Cauchy-Riemannovy rovnice

Tyto Cauchy-Riemannovy rovnice v komplexní analýzy , tak pojmenovaný ve cti Augustin Cauchyova a Bernhard Riemann , jsou dvě parciální diferenciální rovnice exprimující nutné a postačující podmínkou pro funkci (komplexní proměnné, s hodnotami komplex) diferencovatelné v pravém slova smyslu na bod nebo diferencovatelný v komplexním smyslu v tomto bodě.

Jinými slovy, jedná se o podmínky, které je třeba přidat k rozlišitelnosti ve skutečném smyslu, aby se získala odlišitelnost ve složitém smyslu.

Když je funkce v reálném smyslu diferencovatelná v jakémkoli bodě otevření, tyto rovnice vyjadřují nezbytnou a dostatečnou podmínku pro to, aby byla v tomto otevření holomorfní .

Domníváme se, že funkce komplexní proměnné, která je definována na otevřené U z komplexní roviny ℂ. Zde se používají následující notace: F:U→VS{\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {C}}

• komplexní proměnná je označena , kde x , y jsou skutečné;z{\ displaystyle z} X+iy{\ displaystyle \ x + i \, y}
• skutečné a imaginární části jsou označeny v tomto pořadí a , to znamená :, kde , jsou dvě reálné funkce dvou reálných proměnných.F(z)=F(X+iy){\ displaystyle f (z) = f (x + i \, y)} P(X,y){\ displaystyle \ P (x, y)} Q(X,y){\ displaystyle \ Q (x, y)}F(z)=P(X,y)+iQ(X,y){\ displaystyle f (z) = P (x, y) + i \, Q (x, y)}P{\ displaystyle P}Q{\ displaystyle Q}

ℂ -diferencovatelné funkce komplexní proměnné

Definice

Funkce se říká, že diferencovatelná v komplexním smyslu , ℂ-diferencovatelná nebo dokonce diferencovatelné , v místě, v případě, že je v části o takové, že i tak, že funkce: F:U→VS{\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {C}}z0∈U{\ displaystyle z_ {0} \ v U} PROTI{\ displaystyle V}z0{\ displaystyle z_ {0}}PROTI⊂U{\ displaystyle V \ podmnožina U}

PROTI→VSz↦F(z)-F(z0)z-z0{\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} V & \ rightarrow & \ mathbb {C} \\ z & \ mapsto & {\ frac {f (z) -f (z_ {0})} {z-z_ {0}}} \ end {pole}}}

připouští limit k věci . Tento limit je pak uvedeno a je nazýván derivát z en .z0{\ displaystyle z_ {0}}F′(z0){\ displaystyle f '(z_ {0})}F{\ displaystyle f}z0{\ displaystyle z_ {0}}

Je důležité si všimnout, že podmínka diferencovatelnosti pro složité proměnné funkce je mnohem více omezující než analogická podmínka pro skutečné proměnné funkce. Rozdíl je následující:

• v ℝ existují v zásadě dva způsoby, jak se k bodu přiblížit: doprava nebo doleva. Funkce reálné proměnné je v bodě diferencovatelná tehdy a jen tehdy, když „míra růstu“ připouští v tomto bodě limit napravo a limit nalevo se stejnou (konečnou) hodnotou;
• v ℂ existuje nekonečné množství způsobů, jak se přiblížit k bodu; každý z nich musí vést k (konečnému) limitu „rychlosti růstu“, přičemž tyto limity jsou navíc všechny stejné .

Důležitý případ

Říkáme, že funkce je holomorfní na otevření of, pokud je ℂ -diferencovatelná v kterémkoli bodě tohoto otevření.

Charakterizace ℂ-diferencovatelných funkcí v bodě

Věta  - 

• Aby funkce f byla ℂ-diferencovatelná v bodě (kde jsou skutečné), je to nutné a dostačující:  z0=X0+iy0∈U{\ displaystyle \ z_ {0} = x_ {0} + i \, y_ {0} \ v U} X0,y0{\ displaystyle \ x_ {0}, \, y_ {0}}
  • že to bude diferencovatelná v pravém slova smyslu ve  ; z0{\ displaystyle \ z_ {0}}
  • a že navíc v tomto bodě ověřuje Cauchy-Riemannovy rovnice . Tyto rovnice lze psát v následujících ekvivalentních formách:
    • ∂F∂y(z0)=i∂F∂X(z0){\ displaystyle {\ frac {\ částečné f} {\ částečné y}} (z_ {0}) = i \, {\ frac {\ částečné f} {\ částečné x}} (z_ {0})}
    • ∂P∂X(X0,y0)=∂Q∂y(X0,y0){\ displaystyle {\ frac {\ částečné P} {\ částečné x}} (x_ {0}, y_ {0}) = {\ frac {\ částečné Q} {\ částečné y}} (x_ {0}, y_ {0})} a ∂P∂y(X0,y0)=-∂Q∂X(X0,y0){\ displaystyle {\ frac {\ částečné P} {\ částečné y}} (x_ {0}, y_ {0}) = - {\ frac {\ částečné Q} {\ částečné x}} (x_ {0}, y_ {0})}
    • ∂¯F(z0)=0{\ displaystyle {\ overline {\ částečné}} f (z_ {0}) = 0}, kde je operátor diferenciálu podle definice roven .∂¯{\ displaystyle {\ overline {\ částečné}}}12(∂∂X+i∂∂y){\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ vlevo ({\ frac {\ částečné} {\ částečné x}} + i {\ frac {\ částečné} {\ částečné y}} \ pravé)}
• V tom případě :
  • rozdílem v bodě je aplikace  ; F{\ displaystyle \ f} z0{\ displaystyle \ z_ {0}} dF(z0):VS→VS,h↦F′(z0)h{\ displaystyle \ df (z_ {0}): \ mathbb {C} \ až \ mathbb {C}, h \ mapsto f '(z_ {0}) \, h}
  •  F′(z0)=∂F∂X(z0)=-i∂F∂y(z0)=∂F(z0){\ displaystyle \ f '(z_ {0}) = {\ frac {\ částečné f} {\ částečné x}} (z_ {0}) = - i \, {\ frac {\ částečné f} {\ částečné y }} (z_ {0}) = \ částečné f (z_ {0})}kde je operátor diferenciálu podle definice roven .∂{\ displaystyle \ částečné}12(∂∂X-i∂∂y){\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ vlevo ({\ frac {\ částečné} {\ částečné x}} - i {\ frac {\ částečné} {\ částečné y}} \ pravé)}

Důkaz věty Zachováváme předchozí notace; Zejména označíme r reálné číslo takové, že a a h komplexní číslo takové, že . r>0{\ displaystyle \ r> 0} B(z0,r)⊂U{\ displaystyle \ B (z_ {0}, \, r) \ podmnožina U} |h|<r{\ displaystyle \ | h | <r}

• Předpokládáme, že je ℂ -diferencovatelné v  : then when (označujeme derivaci ).  F{\ displaystyle \ f}z0∈U{\ displaystyle z_ {0} \ v U}F(z0+h)-F(z0)h→NA{\ displaystyle {\ frac {f (z_ {0} + h) -f (z_ {0})} {h}} \ do A}h→0{\ displaystyle h \ to 0} NA{\ displaystyle \ A} F′(z0){\ displaystyle \ f '(z_ {0})}
  • Definujeme (funkce komplexní proměnné):  ϵ: B(0,r)→VS{\ displaystyle \ \ epsilon: \ B (0, \, r) \ do \ mathbb {C}}
    •  ϵ(0)=0{\ displaystyle \ \ epsilon (0) = 0}
    • ϵ(h)=F(z0+h)-F(z0)h-NA{\ displaystyle \ epsilon (h) = {\ frac {f (z_ {0} + h) -f (z_ {0})} {h}} - A}pokud (*). Pak (podle definice A ): kdyh≠0{\ displaystyle h \ neq 0}ϵ(h)→0{\ displaystyle \ epsilon (h) \ až 0}h→0{\ displaystyle h \ to 0}
    • (*) lze psát: (pro , a také pro ),F(z0+h)=F(z0)+NAh+hϵ(h){\ displaystyle f (z_ {0} + h) = f (z_ {0}) + A \, h + h \, \ epsilon (h)} h≠0{\ displaystyle \ h \ neq 0} h=0{\ displaystyle \ h = 0}
    • nebo znovu:, kde (**)F(z0+h)=F(z0)+L(h)+hϵ(h){\ displaystyle f (z_ {0} + h) = f (z_ {0}) + L (h) + h \, \ epsilon (h)} L(h)=NAh{\ displaystyle \ L (h) = A \, h}
  • Je jasné, že mapa je ℝ-lineární (a dokonce ℂ-lineární, silnější vlastnost). Proto: L:VS→VS,h↦NAh{\ displaystyle L: \ mathbb {C} \ až \ mathbb {C}, h \ mapsto A \, h}
    •  F{\ displaystyle \ f} je ℝ-diferencovatelný v  z0{\ displaystyle \ z_ {0}}
    • ∂F∂X(z0)=L(1)=NA{\ displaystyle {\ frac {\ částečné f} {\ částečné x}} (z_ {0}) = L (1) = A}, Nebo: .∂F∂y(z0)=L(i)=NAi{\ displaystyle {\ frac {\ částečné f} {\ částečné y}} (z_ {0}) = L (i) = A \, i}∂F∂y(z0)=i∂F∂X(z0){\ displaystyle {\ frac {\ částečné f} {\ částečné y}} (z_ {0}) = i \, {\ frac {\ částečné f} {\ částečné x}} (z_ {0})}
• Reciproční: předpokládáme, že je to ℝ-diferencovatelné a jinými slovy :, kde (na rozdíl od toho, co často tvrdíme, nepoužíváme zde žádnou hypotézu kontinuity parciálních derivací: předchozí hypotéza se týká jediného bodu; to by mohla být ℝ-diferencovatelná pouze v tomto bodě).  F{\ displaystyle \ f}z0∈U{\ displaystyle z_ {0} \ v U}∂F∂y(z0)=i∂F∂X(z0){\ displaystyle {\ frac {\ částečné f} {\ částečné y}} (z_ {0}) = i \, {\ frac {\ částečné f} {\ částečné x}} (z_ {0})}∂F∂y(z0)=iNA{\ displaystyle {\ frac {\ částečné f} {\ částečné y}} (z_ {0}) = i \, A}NA=∂F∂X(z0){\ displaystyle A = {\ frac {\ částečné f} {\ částečné x}} (z_ {0})} F{\ displaystyle \ f}
  • Hypotézou, zaznamenáním L ℝ-diferenciálu en , můžeme napsat:  F{\ displaystyle \ f} z0{\ displaystyle \ z_ {0}}
    • F(z0+h)=F(z0)+L(h)+hϵ(h){\ displaystyle f (z_ {0} + h) = f (z_ {0}) + L (h) + h \, \ epsilon (h)}, kde kdyϵ(h)→0{\ displaystyle \ epsilon (h) \ až 0}h→0{\ displaystyle h \ to 0}
    • If (
  u , v real), pak pomocí ℝ-linearity L , h=u+iproti{\ displaystyle \ h = u + i \, v}L(h)=uL(1)+protiL(i)=u∂F∂X(z0)+proti∂F∂y(z0)=uNA+protiiNA=NA(u+iproti)=NAh{\ displaystyle \, L (h) = u \, L (1) + v \, L (i) = u \, {\ frac {\ částečné f} {\ částečné x}} (z_ {0}) + v \, {\ frac {\ částečné f} {\ částečné y}} (z_ {0}) = u \, A + v \, i \, A = A \, (u + i \, v) = A \, h}
• Takže: a kdy F(z0+h)=F(z0)+NAh+hϵ(h){\ displaystyle f (z_ {0} + h) = f (z_ {0}) + A \, h + h \, \ epsilon (h)}ϵ(h)→0{\ displaystyle \ epsilon (h) \ až 0}h→0{\ displaystyle h \ to 0}
• Pokud , odvodíme to: kdy . Existence tohoto limitu stanoví, že je ℂ-diferencovatelný v (tj. Existuje ), a to .h≠0{\ displaystyle h \ neq 0}F(z0+h)-F(z0)h=NA+ϵ(h)→NA{\ displaystyle {\ frac {f (z_ {0} + h) -f (z_ {0})} {h}} = A + \ epsilon (h) \ do A}h→0{\ displaystyle h \ to 0} F{\ displaystyle \ f} z0{\ displaystyle \ z_ {0}} F′(z0){\ displaystyle \ f '(z_ {0})}  F′(z0)=NA(=∂F∂X(z0)){\ displaystyle \ f '(z_ {0}) = A \ levý (= {\ frac {\ částečný f} {\ částečný x}} (z_ {0}) \ pravý)}
• To také dokazuje, že když je ℂ -diferencovatelné v  :  F{\ displaystyle \ f} z0{\ displaystyle \ z_ {0}}
  • jeho rozdílem je aplikace . L:VS→VS,h↦NAh=F′(z0)h{\ displaystyle \ L: \ mathbb {C} \ až \ mathbb {C}, \, h \ mapsto A \, h = f '(z_ {0}) \, h}
  •  F′(z0)=∂F∂X(z0)=-i∂F∂y(z0)=∂F(z0){\ displaystyle \ f '(z_ {0}) = {\ frac {\ částečné f} {\ částečné x}} (z_ {0}) = - i \, {\ frac {\ částečné f} {\ částečné y }} (z_ {0}) = \ částečné f (z_ {0})}.

Důležitý případ

Následující charakterizace holomorfních funkcí je bezprostředním důsledkem předchozí věty aplikované v každém bodě.

Věta  : funkce je holomorfní na otevřeném U ℂ právě tehdy, když  : F:U→VS{\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {C}}

1. je ℝ-diferencovatelný v kterémkoli bodě U  ;
2. a splňuje rovnice Cauchy-Riemannovy v žádném místě U .

Poznámka ke kontinuitě parciálních derivací  : můžeme ukázat (to je důležitý výsledek Cauchyovy teorie), že jakákoli holomorfní funkce na otevřené množině ℂ y je analytická  : to znamená, že v sousedství každého bodu je možné ji vyvinout jako celek série; proto je jakákoli holomorfní funkce neomezeně diferencovatelná a tím spíše připouští spojité částečné derivace na otevřeném místě.

Příklady

• Funkce je třídy C 1 na ℂ, takže je zde ℝ-diferencovatelná; ale není to v žádném okamžiku different -diferencovatelné, protože nikde nesplňuje Cauchy-Riemannovy rovnice. Opravdu, jako  : F:VS→VS,z↦z¯{\ displaystyle f: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}, z \ mapsto {\ bar {z}}} F(z)=X-iy{\ displaystyle \ f (z) = x - \, i \, y}
  •  ∂F∂X(z)=1{\ displaystyle \ {\ frac {\ částečné f} {\ částečné x}} (z) = 1} a  ∂F∂y(z)=-i{\ displaystyle \ {\ frac {\ částečné f} {\ částečné y}} (z) = - i}
  • a pro všechny , .z∈VS{\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}} ∂F∂y(z)≠i ∂F∂X(z){\ displaystyle \ {\ frac {\ částečné f} {\ částečné y}} (z) \ neq i \ {\ frac {\ částečné f} {\ částečné x}} (z)}
• Funkce je třídy C 1 na ℂ, takže je zde ℝ-diferencovatelná; je ℂ -diferencovatelný v 0 a pouze v tomto bodě (není holomorfní na žádném otevřeném, jeho soubor ℂ -diferencovatelnosti je prázdný vnitřek).F:VS→VS,z↦|z|2{\ displaystyle f: \ mathbb {C} \ až \ mathbb {C}, z \ mapsto | z | ^ {2}} {0}{\ displaystyle \ \ {0 \}}
• Tato funkce je holomorphic na ℂ a pro všechny , . Ve skutečnosti, pokud a , když . Máme tedy mít: F:VS→VS,z↦z2{\ displaystyle f: \ mathbb {C} \ až \ mathbb {C}, z \ mapsto z ^ {2}}z∈VS{\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}} F′(z)=2z{\ displaystyle \ f '(z) = 2 \, z}z0∈VS{\ displaystyle z_ {0} \ in \ mathbb {C}}h∈VS∗{\ displaystyle h \ in \ mathbb {C} ^ {*}}F(z0+h)-F(z0)h=2 z0+h→2z0{\ displaystyle {\ frac {f (z_ {0} + h) -f (z_ {0})} {h}} = 2 \ z_ {0} + h \ až 2 \, z_ {0}} h→0{\ displaystyle \ h \ na 0} F(z)=X2-y2+2iXy{\ displaystyle \ f (z) = x ^ {2} -y ^ {2} +2 \, i \, x \, y}
  •  ∂F∂X(z)=2X+2iy=2z{\ displaystyle \ {\ frac {\ částečné f} {\ částečné x}} (z) = 2 \, x + 2 \, i \, y = 2 \, z}
  •  ∂F∂y(z)=-2y+2iX=2iz=i ∂F∂X(z){\ displaystyle \ {\ frac {\ částečné f} {\ částečné y}} (z) = - 2 \, y + 2 \, i \, x = 2 \, i \, z = i \ {\ frac { \ částečné f} {\ částečné x}} (z)}(Cauchy-Riemannovy rovnice v bodě z )
• Omezující charakter podmínky holomorphy je obzvláště pozoruhodný, když použijeme Cauchy-Riemannovy podmínky na funkci se skutečnou hodnotou definovanou na otevřeném ℂ: dva parciální deriváty vzhledem k x a y musí být pak nulové a funkce musí být být lokálně konstantní! Jinými slovy, holomorfní funkce se skutečnými hodnotami na připojené množině ℂ se nutně redukuje na konstantu.

Například funkce argumentu z (reálná a ne konstantní) není holomorfní. Můžeme snadno ověřit, že Cauchy-Riemannovy rovnice nejsou splněny, protože jeho parciální derivace jsou deriváty arktanu ( y / x ). Je zřejmé, že je to stejné pro funkci modulu z (reálné a ne konstantní).

Poznámky a odkazy

Podívejte se také

Bibliografie

• Walter Rudin , Reálná a komplexní analýza [ detail vydání ]

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">