Tyto soutěže rovnice Lotka-Volterra jsou modely fenomenologické jednoduché populační dynamice v soutěži. Jejich výraz je podobný výrazu predátorských rovnic Lotka-Volterra pro predaci.
Uvažujme dvě konkurenční populace N 1 a N 2 , sledující logistickou dynamiku s rychlostí růstu r 1 (respektive r 2 ) a nosností K 1 (respektive K 2 ). Soutěžní rovnice Lotka-Volterra přidávají pojem modelování interakce mezi těmito dvěma druhy:
Zde α 12 představuje účinek druhu 2 na populaci druhu 1 a naopak α 21 představuje účinek druhu 1 na druh 2. Hodnoty α 12 a α 21 nemusí být nutně stejné, navíc každý druh může mít výrazná rychlost růstu a nosnost.
V případě striktního soutěžního modelu jsou interakce škodlivé, takže hodnoty α jsou všechny pozitivní. Pokud α 12 a α 21 nemají stejné znaménko, jedna ze dvou populací věří na úkor druhé (což lze interpretovat jako predace nebo parazitismus), pokud jsou oba termíny negativní, mají obě populace pozitivní vliv na druhý (který lze interpretovat jako vzájemnost, ale v praxi se zřídka používá, protože umožňuje populacím růst na neurčito). K dispozici je úplná klasifikace dynamiky tohoto systému.
Tento model lze zobecnit na libovolný počet konkurenčních druhů:
Kde R je počet konkurenčních druhů (nebo specifická bohatost ). V tomto případě je praktické představovat pojmy rychlosti růstu r i ve formě vektoru a pojmy interakce α ij ve formě matice (nazývané interakční matice). Všimli jsme si vzhledu intra-specifického soutěžního výrazu a ii , jehož hodnota je obecně stanovena na 1 kvůli konzistenci s modelem logistického růstu .
Asymptotické chování modelu dvou druhů lze snadno prozkoumat provedením izoklinové analýzy : grafická analýza polohy nulových izoklinů (křivky, podél nichž je růst druhu nulový) ve fázovém prostoru, který je rovinou ( N 1 , N 2 ).
Každý druh i má dva izokliny, řešení rovnice :
Známka efektivní rychlosti růstu druhů i se mění na obou stranách izoklinu (pozitivní níže, negativní výše), takže populace nevyhynulého druhu má sklon k jeho netriviálnímu izoklinu.
Okamžitě si všimneme, že pokud jeden ze dvou druhů vyhynul ( ), ocitneme se přesně v případě modelu logistického růstu . To platí také v případě, že ostatní druhy mají pevnou ( konstantní) úroveň populace, ale nosnost je pak .
U počátečních podmínek, kdy jsou přítomny oba druhy, jsou v závislosti na relativní poloze dvou netriviálních izoklinů pozorovány čtyři typy chování:
Tyto rovnováhy tohoto systému jsou body, kde se obě sloučeniny se vzájemně vyruší současně (to jsou průsečíky mezi isoclines obou druhů). Existují nejméně tři: (0,0) odpovídající vyhynutí dvou druhů (průnik mezi triviálními izokliny) a (K 1 , 0) a (0, K 2 ) odpovídající konkurenčnímu vyloučení obou druhů . Existuje čtvrtý, pokud se dva netriviální izokliny protínají s kladnými hodnotami (N 1 , N 2 ) (v případech 3 nebo 4).
Stabilita z rovnováhy lze studovat pomocí znamení eigenvalues Jacobian matice soustavy v těchto bodech. Tím se formalizují podmínky stabilního soužití obou druhů a vytvoří se základ pro teorii soužití ( in ).
Pro zjednodušení použijeme případ kde (r 1 > 0 a r 2 > 0, K 1 = K 2 = 1).
Stabilní soužití těchto dvou druhů je možné pouze tehdy, pokud jsou obě konkurenční vylučovací rovnováhy současně nestabilní. To znamená, že pokud je 12 <1 a 21 <1. Ekologickou interpretací tohoto stavu je potřeba mezidruhové konkurence (jejíž intenzita je reprezentována parametry a 21 a 12 ) nebo více nižší než vnitrodruhová konkurence (jejíž intenzita je zde 1, ale lze ji parametrizovat pomocí 11 = K 2 / K 1 a 22 = K 1 / K 2 jako v). Intenzita mezidruhové konkurence závisí na příslušných ekologických výklencích obou druhů.
Soutěžní model Lotka-Volterra je fenomenologický v tom smyslu, že popisuje jev, aniž by specifikoval mechanismus, který jej způsobuje. Má tedy tu výhodu, že jej lze použít jako aproximaci pro mnoho složitějších systémů, ale jeho prediktivní síla je poměrně nízká. I když není určen pro konkrétní mechanismus, je možné navrhnout několik mechanistických interpretací.