn .
Ukazuje se také, že pro takový obklad je vzorec ověřen. Jednou z možných metod je použití vlastností sférických trojúhelníků .
a Eulerův vztah není ověřen.
Na druhou stranu nahraďme některé šestiúhelníky tohoto nemožného překrytí pětiúhelníky . Pokud se počet tváří nemění, počet hran a vrcholů klesá: pro každý přidaný pětiúhelník máme (6 - 5) ÷ 2 hrany, to znamená o polovinu méně a (6 - 5) ÷ 3 vrcholy, to znamená o třetinu vrcholu méně; Rozdíl se tedy pokaždé zvětší, to znamená o šestinu. Aby byl Eulerův vztah respektován, je nutné, aby se zpočátku na 0 rovnal 2, a proto se zvýšil o 12 ÷ 6. Stručně řečeno, 12 šestiúhelníků musí být nahrazeno tolika pětiúhelníky. Počet vrcholů s je pak 2 f - 4 a počet okrajů a je 3 f - 6. Takto se setkáváme se zkráceným icosahedronem (fotbalovým míčem nebo fullerenem ). Extrémním případem je případ pravidelného dvanáctistěnu ( f = 12), kde již není žádný šestiúhelník. Na obrázku níže (kde f = 344 ploch) jsou viditelné čtyři z dvanácti pětiúhelníků.
Descartes ve své nepublikované práci uvádí následující větu :
„Když vezmeme pravý úhel pro jednotku, součet úhlů všech ploch konvexního mnohostěnu se rovná čtyřnásobku počtu vrcholů zmenšených o 2.“
Aspekt věty se zdá velmi vzdálený Eulerovu vztahu. Je to však důsledně rovnocenné a Descartes v aplikacích, které z něj dělá, přechází zcela přirozeně z této formy na Eulerovu.
Důkaz rovnocennosti :
Musíme použít vlastnost součtu úhlů konvexního polygonu: pokud má konvexní polygon strany, součet úhlů se rovná pravici. Součet všech úhlů na všech tvářích je tedy správný (součet čísel stran každé tváře dává dvojnásobný počet hran). Descartova rovnost je tedy napsána jinými slovyHenri Poincaré v roce 1893 prokázal, že Eulerův vztah se zobecnil na jakýkoli n - konvexní polytop :
kde n je rozměr mnohostěnu a počet k - simplexy z n -polytope ( je počet vrcholů, počet hran, počet ploch, atd.).
Množství , pokud má hodnotu 2 v případě mnohostěnů rodu 0, může nabývat dalších hodnot v závislosti na povaze mnohostěnů a nazývá se Euler (nebo Euler-Poincaré) charakteristika pevné látky. Tato vlastnost je číslo, které lze přirozeně připojit k povrchům . Je to například 2 pro kouli. Jedná se o topologický invariant , to znamená, že všechny odrůdy homeomorfní pro kouli mají stejnou charakteristiku. Konvexita je v konečném důsledku pouze konkrétní hypotézou, která zajišťuje, že takový homeomorfismus skutečně existuje.
Tato věta, a přesněji reflexe, na němž jsou mnohostěn, které splňují rovnost s - a + f = 2 , je příklad vzít v celé práci Důkazy a argumenty (en) : esej na logice matematického objevu tohoto epistemologist Imre Lakatos , vystavující tímto způsobem svou matematickou heuristiku .
Tato kniha není zamýšlena jako historické dílo o skutečných podmínkách objevu této věty, ale odhaluje, jak by třída ideálních studentů vedená učitelem mohla pokusem a omylem a kolektivní diskusí dokázat formulovat tuto větu při pozorování, že některé mnohostěny vztah neuspokojují.
(en) Jean-François Dufourd, „ Věta o mnohostěnech rodu a Eulerův vzorec: Hypermapa formalizovaný intuicionistický důkaz “ , TCS , sv. 403, n kostí 2-3,2008, str. 133-159 ( DOI 10.1016 / j.tcs.2008.02.012 )
(en) David Eppstein , „ Twenty Proofs of Euler's Formula: V-E + F = 2 “ , na The Geometry Junkyard
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">