Analytická funkce

V matematiky , a přesněji v analýze , An analytické funkce je funkce na reálné nebo komplexní proměnné , která je rozvinutelné v celé řadě v blízkosti každého z bodů jeho domény definice , která znamená, že pro všechny z této doména, existuje sekvence poskytující výraz funkce, platná pro všechny velmi blízké , ve formě konvergentní řady  : X0{\ displaystyle x_ {0}} (nane){\ displaystyle (a_ {n})}X{\ displaystyle x}X0{\ displaystyle x_ {0}}

F(X)=∑ne=0+∞nane(X-X0)ne.{\ displaystyle f (x) = \ součet _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n} (x-x_ {0}) ^ {n}.}

Libovolná analytická funkce je derivovatelná z analytické derivace, což znamená, že jakákoli analytická funkce je neomezeně diferencovatelná , ale obrácení je v reálné analýze nepravdivé . Na druhé straně, v komplexní analýzy , jakékoliv funkce, která je jednoduše diferencovatelná na otevřený je analytické a ověřuje mnoho dalších vlastností.

Ať už jde o skutečnou nebo složitou proměnnou, analytická funkce na připojené otevřené množině a ne identicky nulová má své izolované nuly . Tato vlastnost vyvolává jedinečnost tohoto analytického pokračování na jakýkoli připojený otevřený.

Definice

Dovolit být funkcí komplexní proměnné, kde je otevřeno . Říkáme, že funkce je analytická na jestli za všechno , existuje posloupnost komplexních čísel a skutečná tak, že za všechno , to znamená, že za všechno v (otevřený) disk od středu a poloměr , převzaté součástí , my mít: F:U→VS{\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {C}}U{\ displaystyle U}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}F{\ displaystyle f}U{\ displaystyle U}na∈U{\ displaystyle a \ v U}(nane){\ displaystyle (a_ {n})}r>0{\ displaystyle r> 0}z∈D(na,r){\ displaystyle z \ v D (a, r)}z{\ displaystyle z}na{\ displaystyle a}r{\ displaystyle r}U{\ displaystyle U}

F(z)=∑ne=0+∞nane(z-na)ne{\ displaystyle f (z) = \ součet _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n} (za) ^ {n}}

Jinými slovy, funkce je analytická, pokud je rozvinutelná v celočíselných řadách v sousedství každého bodu otevřené sady definic.

Celkově se říká, že analytická funkce je celé číslo . VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}

Vlastnosti

• Pokud je funkce komplexní proměnné analytická, pak je holomorfní . K tomuto tvrzení existuje také vzájemnost: jakákoli holomorfní funkce na otevřeném je analytická.
• Kromě toho je analytická funkce neomezeně diferencovatelná (ve složitém smyslu viz holomorfní funkce ) a n- ta derivace v bodě je v souladu s notacemi uvedenými v definici. To dokazuje, že vývoj řady celočíselných v okolí každého bodu města je jedinečná; stále se tomu říká vývoj Taylorových sérií .na∈U{\ displaystyle a \ v U}F(ne)(na)=ne!nane{\ displaystyle f ^ {(n)} (a) = n \ ,! \, a_ {n}}F{\ displaystyle f}na{\ displaystyle a}U{\ displaystyle U}
• Sada analytických funkcí na otevřeném je algebra  : součin konstanty analytické funkce, součet a součin analytických funkcí jsou analytické.
• Když je definován, složený z analytických funkcí je analytický.
• Jakákoli celá řada poloměru nenulového konvergence definuje na svém konvergenčním disku analytickou funkci. To není triviální, protože celá řada je apriori vývojem v sousedství jediného bodu.

Příklady a protiklady

• Každá polynomiální funkce je celé číslo. Vzhledem k polynomické funkci jsou podmínky jejího vývoje v celočíselných řadách v sousedství libovolného bodu nulové od určité pozice, kde je stupeň polynomu. Získáváme jeho vývoj v jednom bodě od jeho vývoje v jiném bodě pomocí Newtonova binomického vzorce  : s .VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}d+1{\ displaystyle d + 1}d{\ displaystyle d}z0{\ displaystyle z_ {0}}P(z)=∑ne=0dnanezne=∑k=0dbk(z-z0)k{\ displaystyle P (z) = \ součet _ {n = 0} ^ {d} a_ {n} z ^ {n} = \ součet _ {k = 0} ^ {d} b_ {k} (z-z_ {0}) ^ {k}}bk=∑ne=kdnane(nek)z0ne-k{\ displaystyle b_ {k} = \ součet _ {n = k} ^ {d} a_ {n} {n \ zvolit k} z_ {0} ^ {nk}}
• Exponenciální funkce daná číslem je celé číslo.exp⁡(z)=∑ne=0+∞znene!{\ displaystyle \ exp (z) = \ součet _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {z ^ {n}} {n!}}}
• Funkce je analyticky zapnutá .F:VS∗→VS,z↦z-1{\ displaystyle f: \ mathbb {C} ^ {*} \ to \ mathbb {C}, z \ mapsto z ^ {- 1}}VS∗{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}
• Funkce není analytická: ukazuje se, že připouští derivaci (v komplexním smyslu) pouze v 0.VS→VS,z↦|z|2=zz¯{\ displaystyle \ mathbb {C} \ až \ mathbb {C}, z \ mapsto | z | ^ {2} = z {\ overline {z}}}
• Funkce není analytická: nepřipouští derivaci (v komplexním smyslu) v žádném bodě .VS→VS,z↦RE(z)=z+z¯2{\ displaystyle \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}, z \ mapsto \ mathrm {Re} (z) = {\ frac {z + {\ overline {z}}} {2}}}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}

Poslední dvě funkce však připouštějí částečné derivace všeho druhu (jsou třídy jako funkce dvou reálných proměnných). Nejsou analytické, protože množina bodů, kde ověřují Cauchy-Riemannovy rovnice, je prázdný vnitřek (u prvního je zmenšen na {0} a u druhého prázdný). VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}

• Funkce pro a není analytická na 0 (i když je třídy na ); má ve skutečnosti v 0 identicky nulovou Taylorovu řadu , a která tedy konverguje k funkci až v tomto bodě. Další protiklady z reálného života najdete v článku „  Taylor Series  “.R→R,X↦E-1/X2{\ displaystyle \ mathbb {R} \ až \ mathbb {R}, x \ mapsto \ mathrm {e} ^ {- 1 / x ^ {2}}}X≠0{\ displaystyle x \ neq 0}0↦0{\ displaystyle 0 \ mapsto 0}VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

Hlavní věty

Jakákoli analytická funkce na otevřeném prostoru připouští analytické prodloužení na určitém otevřeném prostoru kontejneru . Já{\ displaystyle I}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}Já{\ displaystyle I}

Nyní uvažujeme připojený otevřený soubor z (spojení hypotéza je nezbytné) a analytickou funkci. U{\ displaystyle U}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}F:U→VS{\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {C}}

Princip analytického rozšíření

Pro každý bod z , čtyři tyto problémy jsou pak ekvivalentní (důkaz se navrhuje v článku „  Analytické rozšíření  “): na{\ displaystyle a}U{\ displaystyle U}

1. F{\ displaystyle f}je shodně nulová  ;U{\ displaystyle U}
2. F{\ displaystyle f}je identicky nulová v okolí města  ;na{\ displaystyle a}
3. pro nějaké přirozené číslo ,  ;ne{\ displaystyle n}F(ne)(na)=0{\ displaystyle f ^ {(n)} (a) = 0}
4. F{\ displaystyle f}je shodně nula na množině bodů, které mají akumulační bod v .U{\ displaystyle U}

Důsledkem této věty je, že pokud analytická funkce na připojené otevřené množině zmizí na disku o poloměru, jakkoli malém, pak jde o nulovou funkci. Lze to interpretovat v důsledku jedinečnosti teorie analytického pokračování: pokud se dvě analytické funkce shodují v sousedství bodu spojeného otevřeného, ​​pak jsou tyto dvě funkce v tomto otevřeném stejné.

Princip izolovaných nul

Přesnější Důsledkem je, že pokud není funkce nulový, pak všechny její nuly jsou izolovány , to znamená, že pro každý bod z případně mizí, existuje disk se středem v , součástí , na které neruší při jakékoliv jiný bod než . F{\ displaystyle f}na{\ displaystyle a}U{\ displaystyle U}F{\ displaystyle f}na{\ displaystyle a}U{\ displaystyle U}F{\ displaystyle f}na{\ displaystyle a}

Proto, pokud není konstantní , pak „není konstantní v každém místě“, který znamená, že na každém místě z existuje disk střed v , který je součástí , na které nebere hodnotu v každém bodě. Další bod než . F{\ displaystyle f}na{\ displaystyle a}U{\ displaystyle U}na{\ displaystyle a}U{\ displaystyle U}F{\ displaystyle f}F(na){\ displaystyle f (a)}na{\ displaystyle a}

Dedukujeme, že žádná nekonstantní analytická funkce nemůže mít svůj obraz obsažený v reálném vektorovém prostoru dimenze 1 (zejména není obsažen v ℝ). Ve skutečnosti, protože je to kontinuální, protože analytické, měla by existovat obrysová čára , ale výše uvedený výsledek to zakazuje. F:U→VS{\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {C}}F(U){\ displaystyle f (U)}F(U){\ displaystyle f (U)}F{\ displaystyle f}

Open image teorém

Pokud je f nekonstantní analytická funkce na otevřeném U , pak je f ( U ) otevřená.

To lze prokázat z principu izolovaných nul.

Princip maxima

Nechť f nekonstantní analytické funkce v doméně D . Z věty otevřeného obrazu okamžitě odvodíme:

• modul f nemá lokální maximum v D . Takže pokud | f | dosahuje svého maxima, například, pokud D je ohraničena a f kontinuální adheze D , pak se tento maximální se nachází na rozhraní D . Obecněji řečeno, holomorfní a ohraničená funkce na doméně D, ohraničená nebo ne, spojitá s adhezí D, uspokojuje vlastnost, že horní hranice jejího modulu na D se rovná horní hranici jejího modulu na hranici D ;
• pokud f nezmizí nad D, pak | f | ani v D nemá místní minimum  ;
• reálná část z f má ani lokální maximum ani lokální minimum v D.

Dedukujeme zejména Schwarzovo lema .

Obecněji řečeno, jakákoli subharmonická funkce (jako | f | a pokud f nezmizí, 1 / | f |) splňuje princip maxima, proto jakákoli harmonická funkce (jako Re ( f )) splňuje princip maxima a minimální.