Tyto lineární diferenciální rovnice řádu 1 jsou diferenciální rovnice formuláře
kde a , b a c jsou funkce, o nichž se předpokládá, že jsou spojité.
Tyto rovnice lze vyřešit systematickými metodami, které vyžadují výpočet primitiv . V určitých konkrétních případech, například když c je nula (mluví se pak o homogenních lineárních diferenciálních rovnicích), lze doufat, že získáme explicitní výrazy řešení pomocí obvyklých funkcí.
Přísně vzato je nutné použít název lineárních skalárních diferenciálních rovnic řádu 1 , což znamená, že neznámá funkce y má skutečné nebo komplexní hodnoty. Maticová diferenciální rovnice s vektory sloupců Y a C a čtvercovými maticemi A a B je skutečně také lineární diferenciální rovnicí řádu 1. Tento obecnější význam je studován v článku „ Lineární diferenciální rovnice “.
Jedná se o rovnice, které se snižují dolů, kde k je reálné číslo. Setkáváme se s tímto typem rovnic:
Řešení takové rovnice jsou funkce definované na ℝ
kde C je reálná hodnota, jejíž hodnota je určena, jakmile jsou známy počáteční podmínky: pokud pro pak máme .
Na tento výsledek se můžeme dívat jako na zvláštní případ níže uvedeného §, nebo jej přímo demonstrovat .
Obecně je napsána homogenní lineární diferenciální rovnice
nebo ve zkratce:
.Tím, že pracujeme na intervalu I, kde funkce a nezmizí, a poznámkou
primitiv funkce ,řešení na I jsou funkce formuláře
kde K je konstanta, jejíž hodnota je určena údaji počátečních podmínek.
Výpočet primitivní funkce A není vždy proveditelný pomocí obvyklých funkcí; řešení proto může mít pouze jeden výraz v integrální formě.
Toto řešení homogenní rovnice s nekonstantními koeficienty je zase konkrétním případem níže uvedeného „Obecného případu“.
V případě, že diferenciální rovnice má druhý člen (je-li c je funkce nenulový), stačí najít na konkrétní řešení rovnice znát všechny. Řešení diferenciální rovnice jsou vlastně funkce, kde g je obecné řešení homogenní rovnice.
Problém je často v určování konkrétního řešení.
Pokud je c součet dvou funkcí c 1 a c 2 , můžeme hledat konkrétní řešení diferenciální rovnice druhého člena c 1 , pak konkrétní řešení diferenciální rovnice druhého člena c 2 , pak součet těchto dvou konkrétní řešení. Poté získáme konkrétní řešení výchozí rovnice.
Obecně získáváme rovnice typu . Tyto rovnice se používají k modelování například nabíjení nebo vybíjení kondenzátoru v RC obvodu.
Sada řešení jsou funkce f definované na ℝ pomocí
kde C je reálná bytost určená údaji počátečních podmínek, například, která pak dává:
Poté budeme hledat konkrétní řešení formuláře
Metoda řešení rovnice s druhým členem
je metoda proměnných konstant . To spočívá v redukci problému výpočtu proměnné funkce změnou proměnné funkce.
Zjistili jsme tedy, za předpokladu, že funkce a nezmizí v intervalu I a tamto
je primitivní funkcí na I funkce ,že řešení funguje přes I ze jsou funkce formuláře
,kde je jakýkoli primitiv funkce .
Nebo konečně fixací bodu :
,kde K je opět konstanta určená počátečními podmínkami.
Je proto nutné provést druhý výpočet primitivu, který může zabránit vyjádření řešení pomocí obvyklých funkcí.