Schrödingerova rovnice s logaritmickou nelinearitou
V teoretické fyzice je Schrödingerova rovnice s logaritmickou nelinearitou (někdy zkrácená z angličtiny Logarithmic Schrödingerova rovnice pomocí LNSE nebo LogSE) jednou z nelineárních verzí Schrödingerovy rovnice . Jedná se o klasickou vlnovou rovnici s aplikacemi na rozšíření kvantové mechaniky, kvantové optiky , jaderné fyziky , jevů transportu a difúze hmoty , otevřených kvantových systémů a teorie informací. Modely kvantové gravitace a fyzikálního vakua a teorie zsuperfluidita a Bose-Einsteinovy kondenzáty . Jeho relativistickou verzi (s d'Alembertianem namísto laplaciánského operátora a derivátem času prvního řádu) poprvé navrhl Gerald (Harris) Rosen. Toto je příklad integrovatelného systému .
Tato rovnice je parciální diferenciální rovnice . V matematice a matematické fyzice se často používá její bezrozměrná forma:
i∂ψ∂t+Δψ+ψln|ψ|2=0.{\ displaystyle i {\ frac {\ částečné \ psi} {\ částečné t}} + \ Delta \ psi + \ psi \ ln | \ psi | ^ {2} = 0.}![{\ displaystyle i {\ frac {\ částečné \ psi} {\ částečné t}} + \ Delta \ psi + \ psi \ ln | \ psi | ^ {2} = 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f968fb70a4bc5f0ccfdda6a0c086cb25b53ff632)
pro funkci s komplexní hodnotou ψ = ψ ( x , t ) prostorového vektoru částic x = ( x , y , z ) v čase t a
Δψ=∂2ψ∂X2+∂2ψ∂y2+∂2ψ∂z2{\ displaystyle \ Delta \ psi = {\ frac {\ částečné ^ {2} \ psi} {\ částečné x ^ {2}}} + {\ frac {\ částečné ^ {2} \ psi} {\ částečné y ^ {2}}} + {\ frac {\ částečné ^ {2} \ psi} {\ částečné z ^ {2}}} \,}![{\ displaystyle \ Delta \ psi = {\ frac {\ částečné ^ {2} \ psi} {\ částečné x ^ {2}}} + {\ frac {\ částečné ^ {2} \ psi} {\ částečné y ^ {2}}} + {\ frac {\ částečné ^ {2} \ psi} {\ částečné z ^ {2}}} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b07aa99ad3bbdcb932f4e19bc45602e3ce614659)
je Laplacian v kartézských souřadnicích . Ukázalo se, že logaritmický člen je nezbytný k zajištění toho, aby rychlost zvuku byla úměrná kubické odmocnině tlaku pro helium 4 při teplotách pod 1k. Navzdory logaritmickému členu si tato rovnice zachovává symetrie podobné těm, které nabízí její lineární protějšek, což umožňuje její aplikaci na atomové a jaderné systémy.
ψln|ψ|2{\ displaystyle \ psi \ ln | \ psi | ^ {2}}![{\ displaystyle \ psi \ ln | \ psi | ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/331f2e27214c45fe0f611198da50f606dce40645)
Relativistická verze této rovnice může být získána nahrazením derivátu d'Alembertian, stejným způsobem jako Klein-Gordonova rovnice . Solitonová řešení, známá jako Gaussons, představují analytická řešení této rovnice pro řadu případů.
Reference
-
(in) Iwo Bialynicki-Birula a Jerzy Mycielski , „ Nelineární vlnová mechanika “ , Annals of Physics , sv. 100, n kost 1-2,1976, str. 62–93 ( ISSN 0003-4916 , DOI 10.1016 / 0003-4916 (76) 90057-9 )
-
(in) Iwo Bialynicki-Birula a Jerzy Mycielski , „ Vztahy nejistoty pro informační entropii ve vlnové mechanice “ , Communications in Mathematical Physics , sv. 44, n O 21975, str. 129 až 132 ( ISSN 0010 - 3616 , DOI 10,1007 / BF01608825 )
-
Iwo Bialynicki-Birula a Jerzy Mycielski , „ Gaussons: Soliton logaritmické Schrödingerovy rovnice “, Physica Scripta , sv. 20, n kost 3-4,1979, str. 539-544 ( ISSN 0031-8949 , DOI 10.1088 / 0031-8949 / 20 / 3-4 / 033 )
-
(in) TC Scott a J. Shertzer , „ Řešení Schrödingerovy rovnice s logaritmickým a Coulombovým potenciálem “ , Journal of Physics Communications , sv. 2, n O 7,2018, str. 075014 ( DOI 10.1088 / 2399-6528 / aad302 )
-
(in) H. Buljan , A. Siber , pan Soljacic , T. Schwartz , M. Segev a DN Christodoulides , „ Inkoherentní solitony bílého světla v logaritmicky saturovatelných nelineárních médiích neinstantánní “ , Physical Review E , sv. 68, n o 3,2003( ISSN 1063-651X , DOI 10.1103 / PhysRevE.68.036607 )
-
Ernst F. Hefter , „ Aplikace nelineární Schrödingerovy rovnice s logaritmickým nehomogenním výrazem na jadernou fyziku “, Physical Review A , sv. 32, n O 21985, str. 1201–1204 ( ISSN 0556-2791 , DOI 10.1103 / PhysRevA.32.1201 )
-
VG Kartavenko , KA Gridnev a W. Greiner , „ Nelineární efekty v problému jaderných klastrů “, International Journal of Modern Physics E , sv. 07, n o 02,1998, str. 287–299 ( ISSN 0218-3013 , DOI 10.1142 / S0218301398000129 )
-
S. De Martino , M. Falanga , C. Godano a G. Lauro , „ Logaritmická Schrödingerova rovnice jako model pro transport magmatu “, Europhysics Letters (EPL) , sv. 63, n o 3,2003, str. 472–475 ( ISSN 0295-5075 , DOI 10.1209 / epl / i2003-00547-6 )
-
T. Hansson , D. Anderson a M. Lisak , „ Propagace částečně koherentních solitonů v saturovatelných logaritmických médiích: komparativní analýza “, Physical Review A , sv. 80, n o 3,2009( ISSN 1050-2947 , DOI 10.1103 / PhysRevA.80.033819 )
-
Kunio Yasue , „ Kvantová mechanika nekonzervativních systémů “, Annals of Physics , sv. 114, n kost 1-2,1978, str. 479–496 ( ISSN 0003-4916 , DOI 10.1016 / 0003-4916 (78) 90279-8 )
-
Nivaldo A. Lemos , „ Disipativní síly a algebra operátorů ve stochastické kvantové mechanice “, Physics Letters A , sv. 78, n o 3,1980, str. 239–241 ( ISSN 0375-9601 , DOI 10.1016 / 0375-9601 (80) 90080-8 )
-
James D. Brasher , „ Nelineární vlnová mechanika, teorie informací a termodynamika “, International Journal of Theoretical Physics , sv. 30, n o 7,1991, str. 979–984 ( ISSN 0020-7748 , DOI 10.1007 / BF00673990 )
-
Dieter Schuch , „ Neunitární spojení mezi výslovně časově závislými a nelineárními přístupy k popisu disipativních kvantových systémů “, Physical Review A , sv. 55, n O 21997, str. 935–940 ( ISSN 1050–2947 , DOI 10,1103 / PhysRevA.55,935 )
-
MP Davidson, Nuov. Cim. B 116 (2001) 1291.
-
José L. López , „ Nelineární přístup kvantového rozptylu typu Ginzburg-Landau “, Physical Review E , sv. 69, n O 22004( ISSN 1539-3755 , DOI 10.1103 / PhysRevE.69.026110 )
-
KG Zloshchastiev , „ Logaritmická nelinearita v teoriích kvantové gravitace: Původ času a důsledky pozorování “, Gravitace a kosmologie , sv. 16, n O 4,2010, str. 288–297 ( ISSN 0202-2893 , DOI 10.1134 / S0202289310040067 , arXiv 0906.4282 )
-
Konstantin G. Zloshchastiev , „ Efekt vakua Čerenkova v logaritmické nelineární kvantové teorii “, Physics Letters A , sv. 375, n o 24,2011, str. 2305–2308 ( ISSN 0375-9601 , DOI 10.1016 / j.physleta.2011.05.012 , arXiv 1003.0657 )
-
KG Zloshchastiev , „ Spontánní narušení symetrie a hromadná tvorba jako vestavěné jevy v logaritmické nelineární kvantové teorii “, Acta Physica Polonica B , sv. 42, n O 22011, str. 261 ( ISSN 0587-4254 , DOI 10.5506 / APhysPolB.42.261 , arXiv 0912.4139 )
-
TC Scott , Xiangdong Zhang , Robert Mann a GJ Fee , „ Kanonická redukce pro dilatonickou gravitaci v rozměrech 3 + 1 “, Physical Review D , sv. 93, n o 8,2016, str. 084017 ( DOI 10.1103 / PhysRevD.93.084017 , Bibcode 2016PhRvD..93h4017S , arXiv 1605.03431 )
-
Alexander V. Avdeenkov a Konstantin G Zloshchastiev , „ Kvantové Boseovy kapaliny s logaritmickou nelinearitou: soběstačnost a vznik prostorového rozsahu “, Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics , sv. 44, n o 19,2011, str. 195303 ( ISSN 0953-4075 , DOI 10.1088 / 0953-4075 / 44/19/195303 , arXiv 1108.0847 )
-
Konstantin G. Zloshchastiev , „ Teplotně řízená dynamika kvantových kapalin: logaritmická nelinearita, fázová struktura a rostoucí síla “, Int. J. Mod. Phys. B , sv. 33, n o 17,2019, str. 1950184 ( DOI 10.1142 / S0217979219501844 )
-
Gerald Rosen , „ Dilatační kovariance a přesná řešení v místních teoriích relativního pole “, Physical Review , sv. 183, n o 5,1969, str. 1186–1188 ( ISSN 0031-899X , DOI 10.1103 / PhysRev.183.1186 )
-
Thierry Cazanave a Alain Haraux , „ Schrödingerova rovnice s logaritmickou nelinearitou “, CR Acad. Sci., Paříž, Sér. A , sv. 288, n O 21979, str. 253-256
-
(in) TC Scott a KG Zloshchastiev , „ Řešení hádanky šíření zvuku v kapalném heliu při nízkých teplotách “ , Fyzika nízkých teplot , sv. 45, N O 122019, str. 1231-1236 ( DOI 10.1063 / 10.0000200 )
-
(in) J. Shertzer a TC Scott , „ Řešení Schrödingerovy rovnice s logaritmickým 3D má ústřední potenciál “ , Journal of Physics Communications , sv. 4, n o 6,2020, str. 065004 ( DOI 10.1088 / 2399-6528 / ab941d )
Podívejte se také
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">