Analýza citlivosti

Analýza citlivosti je studium toho, jak lze nejistotu výstupu kódu nebo systému (digitálního nebo jiného) připsat nejistotě v jeho položkách. To zahrnuje odhad indexů citlivosti, které kvantifikují vliv vstupu nebo skupiny vstupů na výstup.

Úvod

Aplikace

Analýza citlivosti může být užitečná pro mnoho aplikací:

Vyzkoušejte robustnost modelu nebo systému v případě nejistoty.
Lepší pochopení vztahů mezi vstupní a výstupní proměnnou v systému nebo modelu.
Snížení nejistoty prostřednictvím identifikace vstupů modelu, které způsobují významnou nejistotu ve výrobě, a proto by mělo být středem pozornosti.
Hledání chyb v modelu (neočekávaným setkáním vztahů mezi vstupy a výstupy).
Zjednodušení modelu, oprava vstupů, které nemají žádný vliv na výstup, nebo identifikace a odstranění nadbytečných částí struktury modelu.
Zlepšení komunikace mezi modeláři a osobami s rozhodovací pravomocí (například formulováním důvěryhodnějších, srozumitelnějších, přesvědčivějších nebo přesvědčivějších doporučení).
Najděte oblasti ve vstupním prostoru, pro které je výstup modelu maximální nebo minimální, nebo splňuje určité kritérium optimality (viz optimalizace a metoda Monte Carlo ).
Při kalibraci modelů s velkým počtem parametrů může analýza citlivosti usnadnit úpravu parametrů zaměřením na citlivé parametry. Aniž byste věděli o citlivosti parametrů, můžete zbytečně strávit čas a úsilí úpravou necitlivých parametrů.
Snažte se identifikovat důležité vazby mezi pozorováním, vstupy do modelu a předpovědí nebo prognózami, které vedou k vývoji lepších modelů.

Zápisy a slovní zásoba

Předmětem studia citlivostní analýzy je funkce (nazývaná „ matematický model “ nebo „ kód “). Lze to vidět jako černou skříňku, ze které známe pouze její východ . Jeho položky jsou zaznamenány . Toto jsou nastavení černé skříňky, která ovlivňují výstup systému. $F$ $Y$ ${\ displaystyle X_ {1}, ..., X_ {p}}$

Y=F(X){\ displaystyle Y = f (X)} ${\ displaystyle Y = f (X)}$ s . ${\ displaystyle X = (X_ {1}, ..., X_ {p})}$

Problémy

Volba metody analýzy citlivosti se obecně určuje tak, aby splňovala omezení daná funkcí . Nejběžnější jsou: $F$

Náklady na výpočet: kromě velmi vzácných případů vyžaduje analýza citlivosti mnohokrát vyhodnocení . Překážkou se stává, když: F{\ displaystyle f} $F$
- Jedno provedení kódu trvá dlouho (obvykle se jedná o případ).
- Kód má velký počet záznamů. Prostor k prozkoumání je příliš velký (viz „Prokletí dimenzionality“ ).
Korelované vstupy: předpoklad nezávislosti mezi vstupy modelu výrazně zjednodušuje analýzu citlivosti, ale někdy nelze opomenout, že vstupy jsou silně korelované. Při analýze je pak třeba vzít v úvahu korelace mezi vstupy.
Nelineárnost: v závislosti na tom, zda je analyzovaný kód lineární nebo ne, budou upřednostňovány různé techniky ( lineární regresní skóre, pokud je lineární, skóre založené na rozptylu, pokud není).
Interakce: mají- li vstupy pouze aditivní účinky, říkáme, že neinteragují. Pak jsou použitelné určité jednoduché techniky (mračno bodů, OAT). Pokud tomu tak není, jsou více indikovány jiné techniky (výpočet jednoduchých a celkových Sobolových indexů).
Více nebo funkční výstupy: obecně se zavádí pro kódy s jediným výstupem, analýza citlivosti se vztahuje i na případy, kdy je výstup Y vektor, funkce, časová řada nebo pole.
Z dat: stane se, že nemáme možnost vyhodnotit kód na všech požadovaných bodech. Výstup kódu je k dispozici pouze v daných bodech (například pro retrospektivní analýzu nebo nereprodukovatelný experiment). Odezva kódu v jiných než uvedených bodech musí být poté odvozena ze známých bodů. Poté sestavíme statistický model kódu (neboli „meta-model“).
Stochastický kód: o kódu se říká, že je deterministický, když pro několik vyhodnocení kódu se stejnými vstupy získáme vždy stejný výstup. Pokud tomu tak není (i přes identické vstupy je výstup odlišný), je kód považován za stochastický. Potom je nutné oddělit variabilitu výstupu kvůli variabilitě vstupů od variability kvůli stochastickému charakteru.

Metodiky

Existuje celá řada přístupů k provádění analýzy citlivosti, z nichž mnohé byly vyvinuty k řešení jednoho nebo více výše diskutovaných omezení. Vyznačují se také typem měření citlivosti (rozklad rozptylu, parciální derivace , elementární efekty atd.). Obecně platí, že ve většině postupů se nachází následující plán:

Kvantifikujte nejistotu v každé položce (možné rozsahy hodnot, rozdělení pravděpodobnosti). To může být problém sám o sobě, protože existuje mnoho metod, jak získat nejistotu subjektivního rozdělení dat.
Určete výstup (výstupy) modelu, který bude analyzován (cílový cíl by měl mít v ideálním případě přímý vztah k problému řešenému modelem). Jediná racionalizace vynucená tímto úkolem je jednou z výhod analýzy citlivosti.
Spustit model několikrát po experimentálním návrhu (liší se v závislosti na zvoleném přístupu a nejistotě vstupů).
Vypočítejte míru citlivosti zvolenou pro daný problém.

V některých případech se tento postup bude opakovat, například u velkých dimenzí, u nichž musí uživatel nejprve provést seřazení nedůležitých proměnných („screening“) před provedením úplné analýzy citlivosti.

Různé metodiky (viz níže) se liší podle míry citlivosti, které se počítají. Tyto metodiky se někdy překrývají a lze otestovat další opatření citlivosti přizpůsobená omezením problému.

One-at-a-Time (OAT)

Nejjednodušší a nejběžnější způsob, jak studovat citlivost vstupů, je měnit je jeden po druhém („One-at-a-Time“: OAT), ostatní zůstávají fixovány na nominální hodnotu. Poté vidíme vliv, který to má na výstup. Metoda OAT obvykle zahrnuje:

Přesuňte jednu vstupní proměnnou a ostatní ponechejte na referenční (nominální) hodnotě
Poté resetujte vstupní proměnnou na její nominální hodnotu; proveďte to pro každou z ostatních položek stejným způsobem.

Citlivost lze poté měřit sledováním změn na výstupu, například částečnými derivacemi nebo lineární regresí . Zdá se logické, že jakoukoli pozorovanou změnu výstupu lze jednoznačně připsat změněné jediné proměnné. Kromě toho lze úpravou jedné proměnné po druhé udržovat všechny ostatní proměnné fixované na jejich centrální nebo referenční hodnoty. To zvyšuje srovnatelnost výsledků (všechny „efekty“ se počítají s odkazem na stejný „centrální“ bod ve vstupním prostoru). Metodu OAT modeláři z praktických důvodů často upřednostňují. Když se model během OAT analýzy nekonverguje, modelář okamžitě ví, který parametr je zodpovědný za poruchu.

Navzdory své jednoduchosti však tento přístup neumožňuje úplné prozkoumání vstupního prostoru. Ve skutečnosti nezohledňuje simultánní variaci vstupních proměnných. To znamená, že metoda OAT nemůže detekovat přítomnost interakcí mezi vstupními proměnnými. Kromě toho může být výběr nominální hodnoty a vzorkování problematický. Například na modelu s nominální hodnotou bude vliv metody OAT neviditelný. ${\ displaystyle Y = \ sin (X_ {1}) \ cos (X_ {2})}$ $(0,0)$ $X_ {2}$

Místní metody

Místní metody zahrnují převzetí parciální derivace výstupu Y vzhledem ke vstupu X i :

{\ displaystyle \ left \ vert {\ frac {\ částečné Y} {\ částečné X_ {i}}} \ pravé \ vert _ {{\ bf {x}} ^ {0}}}

kde index označuje, že derivace je brána ve fixním bodě vstupního prostoru (odtud tedy adjektivum „místní“). Takovými metodami jsou doplňkové modelování a automatická diferenciace . Podobně jako OAT se místní metody nepokoušejí prozkoumat vstupní prostor. Dívají se pouze na malé poruchy, obvykle po jedné proměnné najednou. ${\ displaystyle {\ bf {x}} ^ {0}}$

Mraky bodů

Jednoduchým, ale užitečným nástrojem je vykreslení mračen bodů výstupní proměnné proti vstupním proměnným poté, co byl model vyhodnocen na náhodném vzorku (s ohledem na rozdělení vstupů). Výhodou tohoto přístupu je, že se vztahuje i na data. Rovněž poskytuje přímou vizuální indikaci citlivosti.

Regresní analýza

Regresní analýza v kontextu analýzy citlivosti zahrnuje použití standardizovaných regresních koeficientů jako přímé míry citlivosti. Regrese by měla být s ohledem na data lineární. Jinak je obtížné interpretovat standardizované koeficienty. Tato metoda je proto vhodnější, když je model odezvy ve skutečnosti lineární; linearitu lze potvrdit například v případě, že je koeficient stanovení velký. Výhodou regresní analýzy je, že je jednoduchá a má nízké výpočetní náklady.

Rozptyl rozkladu

Metody založené na rozkladu rozptylu považují vstupy za náhodné proměnné a dívají se pouze na rozptyl výstupu. Toto je rozděleno na pojmy, které lze připsat záznamu nebo skupině záznamů. Vypočtené indexy citlivosti jsou Sobolovy indexy : představují podíl rozptylu vysvětleného položkou nebo skupinou položek.

Pro záznam je jednoduchý Sobolův index dán vztahem: $X_ {i}$

Si=PROTI(E[Y|Xi])PROTI(Y){\ displaystyle S_ {i} = {\ frac {V (\ mathbb {E} [Y \ vert X_ {i}])}} {V (Y)}}}

{\ displaystyle S_ {i} = {\ frac {V (\ mathbb {E} [Y \ vert X_ {i}])}} {V (Y)}}}

kde a označíme rozptyl a průměr.

{\ displaystyle V (\ cdot)}

{\ displaystyle \ mathbb {E} [\ cdot]}

Jednoduchý Sobolův index nebere v úvahu nejistotu způsobenou interakcemi s jinými proměnnými. K zahrnutí všech interakcí, kterých se to týká, používáme celkový Sobolův index: $X_ {i}$ $X_ {i}$

SiT=1-PROTI(E[Y|X∼i])PROTI(Y){\ displaystyle S_ {i} ^ {T} = 1 - {\ frac {V (\ mathbb {E} [Y \ vert X _ {\ sim i}])}} {V (Y)}}}

{\ displaystyle S_ {i} ^ {T} = 1 - {\ frac {V (\ mathbb {E} [Y \ vert X _ {\ sim i}])}} {V (Y)}}}

kde .

{\ displaystyle X _ {\ sim i} = (X_ {1}, ..., X_ {i-1}, X_ {i + 1}, ..., X_ {p})}

Metody založené na rozkladu rozptylu umožňují plně prozkoumat vstupní prostor a zohlednit interakce i nelineární odpovědi. Z těchto důvodů jsou široce používány. Výpočet Sobolových indexů vyžaduje četná hodnocení modelu (řádově tisíc). Existuje několik odhadů. Obecně používáme meta-modely (emulátory), abychom umožnili výpočet.

Promítání

Metody „prověřování“ se vztahují na rozsáhlé modely, u nichž chceme rychle rozlišit, které vstupy jsou významné, aniž bychom usilovali o vyčerpání. Jde o sledování vlivu elementárních poruch vstupů na výstupy. Morrisova metoda je jednou z nejznámějších.

Fourierův test citlivosti na amplitudu (FAST)

Principem je přiblížit funkci harmonickými pomocí Fourierovy transformace. Sobolovy indexy jsou poté analyticky vyjádřeny jako funkce koeficientů Fourierovy řady.

Polynomy chaosu

Principem je projekce zájmové funkce na základě ortogonálních polynomů . Sobolovy indexy jsou poté analyticky vyjádřeny jako funkce koeficientů tohoto rozkladu.

Reference

(en) Bertrand Iooss a Paul Lemaître , Správa nejistoty v simulaci-optimalizaci komplexních systémů , Springer, Boston, MA, kol. "Series of Operations Research / Computer Science Interfaces Series",2015( ISBN 978-1-4899-7546-1 a 9781489975478 , DOI 10.1007 / 978-1-4899-7547-8_5 , číst online ) , s. 101–122
A. Saltelli , „ Analýza citlivosti pro posouzení důležitosti “, Analýza rizik , sv. 22, n o 3,2002, str. 1–12
A. Saltelli , M. Ratto , T. Andres , F. Campolongo , J. Cariboni , D. Gatelli , M. Saisana a S. Tarantola , Globální analýza citlivosti: Primer , John Wiley & Sons ,2008
DJ Pannell , „ Analýza citlivosti normativních ekonomických modelů: teoretický rámec a praktické strategie “, Agricultural Economics , sv. 16,1997, str. 139–152 ( DOI 10.1016 / S0169-5150 (96) 01217-0 )
A. Bahremand a F. De Smedt , „ Distribuované hydrologické modelování a analýza citlivosti v povodí Torysy, Slovensko “, Water Resources Management , sv. 22, n o 3,2008, str. 293–408 ( DOI 10.1007 / s11269-007-9168-x )
M. Hill , D. Kavetski , M. Clark , M. Ye , M. Arabi , D. Lu , L. Foglia a S. Mehl , „ Praktické využití výpočetně úsporných metod analýzy modelu “, podzemní voda , sv. 54, n O 22015, str. 159–170 ( DOI 10.1111 / gwat.12330 )
M. Hill a C. Tiedeman , Efektivní kalibrace modelu podzemní vody s analýzou dat, citlivostí, předpovědí a nejistoty , John Wiley & Sons ,2007
JC Helton , JD Johnson , CJ Salaberry a CB Storlie , „ Průzkum metod vzorkování založených na analýze nejistoty a citlivosti “, Reliability Engineering and System Safety , sv. 91,2006, str. 1175–1209 ( DOI 10.1016 / j.ress.2005.11.017 )
(in) Gaelle Chastaing Fabrice Gamboa a Clémentine Prieur , „ Generalized Hoeffding-Sobol decomposition for dependent variables - Application to Sensitive Analysis “ , Electronic Journal of Statistics , sv. 6,2012, str. 2420–2448 ( ISSN 1935-7524 , DOI 10.1214 / 12-EJS749 , číst online , přístup k 20. listopadu 2017 )
Julien JACQUES, Příspěvky k analýze citlivosti a obecné diskriminační analýze , Université Joseph-Fourier - Grenoble I,12. prosince 2005( číst online )
A. Saltelli a P. Annoni , „ Jak se vyhnout povrchní analýze citlivosti “, Environmental Modeling and Software , sv. 25,2010, str. 1508–1517 ( DOI 10.1016 / j.envsoft.2010.04.012 )
(in) Fabrice Gamboa Alexander Janon Thierry Klein a Agnes Lagnoux , „ Analýza citlivosti pro vícerozměrné a funkční výstupy “ , Electronic Journal of Statistics , sv. 8, n o 1,2014, str. 575–603 ( ISSN 1935-7524 , DOI 10.1214 / 14-EJS895 , číst online , přístup k 20. listopadu 2017 )
Amandine Marrel , Bertrand Iooss , François Van Dorpe a Elena Volkova , „ Efektivní metodika pro modelování složitých počítačových kódů pomocí Gaussových procesů “, Computational Statistics & Data Analysis , sv. 52, n o 10,15. června 2008, str. 4731–4744 ( DOI 10.1016 / j.csda.2008.03.026 , číst online , přistupováno 20. listopadu 2017 )
(in) Amandine Marrel Bertrand Iooss , Sébastien Da Veiga a Mathieu Ribatet , „ Globální analýza citlivosti stochastických modelů s metamodely připojenými k počítači “ , Statistics and Computing , sv. 22, n o 3,1 st 05. 2012, str. 833–847 ( ISSN 0960-3174 a 1573-1375 , DOI 10.1007 / s11222-011-9274-8 , číst online , přístup k 20. listopadu 2017 )
A. O'Hagan a kol. „ Nejistý úsudek: Vyvolávání pravděpodobností odborníků , Chichester, Wiley ,2006( číst online )
J. Sacks , WJ Welch , TJ Mitchell a HP Wynn , „ Návrh a analýza počítačových experimentů “, Statistická věda , sv. 4,1989, str. 409–435
J. Campbell a kol. „ Fotosyntetická kontrola atmosférického karbonylsulfidu během vegetačního období “, Science , sv. 322, n O 5904,2008, str. 1085–1088 ( PMID 19008442 , DOI 10.1126 / science.1164015 , Bibcode 2008Sci ... 322.1085C )
R. Bailis , M. Ezzati a D. Kammen , „ Úmrtnost a dopady skleníkových plynů na budoucnost biomasy a ropné energie v Africe “, Science , sv. 308,2005, str. 98-103 ( PMID 15802601 , DOI 10,1126 / science.1106881 , bibcode 2005Sci ... 308 ... 98B )
J. Murphy a kol. „ Kvantifikace nejistot modelování ve velkém souboru simulací změny klimatu “, Nature , sv. 430,2004, str. 768–772 ( PMID 15306806 , DOI 10.1038 / nature02771 , Bibcode 2004Natur.430..768M )
Czitrom , „ One-Factor-at-a-Time Versus Designed Experiments “, americký statistik , sv. 53, n O 21999( číst online )
Dan G. Cacuci , Analýza citlivosti a neurčitosti: Theory , sv. Já, Chapman & Hall
Dan G. Cacuci , Mihaela Ionescu-Bujor a Michael Navon , Analýza citlivosti a nejistoty: Aplikace pro systémy velkého rozsahu , sv. II, Chapman & Hall ,2005
A. Griewank , Vyhodnocení derivátů, principů a technik algoritmické diferenciace , SIAM,2000
Sobol ', I. (1990). Odhady citlivosti pro nelineární matematické modely. Matematicheskoe Modelirovanie 2 , 112–118. v ruštině, přeloženo do angličtiny v Sobol ', I. (1993). Analýza citlivosti pro nelineární matematické modely. Mathematical Modeling & Computational Experiment (Engl. Transl.) , 1993, 1 , 407–414.
T. Homma a A. Saltelli , „ Důležitost opatření v globální analýze citlivosti nelineárních modelů “, Reliability Engineering and System Safety , sv. 52,1996, str. 1–17 ( DOI 10.1016 / 0951-8320 (96) 00002-6 )
Saltelli, A., K. Chan a M. Scott (Eds.) (2000). Analýza citlivosti . Wiley Series v Pravděpodobnost a statistika. New York: John Wiley and Sons.
Alexandre Janon , Thierry Klein , Agnès Lagnoux a Maëlle Nodet , „ Asymptotická normálnost a účinnost dvou odhadů Sobolova indexu “, ESAIM: Pravděpodobnost a statistika , sv. 18,Leden 2014, str. 342-364 ( ISSN 1292-8100 a 1262-3318 , DOI 10.1051 / ps / 2013040 , číst online , přístup k 20. listopadu 2017 )
Andrea Saltelli , Paola Annoni , Ivano Azzini a Francesca Campolongo , „ Rozptyl založený citlivostní analýza modelového výstupu. Návrh a odhad celkového indexu citlivosti “, Computer Physics Communications , sv. 181, n O 21 st 02. 2010, str. 259–270 ( DOI 10.1016 / j.cpc.2009.09.018 , číst online , přístup ke dni 20. listopadu 2017 )
Art B. Owen , „ Lepší Odhad malé Sobol‚citlivostí indexy, “ ACM Trans. Modelka. Comput. Simul. , sv. 23, n O 2Květen 2013, str. 11: 1–11: 17 ( ISSN 1049-3301 , DOI 10.1145 / 2457459.2457460 , číst online , přístup k 20. listopadu 2017 )
Max D. Morris , „ Faktoriální plány vzorkování pro předběžné výpočetní experimenty, “ Technometrics , sv. 33, n O 21 st 05. 1991, str. 161–174 ( ISSN 0040-1706 , DOI 10.1080 / 00401706.1991.10484804 , číst online , přístup k 20. listopadu 2017 )
Bruno Sudret , „ Globální analýza citlivosti pomocí rozšíření polynomiálního chaosu “, Reliability Engineering & System Safety , bayesian Networks in Dependability, sv. 93, n o 7,1 st 07. 2008, str. 964–979 ( DOI 10.1016 / j.ress.2007.04.002 , číst online , přistupováno 20. listopadu 2017 )

externí odkazy

International Journal of Chemical Kinetics - September 2008 - Special Issue on Sensitivity Analysis
Systém spolehlivosti a bezpečnosti (svazek 91, 2006) - zvláštní vydání týkající se analýzy citlivosti
webová stránka Analýza citlivosti - (Společné výzkumné středisko Evropské komise)
SimLab , bezplatný software pro analýzu globální citlivosti Společného výzkumného střediska
Doplněk pro analýzu citlivosti aplikace Excel je bezplatný software (pro soukromé i komerční použití), doplněk aplikace Excel, který umožňuje jednoduché spuštění analýzy citlivosti založené na vzorku
MUCM Project - mnoho zdrojů pro nejistotu a citlivostní analýzu výpočetních modelů.
GEM-SA - program pro provádění analýzy citlivosti s Gaussovými procesy.
Analýza citlivosti knihovny SALib v Pythonu (Numpy). Obsahuje metody Sobol, Morris, Fractional Factorial a FAST.
OpenTURNS : open source iniciativa pro řešení nejistot, rizik a statistik. Cross-platform code (C ++, Python) to make meta-models.
citlivost : R balíček obsahující mnoho odhadů Sobolových indexů.