Věta o prvočísle

V matematice , a přesněji v analytické teorie čísel je prvočíslo věta , nezávisle prokázáno Hadamard a La Vallée Poussin v roce 1896, je výsledkem o asymptotické distribuci z prvočísel .

Státy

Věta  -  Pro skutečné x je číslo π ( x ) z prvních čísel méně než nebo rovné x , je ekvivalentní , pokud x má tendenci + ∞ , kvocient x podle jeho přirozeného logaritmu . Je

π(X)∼Xln⁡(X) (X→+∞),{\ displaystyle \ pi (x) \ sim {\ frac {x} {\ ln (x)}} \ (x \ až + \ infty),}

to znamená

limX→+∞π(X)ln⁡(X)X=1.{\ displaystyle \ lim _ {x \ až + \ infty} \ pi (x) {\ frac {\ ln (x)} {x}} = 1.}

Ekvivalentní prohlášení

Věta o prvočísle je ekvivalentní, když tedy následující asymptotické chování pro n - té prvočíslo  : π(X)ln⁡(π(X))∼X{\ displaystyle \ pi (x) \ ln (\ pi (x)) \ sim x}X→∞{\ displaystyle x \ rightarrow \ infty}pne{\ displaystyle p_ {n}}

pne∼neln⁡(ne){\ Displaystyle p_ {n} \ sim n \ ln (n)}.

Je to také ekvivalent k

θ(X)∼X(X→∞){\ Displaystyle \ theta (x) \ sim x \ quad (x \ rightarrow \ infty)}

a do

ψ(X)∼X(X→∞){\ Displaystyle \ psi (x) \ sim x \ quad (x \ rightarrow \ infty)},

protože každá ze dvou Čebyševových funkcí a , kde označuje množinu prvočísel, je asymptoticky ekvivalentní kdy . θ(X): =∑p∈P, p≤Xln⁡p{\ displaystyle \ theta (x): = \ součet _ {p \ in \ mathbb {P}, ~ p \ leq x} \ ln p \ quad}ψ(X): =∑p∈P, k∈NE∗, pk≤Xln⁡p{\ displaystyle \ quad \ psi (x): = \ součet _ {p \ in \ mathbb {P}, ~ k \ in \ mathbb {N} ^ {*}, ~ p ^ {k} \ leq x} \ jsem v}P{\ displaystyle \ mathbb {P}}π(X)ln⁡X{\ displaystyle \ pi (x) \ ln x}X→∞{\ displaystyle x \ rightarrow \ infty}

Věta o prvočísle je také v určitém smyslu ekvivalentní tvrzení, že funkce Riemannova zeta nezmizí na úsečce reálné části 1:

∀t∈Rζ(1+it)≠0{\ displaystyle \ forall t \ in \ mathbb {R} \ quad \ zeta (1+ \ mathrm {i} t) \ neq 0}.

Asymptotické aproximace

Podstatně lepší approximant z n ( x ) než x / ln ( x ) je integrální logaritmus funkce Li ( x ) nebo její varianta je logaritmická integrální odchylka funkce Li ( x )  :

π(X)∼li(X)∼Li(X){\ displaystyle \ pi (x) \ sim {\ rm {li}} (x) \ sim {\ rm {Li}} (x)}

nebo

li(X)=∫0Xdtln⁡(t) a Li(X)=li(X)-li(2)=∫2Xdtln⁡(t).{\ displaystyle {\ rm {li}} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ ln (t)}} {\ text {a}} \ mathrm {Li} (x) = \ mathrm {li} (x) - \ mathrm {li} (2) = \ int _ {2} ^ {x} {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ ln (t)}}.}

Odhady chyby těchto aproximací naleznete níže v části Historie a příklady číselných odhadů .

Dějiny

Věta o prvočísle byla na okraji logaritmické tabulky domněnkou Gaussem v letech 1792 nebo 1793, když mu bylo pouhých 15 nebo 16 let (podle jeho pozdějších tvrzení), a Adrien-Marie Legendre (návrh v I. roce VI . republikánský kalendář , tj. 1797-1798, přesná domněnka z roku 1808).

Ruský Pafnouti Čebyšev v roce 1851 stanovil, že pokud je x dostatečně velké, π ( x ) je mezi 0,92129 x / ln ( x ) a 1,10556 x / ln ( x ).

Věta byla nakonec nezávisle na sobě dokázána Hadamardem a La Vallée Poussin v roce 1896 pomocí metod komplexní analýzy , zejména pomocí funkce ζ Riemann .

V roce 1899 La Vallée Poussin vylepšil svůj výsledek tím, že ukázal, že (s O notací Landau )

π(X)=li(X)+Ó(Xexp⁡(-ln⁡X2PROTI)){\ displaystyle \ pi (x) = {\ rm {li}} (x) + O \ left (x \ exp \ left (- {\ sqrt {\ frac {\ ln x} {2V}}} \ right) \ že jo)}

pro některé konstantní V . Landau (v roce 1909) poté mnoho dalších pracovalo na snížení přípustné velikosti této konstanty V , metodou, při které V měří extrémní vlastnost určité třídy trigonometrických polynomů . Víme, že V = 34,5036 je vhodný. Problém stanovení této metody nejmenší možné hodnoty V je známý pod názvem „Landauův extrémní problém“. Samo o sobě je zajímavým předmětem výzkumu, nezávisle na jeho aplikaci na odhad La Vallée Poussin. Která aplikace se stala čistě neoficiální, protože máme odhad Vinogradov-Korobov-Richert (viz níže), který je mnohem lepší a který zejména znamená, že můžeme v La Vallée Poussin nahradit V tak malým počtem, kolik chcete.

Na rozdíl od toho, co mohou naznačovat numerické experimenty , li ( x ) není vždy větší než π ( x ). Anglický matematik John Littlewood již v roce 1914 prokázal, že existují xs, u nichž je tato nerovnost obrácena.

Kvůli vztahu mezi funkcí ζ a funkcí π má Riemannova hypotéza značný význam v teorii čísel  : pokud by se dokázala, vytvořila by mnohem lepší odhad chyby vyskytující se ve větě čísel . Prvočísla.

Helge von Koch v roce 1901 ukázal přesněji:

Riemannova hypotéza zahrnuje odhad π(X)=li(X)+Ó(Xln⁡X).{\ displaystyle \ pi (x) = {\ rm {li}} (x) + O \ left ({\ sqrt {x}} \ ln x \ right).}

(Tento druhý odhad je ve skutečnosti ekvivalentní Riemannově hypotéze). K takovému přesnému posouzení máme ještě daleko. Na druhou stranu víme, že jakékoli zlepšení oblasti bez nuly funkce ζ de facto zlepšuje chybový člen věty o prvočísle. Nejlépe známou oblast nula-nula v roce 1958 získali Korobov a Vinogradov .

[Tato oblast byla příliš „optimistická“ a nikdy nebyla důsledně stanovena ani Vinogradovem, ani Korobovem ani nikým jiným. Nakonec jej v roce 1967 nahradil menší region (ale prokázaný důkazem) Hans-Egon Richert  (v) ].

Oblast Richert znamená následující výsledek:

π(X)=li(X)+Ó(Xexp⁡(-vs.(ln⁡X)3/5(ln⁡ln⁡X)-1/5)),{\ displaystyle \ pi (x) = {\ rm {li}} (x) + O \ left (x \ exp \ left (-c (\ ln x) ^ {3/5} (\ ln \ ln x) ^ {- 1/5} \ vpravo) \ vpravo),}

kde c > 0 je absolutní konstanta.

Pokud jde o explicitní přirážky , spomeňme práci Rossera a Schoenfelda  (en) (1962, 1975, 1976), poté práce Dusarta (1998). Pomocí stále výkonnějších počítačů byli tito vědci schopni určit stále více a více než triviální nuly funkce ζ na kritické linii. Tato lepší znalost znamená dobré odhady obvyklých funkcí prvočísel, s Riemannovou hypotézou nebo bez ní. Schoenfeld tak mohl založit:

pokud je Riemannova hypotéza pravdivá, pak ∀X≥2657,|π(X)-li(X)|<18πXln⁡X{\ displaystyle \ forall x \ geq 2657, \ quad | \ pi (x) - {\ rm {li}} (x) | <{\ frac {1} {8 \ pi}} {\ sqrt {x}} \ ln x}

zatímco Dusart to bezpodmínečně prokázal

∀X≥59,|π(X)-Li(X)|<2K.X(ln⁡X)3/4exp⁡(-ln⁡XR),{\ displaystyle \ forall x \ geq 59, \ quad \ left | \ pi (x) - {\ rm {Li (x)}} \ right | <2K {\ frac {x} {(\ ln x) ^ { 3/4}}} \ exp \ left (- {\ sqrt {\ frac {\ ln x} {R}}} \ right),}nebo

R≈9,645908801 a K.=8/(17π)R1/4≈0,2196.{\ displaystyle R \ přibližně 9,645908801 {\ text {et}} K = {\ frac {\ sqrt {8 / (17 \ pi)}} {R ^ {1/4}}} \ přibližně 0,2196.}

Pokud jde o součty mocnin prvočísel, jednoduchý součet Ábela přináší z věty o prvočíslech

∀α>-1,∑p<Xpα∼Xα+1(α+1)ln⁡X∼li(Xα+1){\ displaystyle \ forall \ alpha> -1, \ quad \ sum _ {p <x} p ^ {\ alpha} \ sim {\ frac {x ^ {\ alpha +1}} {(\ alpha +1) \ ln x}} \ sim {\ rm {li}} (x ^ {\ alpha +1})}.

Případ α = 0 této ekvivalence je samozřejmě věta o prvočísle; Pokud α = 1 se zpracuje Edmund Landau v roce 1909. V případě α = -1 , pro které neplatí ekvivalence, je dána druhá věta Mertens  : . ∑p<X1p=ln⁡ln⁡X+M+Ó(1/ln⁡X){\ displaystyle \ sum _ {p <x} {\ frac {1} {p}} = \ ln \ ln x + M + O (1 / \ ln x)}

Draft proof

Začneme psaním rovnosti mezi produktem Euler a Weierstrassovou faktorizací funkce zeta:

ζ(s)=∏p∈P 11-p-s=Ena+bss-1∏ρ∈Z(1-sρ)Esρ{\ displaystyle \ zeta (s) = \ prod _ {p \ in \ mathbb {P}} \ {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}} = {\ frac {e ^ {a + bs}} {s-1}} \ prod _ {\ rho \ in Z} \ left (1 - {\ frac {s} {\ rho}} \ right) e ^ {\ frac {s} {\ rho} }}

se s reálné části striktně větší než 1, Z množina nul (triviální a netriviální) zeta a a , b konstanty. Potom vezmeme logaritmickou derivaci:

ζ′(s)ζ(s)=-∑p∈Pp-s1-p-sln⁡p=b-1s-1+∑ρ∈Zsρ(s-ρ){\ displaystyle {\ frac {\ zeta '(s)} {\ zeta (s)}} = - \ součet _ {p \ in \ mathbb {P}} {\ frac {p ^ {- s}} {1 -p ^ {- s}}} \ ln p = b - {\ frac {1} {s-1}} + \ sum _ {\ rho \ in Z} {\ frac {s} {\ rho (s- \ rho)}}}

Skrz celou složitou sérii pro | z | <1, přijde . Vidíme to také , což dává z1-z=∑ne=1∞zne{\ displaystyle {\ frac {z} {1-z}} = \ součet _ {n = 1} ^ {\ infty} z ^ {n}}∑p∈Pp-s1-p-sln⁡p=∑p∈P,ne≥1p-nesln⁡p{\ displaystyle \ sum _ {p \ in \ mathbb {P}} {\ frac {p ^ {- s}} {1-p ^ {- s}}} \ ln p = \ sum _ {p \ in \ mathbb {P}, \; n \ geq 1} p ^ {- ns} \ ln p}b+1=ζ′(0)/ζ(0)=ln⁡2π{\ Displaystyle b + 1 = \ zeta '(0) / \ zeta (0) = \ ln 2 \ pi}

∑p∈P,ne≥1p-nesln⁡p=-ln⁡2π+ss-1-∑ρ∈Zsρ(s-ρ){\ displaystyle \ sum _ {p \ in \ mathbb {P}, \; n \ geq 1} p ^ {- ns} \ ln p = - \ ln 2 \ pi + {\ frac {s} {s-1 }} - \ sum _ {\ rho \ in Z} {\ frac {s} {\ rho (s- \ rho)}}}

pro Re (s)> 1. Chceme nyní integrovat tuto rovnost proti funkci x s / s (s pevnou konstantou x ). Integrační obrys je pravoúhlý obdélník {Re (s) = σ} s σ> 1, který se táhne do nekonečna svisle a doleva. Po výpočtech pomocí věty o zbytku získáme Riemannov  slavný explicitní vzorec (en) , pro x > 0 ne mocninu prvočísla:

∑p∈P,m≥1,pm<Xln⁡p=X-∑ρXρρ-ln⁡2π-12ln⁡(1-1X2){\ displaystyle \ sum _ {p \ in \ mathbb {P}, \; m \ geq 1, \; p ^ {m} <x} \ ln p = x- \ sum _ {\ rho} {\ frac { x ^ {\ rho}} {\ rho}} - \ ln 2 \ pi - {\ frac {1} {2}} \ ln \ left (1 - {\ frac {1} {x ^ {2}}} \ že jo)}

s touto dobou ρ zametá pouze netriviální nuly zeta (trivialy byly seskupeny v posledním termínu). Vlevo rozeznáváme Čebyševovu funkci ψ ( x ), asymptoticky ekvivalentní π ( x ) ln ( x ) . Věta o prvočísle je tedy téměř prokázána, protože vpravo vidíme očekávaný člen x . Posledním bodem, který je třeba ukázat, je, že ostatní pravé výrazy jsou před x zanedbatelné , jinými slovy, že neexistuje nula ρ, jejíž skutečná část je 1. Tento bod prokázali Hadamard a La Vallée Poussin.

Co se stalo s „hloubkou“

Je dohodnuto rozlišovat několik typů matematických důkazů podle stupně propracovanosti matematických teorií, na které se člověk odvolává; věta o prvočísle poskytuje prototyp tohoto druhu uvažování.

Na počátku XX .  Století se věřilo dlouho, zejména Godfrey Hardy , že jakákoli demonstrace věty prvočísel nevyhnutelně musí apelovat na složité věty o analýze; což by se navíc mohlo zdát frustrující pro tvrzení, které se zdálo, že se týká primárně celých čísel (ačkoli vyžaduje racionální čísla, dokonce i reálná čísla, aby bylo možné je uvést). Byla to tedy výzva pro matematiky, kteří se snažili najít demonstraci elementární  (ne) této věty -  elementární neochotní říkat jednoduché ani nenápadné, ale jen v nejmenším možném případě použít externí metody k aritmetice v našem případě - nebo přesně pochopit, proč určité výroky jsou přístupné pouze s pokročilejšími metodami, než by se dalo očekávat. Hardy proto hovořil o „hloubce“ vět a věřil, že věta o prvočísle byla jedním z tvrzení, jejichž „hloubka“ je zpřístupnila pouze pomocí komplexní analýzy.

Prvním porušením této koncepce bylo objevení důkazu založeného pouze na Wienerově Tauberianově teorému  ; ale nebylo jasné, že by nebylo možné této větě přiřadit „hloubku“ ekvivalentní větám vyplývajícím z komplexní analýzy.

Debata byla urovnána v roce 1949, kdy Paul Erdős a Atle Selberg poskytli nepopiratelně základní důkaz věty o prvočísle. Bez ohledu na hodnotu pojmu „hloubka“ věta o prvočísle nevyžadovala komplexní analýzu. Obecněji řečeno, objev těchto elementárních demonstrací vyvolal obnovený zájem o metody sít , které si tak našly své místo v aritmetice.

Navzdory „základní“ povaze této demonstrace zůstala složitá a často považována za umělou; v roce 1980, Donald J. Newman  (ne) objevil elegantní aplikaci tauberiánské věty umožňující (po nových zjednodušeních) poskytnout velmi krátký důkaz s použitím více než věty o zbytku  ; Don Zagier poskytl v roce 1997 dvoustránkovou prezentaci ke stému výročí věty.

Aproximace n-tého prvočísla

Věta o prvočísle říká, že posloupnost prvočísel ,, splňuje: (pne)ne∈NE{\ displaystyle (p_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}

pnene∼ln⁡ne{\ displaystyle {\ frac {p_ {n}} {n}} \ sim \ ln n}.

Z výsledků La Vallée Poussin z roku 1899 odvodíme asymptotické expanze mnohem přesnější než tento ekvivalent. Například (s Landauova o zápisu ):

nepne=1ln⁡pne+1(ln⁡pne)2+2(ln⁡pne)3+6(ln⁡pne)4+Ó(1(ln⁡pne)4),{\ displaystyle {\ frac {n} {p_ {n}}} = {\ frac {1} {\ ln p_ {n}}} + {\ frac {1} {(\ ln p_ {n}) ^ { 2}}} + {\ frac {2} {(\ ln p_ {n}) ^ {3}}} + {\ frac {6} {(\ ln p_ {n}) ^ {4}}} + o \ left ({\ frac {1} {(\ ln p_ {n}) ^ {4}}} \ right),}

což umožňuje demonstrovat

pnene=ln⁡ne+ln⁡ln⁡ne-1+ln⁡ln⁡ne-2ln⁡ne-(ln⁡ln⁡ne)2-6ln⁡ln⁡ne+112(ln⁡ne)2+Ó(1(ln⁡ne)2).{\ displaystyle {\ frac {p_ {n}} {n}} = \ ln n + \ ln \ ln n-1 + {\ frac {\ ln \ ln n-2} {\ ln n}} - {\ frac {(\ ln \ ln n) ^ {2} -6 \ ln \ ln n + 11} {2 (\ ln n) ^ {2}}} + o \ left ({\ frac {1} {(\ ln n) ^ {2}}} \ vpravo).}

Tyto věta Rosserova ukazuje, že p n je větší než n ln  n . Byli jsme schopni tuto redukci vylepšit a získat rámec: ln⁡ne+ln⁡ln⁡ne-1<pnene<ln⁡ne+ln⁡ln⁡nepro ne≥6{\ displaystyle \ ln n + \ ln \ ln n-1 <{\ frac {p_ {n}} {n}} <\ ln n + \ ln \ ln n \ quad {\ text {pro}} n \ geq 6} a dokonce, pnene<ln⁡ne+ln⁡ln⁡ne-0,948pro ne≥40 000.{\ displaystyle {\ frac {p_ {n}} {n}} <\ ln n + \ ln \ ln n-0,948 \ quad {\ text {pro}} n \ geq 40 ~ 000.}

Příklady numerických odhadů

Zde je tabulka, která ukazuje srovnávací chování π ( x ) a jeho aproximací, x / ln ( x ) a li ( x ) a absolutní (v rozdílu) a relativní (v poměru) odchylky mezi těmito třemi funkcemi:

X	π ( x )	π ( x ) - x / ln ( x )	π ( x ) / ( x / ln ( x ))	li ( x ) - π ( x )	li ( x ) / π ( x )	x / π ( x )	ln (x)
10 0 = 1	0, protože 1 není prvočíslo	undefined, because ln (1) = 0	undefined because ln (1) = 0	- nekonečno	není definovaný	není definovaný	0
2 × 10 0 = 2	1 (první „2“)	–2	0,347	0	0	2 000	0,693
4 × 10 0 = 4	2 (první „2“ a „3“)	–1	0,693	1	1 500 000 000 000	2 000	1,386
10 1	4 („2“, „3“, „5“ a „7“)	–0	0,921	2	1 500 000 000 000	2 500	2,303
10 2	25	3	1.151	5	1 200 000 000 000	4 000	4,605
10 3	168	23	1.161	10	1,059 523 809 524	5,952	6,908
10 4	1229	143	1,132	17	1,013 832 384 052	8,137	9,210
10 5	9 592	906	1.104	38	1 003 961 634 696	10 430	11,513
10 6	78 498	6 116	1,084	130	1,001 656 093 149	12 740	13,816
10 7	664 579	44 159	1,071	339	1 000 510 097 370	15,050	16,118
10 8	5 761 455	332,774	1,061	754	1 000 130 869 720	17 360	18,421
10 9	50 847 534	2592 592	1,054	1701	1 000 033 452 950	19 670	20,723
10 10	455,052,511	20 758 029	1,048	3 104	1 000 006 821 191	21,980	23.026
10 11	4 118 054 813	169 923 159	1,043	11 588	1 000 002 813 950	24 280	25 328
10 12	37 607 912 018	1416 705 193	1,039	38 263	1 000 001 017 419	26 590	27,631
10 13	346065536839	11 992 858 452	1,034	108 971	1 000 000 314 885	28 900	29,934
10 14	3,204,941,750,802	102838308636	1,033	314 890	1 000 000 098 251	31,200	32 236
10 15	29 844 570 422 669	891 604 962 452	1,031	1 052 619	1 000 000 035 270	33 510	34 539
10 16	279 238 341 033 925	7 804 289 844 392	1,029	3214632	1 000 000 011 512	35,810	36,841
4 × 10 16	1 075 292 778 753 150	28 929 900 579 949	1,028	5,538,861	1 000 000 005 151	37200	38,228
10 17	2,623,557 157,654,233	68 883 734 693 281	1,027	7 956 589	1 000 000 003 033	38,116	39,144
10 18	24 739 954 287 740 860	612 483 070 893 536	1,025	21 949 555	1 000 000 000 887	40,420	41,447
10 19	234 057 667 276 344 607	5 481 624 169 369 960	1,024	99 877 775	1 000 000 000 427	42,725	43,749
10 20	2 220 819 602 560 918 840	49 347 193 044 659 701	1,023	222 744 644	1 000 000 000 100	45,028	46,052
10 21	21 127 269 486018 731928	446 579 871 578 168 707	1,022	597 394 254	1 000 000 000 028	47 332	48,354
10 22	201 467 286 689 315 906 290	4 060 704 006 019 620 994	1,021	1 932 355 208	1 000 000 000 010	49 636	50 657
10 23	1 925 320 391 606 803 968 923	37 083 513 766 578 631 309	1,020	7 250 186 216	1 000 000 000 004	51,939	52,959
OEIS	Následující A006880 z OEIS	Sledování A057835 z OEIS		Sledování A057752 z OEIS

Poznámky (indexy „i“ v těchto poznámkách odpovídají odkazům „Ti“ v tabulce):

1. V teorému prvočísel může „  x  “ představovat kladné reálné číslo; v této tabulce však byly pro zjednodušení obrázku vybrány příklady z celých čísel . Progrese příkladů byla zvolena exponenciální (s výjimkou 2 nd , 3 rd a 20 th  linky), které mají být upraven na logaritmické vývoji z prvočísel.
2. Výsledek „π ( x ) - x / ln ( x )“ se zaokrouhlí na celé číslo  ; „-“ v znak v 2 nd  čára znamená, že výsledek je mírně negativní (přibližně -0,3) před zaokrouhlením na 0 ° C.
3. Výpočet na 3 desetinná místa „π ( x ) / ( x / ln ( x ))“ byl proveden s přibližnou desetinnou hodnotou „  x / ln ( x )“ neuvedenou v této tabulce a bez použití druhý sloupec tabulky dává pouze celá část z „n ( x ) - x / ln ( x )“ proto „  x / ln ( x )“.
4. Výsledek „li ( x ) - π ( x )“ je zaokrouhlen na celou část.
5. Přibližné hodnoty "li ( x ) / n ( x )" jsou zaoblené (není zkrácen) na 12 th  desetinné místo; ale výpočet se provádí s hodnotou "li ( x )" zaokrouhlenou na celou část, protože pochází z předchozího sloupce. Pro přesnější výpočet je nutné použít tabulky "li ( x )", v tištěné podobě, jako je tato , nebo počítané na řádku, jako je tento .
6. Tento poměr „  x / π ( x )“ měří rostoucí ředění prvočísel menší než celé (nebo skutečné) číslo „  x  “, když se toto číslo zvyšuje.

Poznámky a odkazy

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku anglické Wikipedie s názvem „  Prime Number Theorem  “ ( viz seznam autorů ) .

1. viz (in) Tom M. Apostol , Úvod do teorie analytických čísel , Springer ,1976, 340  s. ( ISBN  978-0-387-90163-3 , číst online ) , s.  80, th. 4.5 nebo cvičení upravené pro lekci „Úvod do teorie čísel“ na Wikiversity .
2. GH Hardy a EM Wright ( přeloženo  z angličtiny F. Sauvageotem), Úvod do teorie čísel [„  Úvod do teorie čísel  “], Vuibert -Springer,2007, str.  11.
3. Gérald Tenenbaum a Michel Mendès Francie , The Prime Numbers , Que sais-je? 571, Paříž, PUF , 1997, s.  11 , uveďte variantu .ne∼pne/ln⁡(pne){\ displaystyle n \ sim p_ {n} / {\ ln (p_ {n})}}
4. Apostol 1976 , str.  79, tis. 4.4.
5. Hardy a Wright 2007 , s.  444, tis. 420.
6. (in) AE Ingham , Distribuce prvočísel , Cambridge University Press ,1932( číst online ) , s.  36-37.
7. Podle odhadu La Vallée Poussin z roku 1899 platí asymptotická expanze li ( x ) také pro π ( x ) , a to v jakémkoli pořadí. Ale x / ln x je pouze první termín.
8. Ve vědecké literatuře, zejména v anglosaské, je integrální logaritmická funkce li ( x ) velmi často uvedena Li ( x ) s velkým písmenem ( Bernhard Riemann , Helge von Koch , Hans Carl Friedrich von Mangoldt Edmund Landau atd.), takže tato poslední notace také označuje funkci integrální logaritmické odchylky. S notací přijatou v tomto článku máme Li (2) = 0, zatímco li (2) = 1,045 ...
9. (de) Dopis Gauss 1849 na Encke  : „  Die gütige Mittheilung Ihrer Bemerkungen über die Frequenz der Primzahlen ist mir mehr als v einer Beziehung interessant gewesen. Sie haben mir meine eigenen Beschäftigungen mit demselben Gegenstánde v Erinnerung gebracht, Deren erste Anfänge v eine sehr entfernte Zeit padl ins Jahr 1792 oder 1793, wo ich mir zemře Lambertschen Supplemente zu den Logarithmentafeln angeschafft hatte.  "
10. Edmund Landau . Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. Třetí vydání, Chelsea 1974, s. 11, 19 a 996. Viz také str. 95 pro variantu metody umožňující nahrazení konstanty 1.10556 hodnotou 1.08029.
11. Gilles Lachaud , "  Riemann hypotéza - Grál matematiků  ", Les Dossiers de La Recherche , n o  20,Srpna 2005, str.  26–35 ( číst online ), str.  30 .
12. (in) Szilard Revesz , „  O některých extrémních problémech Landau  “ , Serdica Math. J. , sv.  33,2007, str.  125-162 ( číst online ).
13. (in) Szilard Gy. Revesz, „  The Prime Number Theorem and Landau's Extremal Problems  “ (Seminář harmonické analýzy v přednáškách Rényiho institutu).
14. (in) VV Arestov a VP Kondrat'ev , „  Určitý extrémní problém pro nezáporné trigonometrické polynomy  “ , Matematické poznámky Akademie věd SSSR , sv.  47, n o  1,ledna 1990, str.  10-20 ( DOI  10.1007 / BF01157278 ).
15. Jean-Pierre Kahane , „  Číslo, toto neznámé  “ , Konference v Assises of Mathematics, Poitiers ,2. dubna 1999.
16. Viz článek „  Počet zkosení  “.
17. NF Helge von Koch. Pokud jde o distribuci prvočísel , Acta Mathematica 24 (1901), 159–182. Číst online: [1] .
18. (in) Lowell Schoenfeld , „  Ostřejší hranice pro Čebyševovy funkce θ ( x ) a ψ ( x ) . II  “ , Math. Comp. , sv.  30,1976, str.  337-360 ( číst online ).
19. Pierre Dusart , Doktorandská práce na univerzitě v Limoges, obhájená 26. května 1998, Theorème 1.12, s. Kolem funkce počítající prvočísla  38 .
20. (od) E. Landau, Handbuch der Lehre von der Verteiligung der Primzahlen ,1909( číst online ) , s.  226.
21. (in) P. Erdős, „  byla nová metoda v teorii elementárních čísel qui vede k elementárnímu důkazu věty o prvočísle  “ , PNAS , sv.  35,1949, str.  374-384 ( číst online ).
22. (in) A. Selberg, „  Elementární důkaz věty o prvočísle  “ , Ann. Matematika. , sv.  50, n O  21949, str.  305-313 ( JSTOR  1969455 ).
23. (in) Paul Pollack Ne vždy pohřben hluboko: Druhý kurz teorie základních čísel , AMS ,2009( číst online ) , kap.  7 („Elementární důkaz věty o prvočísle“) , s.  213-246.
24. (in) Dorian M. Goldfeld , „  Základní důkaz věty o prvočísle: historická perspektiva  “ ,2003.
25. Michèle Audin , „  Kurz speciálních funkcí  “ , IRMA ,2012, str.  64-69.
26. (in) Don Zagier, „  Newmanův krátký důkaz věty o prvočísle  “ , Amer. Matematika. Měsíc. , sv.  104, n o  8,1997, str.  705-708 ( číst online ).
27. Patrick Bourdon, „  Otázky čísel - Asymptotické chování prvočísel  “ ,17. října 2018.
28. Demonstrace Ernesta Cesàra , „  Na empirickém vzorci M. Pervouchina  “, Týdenní zprávy ze zasedání Akademie věd , sv.  119,1894, str.  848-849 ( číst online ), je založen na vývoji, který uvádí jako ukázku v roce 1893, ale bude jím pouze prostřednictvím následné práce La Vallée Poussina. Viz (in) Juan Arias de Reyna a Jérémy Toulisse, „  The n -th prime asymptotically  “, J. Théor. Numbers Bordeaux 25 (2013), č. 3, 521-555, arXiv : 1203,5413 .
29. (en) Pierre Dusart , "  k th Prime je větší než K (ln K + ln ln k - 1) pro k ≥ 2  " , Math. Comp. , sv.  68,1999, str.  411-415 ( číst online ).
30. (in) Eric Bach  (in) a Jeffrey Shallit , Algorithmic Number Theory , sv.  1, MIT Stiskněte ,1996( ISBN  0-262-02405-5 , číst online ) , s.  233.

Související články

• Legendární konstanta
• Möbiova funkce
• Landauova věta o hlavních ideálech  (in)
• Věta o zředění prvočísel
• Věta Wiener-Ikehara  (en)
• Počet zkosení