Teorie perkolace je odvětví statistické fyziky a matematiky , která se zaměřuje na vlastnostech náhodných média, konkrétně sady vrcholů spojených v náhodném grafu . Tato teorie je zvláště použitelná ve vědě o materiálech pro formování tokových vlastností v porézních médiích a pro modelování přírodních jevů, jako jsou požáry.
Matematický model perkolace představil John Hammersley (in) v roce 1957 a pokouší se odpovědět na neformální otázku: představte si, že vodu umístíme do prohlubně na porézní materiál. Jaká je šance, že existuje dostatek kanálů, které spolu navzájem komunikují, aby se tato voda dostala až k základně kamene?
Dovolit být parametr mezi a . Dva body (nebo vrcholy ) v euklidovské vzdálenosti od -dimenzionální sítě (dva takové body jsou považovány za sousední ) jsou pak s pravděpodobností spojeny hranou. Výsledkem je nekonečný náhodný graf .
Pravděpodobnost perkolace tohoto grafu, je uvedeno , je pravděpodobnost, že připojené zařízení obsahující původ je nekonečné velikosti.
Spojením argumentů ukážeme, že jde o rostoucí funkci . Ukážeme také, že existuje kritický bod , který je nulový, pokud a přísně pozitivní, pokud . Harry Kesten ukázala, že rozměr , .
V tomto režimu není v grafu žádná nekonečná cesta. Konečně spojené komponenty (nazývané také shluky) jsou obecně malé. Přesněji řečeno, pravděpodobnost, že klastr obsahující bod má velikost, která přesahuje, klesá exponenciálně rychle s . Zejména průměrná velikost shluku je konečná.
Kritická stravaRežim je stále špatně chápán (s výraznou výjimkou dimenze 2). Jeden předpokládá , že to znamená, že v kritickém bodě neprobíhá perkolace, ale to je prozatím prokázáno pouze v dimenzi dvě nebo ve velké dimenzi . Zejména případ dimenze tři, jehož fyzický význam je zřejmý, zůstává neprokázaný.
Překritická stravaV superkritické fázi existuje jedna nekonečná složka spojených bodů. Kromě toho jsou hotové klastry obecně malé velikosti. Nekonečný shluk splňuje veškerý prostor; přesněji podíl bodů pole velikosti, které patří do nekonečného shluku, má sklon, když má sklon k nekonečnu. Víme také, že nekonečný shluk je velmi hrubý: podíl bodů velikostního pole, které jsou na hranici nekonečného shluku, mezi souhrnem bodů nekonečného shluku, které jsou v tomto poli, má sklon, když má sklon k nekonečnu .
Obecně se kritické exponenty pozorované pro pole (experimentálně nebo pomocí modelů, například v problémech vodivosti, mechaniky a permitivity) liší od geometrických exponentů. Tyto jevy odrážejí účinek polních korelací v důsledku fyzikálních interakcí (nebo z matematického hlediska na související diferenciální rovnice). Zejména jsou exponenty odlišné v sítích a v kontinuálních médiích díky existenci nekonečně malých vzdáleností mezi rozhraními, které nelze omezit velikostí odkazů.
Obecně existují dva typy perkolace, první a druhý řád. První případ shromažďuje přechody spojitých polí, které se setkávají zejména v případech, kdy má potenciál energie jediné minimum. Naopak, když se vyvine několik místních minim, může se objevit diskontinuální přechod. Tyto jevy se nemohou odehrávat ve standardní teorii perkolace.
Jednou z aplikací teorie perkolace je studium lesních požárů (a přesněji šíření epidemií).
V tomto modelu jsou stromy vrcholy grafu a hrana představuje skutečnost, že dva stromy mají stejný stav: pokud byl jeden zasažen ohněm (nebo infikován), pak i druhý. Otázkou tedy je vědět, zda oheň zůstává lokalizovaný nebo zda zasahuje do velké části lesa. Toto modelování nebere v úvahu čas a předpokládá, že všechny stromy jsou identické.
MigraceKrajina ekologie má zájem na schopnosti druhů a jedinců k pohybu v prostoru, což vyžaduje měření ekologickou konektivitu odrážející funkční propojenosti přírodních stanovišť nebo polopřírodní a migrace ceny (nebo disperze), spojený s komplexní chování a klimatických nebezpečí . velká část migrací probíhajících navíc v noci . To vyžaduje často velmi drahé a choulostivé metody, jako je rádiové sledování, automatická detekce a / nebo fotografie, pasty na stezky nebo metody zachycení značky a opětovného zachycení.
Teorie perkolace je pak jedním z teoretických nástrojů testovaných pro studium a modelování schopnosti jednotlivců a populací migrovat (v toku) mezi zrny nebo skvrnami krajiny, přičemž druhá je svým způsobem ve srovnání s porézní prostředí, ve kterém každý druh cirkuluje víceméně snadno. Jinými slovy, perkolace zde umožňuje posoudit vztah mezi migračním reflexem druhů a více či méně tolerantní dispozicí jakéhokoli přírodního prostředí.
Teorie perkolace, která studuje heterogenní a neuspořádané systémy, poskytuje v ekonomii komplementární přístup. Umožňuje studovat šíření informací (technologie, cena, chování, názor atd.) Přes náhodnou a heterogenní strukturu, kde soubor prvků (agenti, společnosti atd.) Tvoří síť.
Mezi subjekty aplikací perkolace v ekonomii můžeme uvést sítě organizací, akciové trhy, teritoria, integraci trhu, dominanci technologie nebo konvence atd.
V mnoha oblastech existují příklady změn stavu nebo fází od určité prahové hodnoty, a to jak lidské, tak sociální ( vývojový pól ) a fyzické ( jaderné štěpení ).