Událost (pravděpodobnosti)

V teorii pravděpodobnosti je událost související s náhodným experimentem podmnožinou možných výsledků pro tento experiment (tj. Určitou podmnožinou vesmíru související s experimentem). Vzhledem k tomu, že událost je často definována propozicí, musíme být schopni říci, znát výsledek náhodného experimentu, ať už byla událost během tohoto experimentu realizována či nikoli.

Zvažte například náhodný experiment válcování šestistranné matrice. Jeho výsledek je dán, když se kostra zastaví, počtem bodů nesených horní částí kostky. Sada možných výsledků kostky je tedy sada {1,2,3,4,5,6}. Ve smyslu uvedeném výše představuje množina {2,4,6}, která je podmnožinou možných výsledků, událost. Lze jej také formulovat záměrně propozicí: dosáhnout rovnoměrného výsledku .

Pokud hodíme kostkou a získáme 5 jako výsledek, řekneme, že událost se ziskem sudého výsledku se neprovede. V úmyslu je to odůvodněno skutečností, že 5 není sudé. S odle set-přístup je odůvodněn tím, že . Na druhou stranu, pokud získáme 2 jako výsledek, řekneme, že událost, která získá sudý výsledek, se provede, protože 2 je sudé nebo protože . Můžeme si ponechat, že podle stanovené vize je událost realizována experimentem právě tehdy, když výsledek tohoto experimentu patří k události (jako celek). 5∉{2,4,6}{\ displaystyle 5 \ notin \ {2,4,6 \}}2∈{2,4,6}{\ displaystyle 2 \ v \ {2,4,6 \}}

Stanovená vize je relevantnější než úmyslná vize, když chceme popsat v obecné rovině kombinace událostí, jejich pravděpodobnosti atd. Například, jestliže A a B jsou dvě události, společná akce, určené pro návrh A a B odpovídá křižovatka set-: . Stále na příkladu jednoho hodu, protože věděl, že tato událost získání výsledek vyšší než 3 , je množina {4,5,6}, společná akce získání dokonce vést k větší než 3 je sada: . Opakem události je její doplněk v souboru možností. Pro kostku je získání výsledku, který není rovnoměrný, doplňkem {2,4,6} v {1,2,3,4,5,6}, to znamená množině {1,3,5} . A konečně, vize sady je také vhodná pro definování pravděpodobnosti události, protože je stejná (v diskrétním případě), k poměru kardinála události (jako množina) ke kardinálovi množiny možných výsledků. Pro náš příklad kostky: NA∩B{\ displaystyle A \ cap B}{2,4,6}∩{4,5,6}={4,6}{\ displaystyle \ {2,4,6 \} \ čepice \ {4,5,6 \} = \ {4,6 \}}

P(dosáhnout rovnoměrného výsledku)=vs.nard({2,4,6})vs.nard({1,2,3,4,5,6})=36=0,5{\ displaystyle \ mathbb {P} ({\ text {získat sudý výsledek}}) = {\ frac {karta (\ {2,4,6 \})} {karta (\ {1,2,3,4 , 5,6 \})}} = {\ frac {3} {6}} = 0,5}

Definice

Nechť vesmír z náhodného pokusu , kmen na a probabilizable prostor takto představoval. Každá část, která náleží kmenu, se nazývá událost . Ω{\ displaystyle \ Omega}NA{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}Ω{\ displaystyle \ Omega}(Ω,NA){\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {A}} \ right)}Ω{\ displaystyle \ Omega}NA{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}

Pokud událost sestává z jediného prvku, mluvíme o elementární události .

Speciální případy

Vesmír je událost, která by spojovala všechny možné výsledky, tzv určitá událost . Ω{\ displaystyle \ Omega}

Prázdná množina je událost, volal nemožná událost . ∅{\ displaystyle \ emptyset}

Pro vše, co patří k , představující možný výsledek, je singleton událost, která se nazývá elementární událost . ω{\ displaystyle \ omega}Ω{\ displaystyle \ Omega} {ω}{\ displaystyle \ {\ omega \}}

Příklady

Předpokládejme, že uvažovaným náhodným experimentem je házení mince. Vesmír zkušenosti pak má dva možné výsledky, hlavy a ocasy , a pro tuto zkušenost můžeme definovat kmen čtyř událostí: Ω{\ displaystyle \ Omega}

1. elementární událost { stack };
2. elementární událost { face };
3. určitá událost = { hlavy , ocasy }, to znamená nakreslit buď hlavy nebo ocasy  ;Ω{\ displaystyle \ Omega}
4. nemožná událost , to znamená neházet hlavy nebo ocasy .∅{\ displaystyle \ varnothing}

Předpokládejme, že máme na stole 52 karet a dva žolíky a vytáhneme jednu kartu. Tažení určité karty ve vesmíru 54 karet pak představuje elementární událost . Podmnožiny (včetně základních událostí) se jednoduše nazývají „události“. Události z tohoto vesmíru mohou být:

• Sada „Získejte krále“ složená ze 4 králů (sada čtyř základních událostí),
• „Získejte kartu srdce“ (sada 13 karet)
• „Získejte figurku“ (sada 12 karet).

Předpokládejme, že automobilová pojišťovna zvažuje vzorek motoristů představujících určitá rizika. Události, které budou brány v úvahu, mohou nebo nemusí překročit celkovou částku nároků vyšší než odpočitatelnou. Pojem událost v pravděpodobnostech tedy není totožný s pojmem výsledek. Definice událostí může záviset například na naší koncepci rizika (nebo naopak štěstí).

Nastavit operace s událostmi

Události jsou sady výstupů, můžeme na ně aplikovat všechny obvyklé operace operací .

Zvažte dvě události. NA,B∈NA{\ displaystyle A, B \ v {\ mathcal {A}}}

• Říkáme komplementární k poznamenal nebo , sadu eventuality, které nepatří do žádné . NA{\ displaystyle A}NAVS{\ displaystyle A ^ {C}}NA¯{\ displaystyle {\ bar {A}}}NA{\ displaystyle A}
  • NAVS{\ displaystyle A ^ {C}}je dosaženo tehdy a jen tehdy, není-li dosaženo.NA{\ displaystyle A}
  • Formálně, my máme: .NAVS={ω∈Ω∣ω∉NA}{\ displaystyle A ^ {C} = \ {\ omega \ in \ Omega \ mid \ omega \ notin A \}}
• Jeden volá spojení nebo shledání událostí, poznamenal (číst "svazek B"), shledání jejich nepředvídaných událostí. NA∪B{\ displaystyle A \ pohár B}
  • NA∪B{\ displaystyle A \ pohár B} je realizováno, pokud dojde k jedné ze dvou událostí (nebo k oběma).
  • Formálně, my máme: .NA∪B={ω∈Ω∣(ω∈NA)∨(ω∈B)}{\ displaystyle A \ cup B = \ {\ omega \ v \ Omega \ mid (\ omega \ v A) \ lor (\ omega \ v B) \}}
• Říkáme křižovatce nebo konjunkci zaznamenaných událostí (čtěte „A inter B“), množině náhodných událostí, které jsou pro ně společné. NA∩B{\ displaystyle A \ cap B}
  • NA∩B{\ displaystyle A \ cap B} je realizováno, pokud jsou tyto dvě události prováděny současně.
  • Formálně, my máme: .NA∩B={ω∈Ω∣(ω∈NA)∧(ω∈B)}{\ displaystyle A \ cap B = \ {\ omega \ v \ Omega \ mid (\ omega \ v A) \ land (\ omega \ v B) \}}
• Nastavený rozdíl událostí nazýváme (čtěte „A minus B“), množinou eventualit, ke kterým patří, ale nikoli . NA∖B{\ displaystyle A \ setminus B}NA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}
  • NA∖B{\ displaystyle A \ setminus B}je dosaženo, pokud je dosaženo, zatímco není.NA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}
  • Formálně, my máme: .NA∖B={ω∈NA∣ω∉B}{\ displaystyle A \ setminus B = \ {\ omega \ v A \ mid \ omega \ notin B \}}

Nastavit vztahy mezi událostmi

Zvažte dvě události. Tak: NA,B∈NA{\ displaystyle A, B \ v {\ mathcal {A}}}

• Události jsou považovány za disjunktní, pokud nemají společnou eventualitu, to znamená pokud .NA∩B=∅{\ displaystyle A \ cap B = \ varnothing}

• Říkáme, že je to zahrnuto v , a všimneme si, zda všechny nepředvídané události patří . Realizace události pak automaticky implikuje událost .NA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}NA⊂B{\ displaystyle A \ podmnožina B}NA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}NA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}

Nastavit výrazy náhodných událostí

Nechť A, B, C jsou tři události.

Crescendo, experimentu se představí šest pravděpodobných případů:

• Nedojde k žádné události:

NA¯ ∩ B¯ ∩ VS¯ {\ displaystyle {\ bar {A}} \ \ cap \ {\ bar {B}} \ \ cap \ {\ bar {C}} \}

• Nastane přesně jedna událost:

(NA∖(B∪VS)) ∪ (B∖(VS∪NA)) ∪ (VS∖(NA∪B)) {\ displaystyle \ left (A \ zpětné lomítko (B \ cup C) \ right) \ \ cup \ \ left (B \ backslash (C \ cup A) \ right) \ \ cup \ \ left (C \ backslash (A \ hrnek B) \ vpravo) \}

• Nastane alespoň jedna událost:

NA ∪ B ∪ VS {\ displaystyle A \ \ pohár \ B \ \ pohár \ C \}

• Dvě události na více vyskytují:

NA¯ ∪ B¯ ∪ VS¯ {\ displaystyle {\ bar {A}} \ \ pohár \ {\ bar {B}} \ \ pohár \ {\ bar {C}} \}

• Nastanou alespoň dvě události:

(B∩VS) ∪ (VS∩NA) ∪ (NA∩B) {\ displaystyle \ left (B \ cap C \ right) \ \ cup \ \ left (C \ cap A \ right) \ \ cup \ \ left (A \ cap B \ right) \}

• Nastanou všechny tři události:

 NA ∩ B ∩ VS {\ displaystyle \ A \ \ čepice \ B \ \ čepice \ C \}

(Vzorce lze zobecnit na množinu událostí.)