Eulerova diferenciální rovnice

V matematice, Eulerova rovnice nebo Cauchy-Eulerovy rovnice je lineární diferenciální rovnice následující tvar:

{\ displaystyle a_ {n} x ^ {n} y ^ {(n)} (x) + a_ {n-1} x ^ {n-1} y ^ {(n-1)} (x) + \ ldots + a_ {0} y (x) = f (x) \, \ qquad (a_ {n} \ neq 0).}

Lze jej snížit změnou proměnné na lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty .

Řešení

Chcete-li aplikovat obecnou teorii lineárních rovnic, nejprve nás zajímá související homogenní rovnice a tím, že se umístíme na interval, kde $x n$ nezmizí: nebo . V prvním případě nastavíme změnu proměnné $x$ $= - e$ $u$ a ve druhém $x$ $= e$ $u$ . Potom nastavíme $g$ $($ $u$ $) =$ $y$ $(e$ $u$ $)$ . Díky těmto změnám proměnných se Eulerova diferenciální rovnice poté redukuje na diferenciální rovnici s konstantními koeficienty v $g$ , kterou lze explicitně vyřešit. ${\ displaystyle] - \ infty, 0 [}$ ${\ displaystyle] 0, + \ infty [}$

Řešení pro případ druhého řádu

Běžným případem Cauchyho rovnice je případ druhého řádu ( n = 2), který se objevuje v několika fyzikálních problémech, jako je řešení Laplaceovy rovnice v polárních souřadnicích. Můžeme tedy zredukovat rovnici na tvar