Prázdná sada

V matematice je prázdná množina je soubor , který obsahuje žádné elementy.

Hodnocení

Prázdnou množinu lze označit přeškrtnutým O , konkrétně ∅ nebo jednoduše {}, což je dvojice složených závorek obsahujících pouze jednu mezeru , která představuje množinu, která neobsahuje nic. Hodnocení ∅ zavedl André Weil jako součást instituce hodnocení skupinou Bourbaki . Von Neumann ve svém článku z roku 1923, který je jedním z prvních odkazů na adresy, poznámky O .

Vlastnosti

Pro jakoukoli sadu A :

prázdná množina je podmnožina z A :∅ ⊂ A ;
union of A s prázdnou množinou je : ∅ ∪ A = A ∪ ∅ = A , buď: prázdná množina je pro shledání neutrální ;
křižovatka of A s prázdnou množinou je prázdná množina: ∅ ∩ A = A ∩ ∅ = ∅, buď: prázdná sada je absorpční pro křižovatku;
jedinou podmnožinou prázdné sady je samotná prázdná sada: A ⊂ ∅ ⇔ A = ∅, proto je množina podmnožin prázdné množiny singleton , jehož prvkem je prázdná množina :; ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ varnothing) = \ {\ varnothing \}}$
kartézský součin z A do prázdná množina je prázdná: A × ∅ = ∅ × A = ∅, buď: prázdná sada je absorpční pro kartézský součin;
pokud není prázdný, soubor mapování z A na prázdnou množinou je prázdná: A ≠ ∅ ⇒ ∅ A = ∅;
množina map prázdné množiny v A je singleton, jehož prvkem je „prázdná mapa ∅ v A “ (grafu ∅). Pokud to označíme ∅ A , máme tedy: A ∅ = {∅ A }. Například {0, 1} ∅ = {∅ {0, 1} }, což je v souladu s ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ varnothing) = \ {\ varnothing \}}$ výše uvedenou rovností .

Sjednocení rodiny sad indexovaných ∅ se rovná ∅.

Křižovatka rodiny sady indexovaných ∅ se není definována bez odkazu na soubor, který je všechny obsahuje . V takovém případě se to rovná druhému.

∅ je konečný ; jeho mohutnost je 0: karta (∅) = 0.

∅ připouští jedinečnou topologii , která je {∅}. Je to jak hrubé (tedy tento topologický prostor je spojen ) a diskrétní (tedy tento prostor je kompaktní , stejně jako všechny diskrétní konečného místa).

∅ připouští jedinečný kmen , který je {∅} ( hrubý a diskrétní ).

Dvě sady jsou stejné, pokud obsahují stejné prvky; To je axiom extensionality z teorie množin . Proto může existovat pouze jedna sada, která neobsahuje žádné prvky, takže pouze jedna prázdná sada.

V některých variantách teorie množin můžeme zavést „objekty“ zvané ur-prvky , které také nemají žádné prvky a mohou být také prvky množin, které ale na rozdíl od prázdné množiny nejsou množinami.

Jemnost pojmu prázdná množina

Prázdná sada neobsahuje nic , ale protože se jedná o sadu, není to nic . To je základ, na kterém se von Neumann spoléhá na konstrukci celých čísel a řadových čísel .

Zápis {∅} nemá stejný význam jako zápis ∅; množina označená ∅ nemá žádný prvek (protože je to prázdná množina), zatímco množina označená {∅} jeden má (tento prvek je prázdná množina). Kromě toho von Neumann definuje 0 jako ∅ a 1 jako {∅}.

Připomeňme, ( viz výše ), že prázdná množina je podmnožina nějaký soubor A , tj. Pro každou prvek x o ∅, x patří A , která je formálně napsán: (∀ x ∈ ∅) x ∈ . Obecněji, prohlášení o tvaru (∀ x ∈ ∅) P ( x ) (en) , což je zkratka pro ∀ x ( x ∈ ∅ ⇒ P ( x )), je vždy pravdivý , např Falso Quodlibet .

Axiom založení se uvádí, že každá posloupnost konce, a proto existuje taková, že v tomto pořadí ,. ${\ displaystyle x_ {0} \ ni x_ {1} \ ni x_ {2} \ ldots}$ $ne$ ${\ displaystyle x_ {n} = \ varnothing}$

Prázdná množina v axiomatické teorii množin

Prázdná množina má zásadní význam v nastaveném teorii nebo teorie ZFC , její existence je zajištěna axiomu prázdné množině . Jeho jedinečnost pochází z axiomu extenzivity .

Navíc můžeme pomocí schématu axiomů porozumění demonstrovat , že existence libovolné množiny implikuje axiom prázdné množiny, který se vyhne, když formalizujeme teorii množin v logice prvního řádu, apelovat na konkrétní axiom pro existenci prázdné množiny (viz axiom prázdné sady ).

Intuicionistický pohled

Říká se, že podle definice je sada obývána (ne), pokud má alespoň jednu.

Proto:

obydlená množina není prázdná,

Jeho reciproční zní takto:

je neobývaná množina,

a lze jej formulovat:

množina, která není ∅, má alespoň jeden prvek.

Uplatňování její rovnocennosti s obydlenou množinou je neprázdné, vyžaduje vyloučenou třetí stranu, a proto není platné v logice intuice .

Máme také větu:

Princip vyloučené třetiny je ekvivalentní s tvrzením, že je obýván každý neprázdný soubor

Kategorické hledisko

Prázdnou množinu lze velmi jednoduše charakterizovat jako předmět kategorie množin . Je to skutečně jediný objekt s následující vlastností:

Pro libovolnou množinu E existuje jedna a pouze jedna šipka od ∅ do E.

V případě této kategorie znamená šipka aplikaci . Obecněji se objekt, který má v kategorii tuto vlastnost, nazývá počáteční objekt .

Poznámky a odkazy

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku Wikipedie v angličtině s názvem „ Prázdná sada “ ( viz seznam autorů ) .

unicode má tři odlišné znak U + 2205 (∅) na prázdné množiny, U + 00D8 ( Ř ) písmeno abecedy dánského a U + 2300 (s průměrem) představující průměr o kruhu . Tyto tři postavy mají tvar kruhu přeškrtnutého čárou od jihozápadu k severovýchodu. Je snazší je odlišit od velkého písmene Phi řecké abecedy (Φ), které se skládá z kruhu přeškrtnutého svislou čarou. Přeškrtnutý kruh také není přeškrtnutou nula . TeX má minimálně dvě kouzla a . $\ prázdná sada$ $\ varnothing$
(in) Jeff Miller „ Nejčasnější použití symbolů teorie množin a logiky “ na http://jeff560.tripod.com .
Johann von Neumann , „ Zur Einführung der transfiniten Zahlen “, Acta litterarum ac scientiarum Ragiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, Sectio scientiarum mathematicarum , sv. 1,1923, str. 199-208 ( číst online ).
John von Neumann , „O zavedení transfinitních čísel“ , v Jean van Heijenoort, Od Frege po Gödel: Zdrojová kniha v matematické logice, 1879-1931 , Harvard University Press,ledna 2002, 3. vyd. ( ISBN 0-674-32449-8 , číst online ) , s. 346-354.
velmi přesně, podle definice aplikace , to je trojnásobný (∅, A, ∅).
Předpona „Ur“ pochází z tohoto německého výrazu, což znamená „originál“.
Tento pojem je kvůli Brouwer , viz (en) Pierre Ageron , Logiques, sady kategorií: konstruktivní hledisko , Paris, elips , coll. "Matematika pro 2. cyklus",2000( ISBN 978-2-7298-0245-5 ) , kap. 3 („Sady“) , s. 3 11.
Tvrzení v intuitivní logice, že je obýván celek, předpokládá, že máme prostředky k budování obyvatele. Avšak tím, že prohlásíme, že „je obydlena neprázdná množina“ , takovou konstrukci neposkytujeme, takže tuto vlastnost nelze přijmout, jak je to v intuiční logice.
Ageron 2000 , str. 11.

Podívejte se také

Související články

Bibliografie

Roger Godement , Matematická analýza I: Konvergence, Základní funkce , Springer ,2001, 2 nd ed. ( 1 st ed. , 1998) ( číst on-line ) , str. 9-11