Alembertian
D'Alembertian nebo Alembertian operátor , je zobecněním pojmu Laplacian v Minkowskian metrický . Zejména v elektromagnetismu se objevuje popis šíření elektromagnetických vln , stejně jako v Klein-Gordonově rovnici .
Vzorec
D'Alembertian, obvykle označený čtvercem , je zapsán v kartézském souřadnicovém systému ,
◻{\ displaystyle \ Box}![\Krabice](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
◻=-(∂2∂X2+∂2∂y2+∂2∂z2)+1vs.2∂2∂t2{\ displaystyle \ Box = - \ left ({\ frac {\ částečné ^ {2}} {\ částečné x ^ {2}}} + {\ frac {\ částečné ^ {2}} {\ částečné y ^ {2 }}} + {\ frac {\ částečné ^ {2}} {\ částečné z ^ {2}}} \ pravé) + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ částečné ^ {2}} {\ částečné t ^ {2}}}}![{\ displaystyle \ Box = - \ left ({\ frac {\ částečné ^ {2}} {\ částečné x ^ {2}}} + {\ frac {\ částečné ^ {2}} {\ částečné y ^ {2 }}} + {\ frac {\ částečné ^ {2}} {\ částečné z ^ {2}}} \ pravé) + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ částečné ^ {2}} {\ částečné t ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8f3d56996f619b8e450ccf09e1e3840159343a1)
, kde c je
rychlost světla , kterou lze přepsat jako funkci
Laplaciana :
◻=-Δ+1vs.2∂2∂t2{\ displaystyle \ Box = - \ Delta + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ částečné ^ {2}} {\ částečné t ^ {2}}}}![{\ displaystyle \ Box = - \ Delta + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ částečné ^ {2}} {\ částečné t ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66a2bb334ba11bb898479a4c6f9cd07a34a3bcb5)
.
Obecněji, počínaje Minkowského metrikou η ab , můžeme přepsat d'Alembertian podle vzorce
◻=ημν∂∂Xμ∂∂Xν=∂Xμ∂Xμ=∂Xμ∂Xμ,{\ displaystyle \ Box = \ eta ^ {\ mu \ nu} {\ frac {\ částečné} {\ částečné x ^ {\ mu}}} {\ frac {\ částečné} {\ částečné x ^ {\ nu}} } = \ částečné x _ {\ mu} \ částečné x ^ {\ mu} = \ částečné x ^ {\ mu} \ částečné x _ {\ mu},}![{\ displaystyle \ Box = \ eta ^ {\ mu \ nu} {\ frac {\ částečné} {\ částečné x ^ {\ mu}}} {\ frac {\ částečné} {\ částečné x ^ {\ nu}} } = \ částečné x _ {\ mu} \ částečné x ^ {\ mu} = \ částečné x ^ {\ mu} \ částečné x _ {\ mu},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/298868391212fe26709eaec2225d8b104b5a7f38)
kde jeden provede součet na všech souřadnicích t , x , y , z . Tato definice však závisí na znaménkové konvenci metriky , takže znaménko d'Alembertian někdy závisí na autorech.
aplikace
D'Alembertian objeví v vlnové rovnice na elektromagnetické Quadri-potenciálu :
◻NAμ=0.{\ displaystyle \ Box A ^ {\ mu} = 0.}![{\ displaystyle \ Box A ^ {\ mu} = 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb2879c57d5ad5eea0a6509e9ecec72b66815ccc)
Klein-Gordon rovnice také zahrnuje operátor:
(◻+m2)ψ=0.{\ displaystyle (\ Box + m ^ {2}) \ psi = 0.}![(\ Box + m ^ 2) \ psi = 0.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0426fe3086118217c727d241451e00e62f22e70a)
Související články