Integrace změnou proměnné

V matematiky , a přesněji v analýze , integrace změnou proměnné je integrační proces , který spočívá v tom, s ohledem na nové integrační proměnnou , nahradit funkci původního integrační proměnné. Tento proces je jedním z hlavních nástrojů pro explicitní výpočet integrálů. Někdy se tomu říká integrace substitucí v souvislosti s anglickým názvem procesu.

Teorém

Státy

Jsou:

$I$ skutečný interval ;
$φ : [ , b ] \to I$ diferencovatelná funkce, z integrovatelná derivátu ;
$f : I \to R$ spojitá funkce.

Tak,

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (\ varphi (t)) \ varphi '(t) ~ \ mathrm {d} t = \ int _ {\ varphi (a)} ^ {\ varphi ( b)} f (x) ~ \ mathrm {d} x}

Všimněte si, že to není nutné, aby $φ$ být injective na ( viz níže ). $[a, b]$

Demonstrace

Pokud $φ$ je z třídy C 1 , tato integrace pravidlo je odvozeno od základní teorém analýzy a z derivační teorém složených funkcí : viz například odkaz v dolní části této stránky na kurzu Wikiversity .

Poznámka

Využijme větu zapsat integrál $f$ přes v případě, že $φ$ je monotónní funkce . $I = \ varphi {\ bigl (} [a, b] {\ bigr)}$

Pokud se $φ$ zvyšuje, pak a $I$ se rovná intervalu ; integrál $f$ nad $I$ je pak okamžitě daný větou. Všimněte si také, že v tomto případě ,. $\ varphi (a) \ leq \ varphi (b)$ $[\ varphi (a), \ varphi (b)]$ $\ varphi '\ geq 0$
Pokud $φ$ klesá, pak a $já se$ stává . Integrál $f$ nad $I$ je tedy opakem integrálu levé strany věty. Stejně jako změna znaménka v tomto případě znamená nahrazení $φ$ 'na pravé straně jeho absolutní hodnotou. $\ varphi (a) \ geq \ varphi (b)$ $[\ varphi (b), \ varphi (a)]$ $\ varphi '\ leq 0$

Vidíme tedy, že v obou případech máme

{\ displaystyle \ int _ {\ varphi {\ bigl (} [a, b] {\ bigr)}} f (x) \, \ mathrm {d} x = \ int _ {[a, b]} f ( \ varphi (t)) | \ varphi '(t) | \, \ mathrm {d} t}

Je to tento vzorec, který lze zobecnit na případ více integrálů ( viz níže ).

Příklad

Buď pro výpočet

{\ displaystyle \ int _ {- {\ sqrt {\ pi / 2}}} ^ {2 {\ sqrt {\ pi / 2}}} 2t \ cos (t ^ {2}) \, \ mathrm {d} t}

Vybereme změnu proměnné , a proto se mění od do (všimneme si, že v tomto intervalu není injektivní) ${\ displaystyle \ varphi (t) = t ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {\ varphi} '(t) = 2t}$ $t$ ${\ displaystyle - {\ sqrt {\ pi / 2}}}$ ${\ displaystyle 2 {\ sqrt {\ pi / 2}}}$ $\ varphi$

${\ displaystyle \ varphi \ left (- {\ sqrt {\ pi / 2}} \ right) = \ pi / 2}$ ,, a samozřejmě pokračuje . Proto: ${\ displaystyle \ varphi \ left (2 {\ sqrt {\ pi / 2}} \ right) = 2 \ pi}$ $\ cos$ ${\ displaystyle \ varphi \ left (\ left [- {\ sqrt {\ pi / 2}}, 2 {\ sqrt {\ pi / 2}} \ right] \ right) = [0,2 \ pi]}$

{\ displaystyle \ int _ {- {\ sqrt {\ pi / 2}}} ^ {2 {\ sqrt {\ pi / 2}}} 2t \ cos (t ^ {2}) \, \ mathrm {d} t = \ int _ {- {\ sqrt {\ pi / 2}}} ^ {2 {\ sqrt {\ pi / 2}}} \ varphi '(t) \ cos (\ varphi (t)) \, \ mathrm {d} t = \ int _ {\ pi / 2} ^ {2 \ pi} \ cos x \, \ mathrm {d} x = \ left [\ sin x \ right] _ {\ pi / 2} ^ {2 \ pi} = 0-1 = -1}

Skutečnost, že nejde o injekci, může na první pohled vést k překvapivým výsledkům: ano , budeme mít ; To je důvod, proč je často upřednostňováno bijective a psát frázi „na druhou stranu“ . $\ varphi$ ${\ displaystyle \ varphi (a_ {1}) = \ varphi (a_ {2})}$ ${\ displaystyle \ int _ {a_ {1}} ^ {b} f (\ varphi (t)) \ varphi '(t) ~ \ mathrm {d} t = \ int _ {a_ {2}} ^ {b } f (\ varphi (t)) \ varphi '(t) ~ \ mathrm {d} t}$ $\ varphi$ ${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) ~ \ mathrm {d} x = \ int _ {\ varphi ^ {- 1} (a)} ^ {\ varphi ^ {- 1} ( b)} f (\ varphi (t)) \ varphi '(t) ~ \ mathrm {d} t}$

Klasické změny proměnných

V praxi je forma uvedená ve větě věty zřídka přímo čitelná na integrálu, který se má vypočítat, a vychází se z integrálu takového, že se člověk spíše snaží nechat zmizet ty „nejkomplikovanější“ termíny (exponenciály, v tomto případě ) pózováním , s dobře zvoleným (a nejčastěji bijektivním), tak tady ; získáváme , které pak integrujeme rozkladem na jednoduché prvky , získáváme . Mnoho integrálů však lze vypočítat pouze pomocí sofistikovanějších změn proměnných; Zde je neúplný seznam. ${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {e ^ {x} -1} {e ^ {x} +1}} \, \ mathrm {d} x}$ ${\ displaystyle x = \ varphi (t)}$ ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle \ varphi (t) = \ ln t}$ ${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {e ^ {x} -1} {e ^ {x} +1}} \, \ mathrm {d} x = \ int _ {1} ^ {e} {\ frac {1} {t}} \ krát {\ frac {t-1} {t + 1}} \, \ mathrm {d} t}$ ${\ displaystyle \ int _ {1} ^ {e} - {\ frac {1} {t}} + {\ frac {2} {t + 1}} \, \ mathrm {d} t = -1 + 2 (\ ln (e + 1) - \ ln 2)}$

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (ct) \, \ mathrm {d} t = {\ frac {1} {c}} \ int _ {ca} ^ {cb} f (x) \, \ mathrm {d} x}$ .
Informace o funkcích zahrnujících kruhové nebo hyperbolické funkce najdete v pravidlech společnosti Bioche .
Pro výpočet , kde $f$ je racionální zlomek ve dvou proměnných, $n$ přirozené číslo a $a$ , $b$ , $c$ a $d$ čtyři reálná čísla, nastavíme : změna proměnné vždy dá racionální zlomek v $u$ ; pak to stačí rozdělit na jednoduché prvky k integraci.
${\ displaystyle \ int f \ left (x, {\ sqrt [{n}] {\ frac {ax + b} {cx + d}}} \ right) \, \ mathrm {d} x}$

$u = {\ sqrt [{n}] {{\ frac {ax + b} {cx + d}}}}$
Pro výpočet , kde $f$ je racionální zlomek ve dvou proměnných, navrhl Euler změnu proměnné , která také vždy dává racionální zlomek v $t$ (případ lze také řešit tímto způsobem, pokud přijmeme práci v komplexech, jinak musíte projít kruhovými funkcemi (en) ).
${\ displaystyle \ int f \ left (x, {\ sqrt {x ^ {2} + ax + b}} \ right) \, \ mathrm {d} x}$
$tx = {\ sqrt {x ^ {2} + sekera + b}}$ ${\ sqrt {-x ^ {2} + sekera + b}}$

Případ nesprávných integrálů

Dříve uvedené vzorce jsou ve skutečnosti platné, i když jsou integrály nevhodné , k čemuž dochází zejména tehdy, když se změna proměnné změní ze skutečného ohraničeného intervalu na neohraničený interval (například integrál se stane změnou proměnné , ). ${\ displaystyle I = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ mathrm {d} t} {1+ \ sin ^ {2} t}}}$ $x = \ tan t$ ${\ displaystyle I = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ mathrm {d} x} {1 + 2x ^ {2}}}}$

Důkaz tohoto výsledku se provádí jednoduše uplatněním definice nesprávných integrálů jako limitů, čímž přechází na limit při změně proměnné mezi vlastními integrály.

Případ více integrálů

Pokud $f$ je funkcí několika proměnných , nahradíme $φ$ pomocí injekcí třídy C 1 na otevřené $U$ všech $ℝ$ $n$ a s hodnotami v $ℝ$ $n$ . Kromě změny oblasti integrace se používá absolutní hodnota jakobiána „místo“ . Jacobian je determinant z Jacobian matrice . Zde je uvedena explicitní formulace změny proměnné v konkrétním případě n = 2: $\ Phi$ $\ Phi$ $| \ varphi '|$ $J _ {\ Phi}$

{\ displaystyle \ iint _ {\ Phi (U)} f (x, y) \; \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y = \ iint _ {U} f {\ bigl (} \ Phi (u, v) {\ bigr)} \ left | \ det J _ {\ Phi} (u, v) \ right | ~ \ mathrm {d} u \, \ mathrm {d} v}

Další podrobnosti najdete ve dvou podrobných článcích.

Poznámka

V tomto opraveném cvičení na Wikiversity najdete mnoho příkladů .

Podívejte se také

Externí odkaz

Další velmi podrobný příklad integrace změnou proměnné