Posloupnost ortogonálních polynomů
V matematiky , je sekvencí ortogonálních polynomů je nekonečný sled polynomů p 0 ( x ) , p 1 ( x ) ,
p 2 ( x ), ... s reálnými koeficienty, ve které každý p n ( x ) je ze studia n a tak, že polynomy této sekvence jsou ortogonální po dvou pro dané skalární součin funkcí.
Tato představa se používá například v kryptologii nebo v digitální analýze . Řeší mnoho fyzických problémů, jako je mechanika tekutin nebo zpracování signálu . Mnoho typů zvláštních ortogonálních polynomů, jako jsou například Legendrovy , Tchebychevovy , umožňuje přiblížit se funkci a svými vlastnostmi řešit jednodušší složité diferenciální rovnice .
Úvod
Nejjednodušší skalární součin funkcí je integrální produktu z těchto funkcí, než ohraničené intervalu:
⟨F,G⟩=∫nabF(X)G(X) dX{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) ~ \ mathrm {d} x}![{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) ~ \ mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56ae037b4b93311617d10601606412d95e19b4a2)
Obecněji můžeme zavést „váhovou funkci“ W ( x ) do integrálu (přes integrační interval ) a , b [ , W musí být s konečnými hodnotami a přísně kladné a integrál součinu hmotnosti funkce polynomem musí být konečná; hranice a , b mohou být nekonečné):
⟨F,G⟩=∫nabF(X)G(X)Ž(X) dX{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) W (x) ~ \ mathrm {d} x}![{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) W (x) ~ \ mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d0339bc5f8ef551d161cdfd35ba63273a46dd7f)
S touto definicí tečkového součinu jsou dvě funkce navzájem kolmé, pokud je jejich součin bodů roven nule (stejně jako dva vektory jsou kolmé (kolmé), pokud je jejich součin bodů roven nule). Poté byl zaveden standard přidružený :; tečkový součin činí ze sady všech funkcí konečné normy Hilbertův prostor .
||F||=⟨F,F⟩{\ displaystyle || f || = {\ sqrt {\ langle f, f \ rangle}}}![{\ displaystyle || f || = {\ sqrt {\ langle f, f \ rangle}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffb137aec4c3f2ffa3c65fe656c5da33e5156633)
Integrační interval se nazývá interval ortogonality .
Pole ortogonálních polynomů vyvinutých na konci XIX th století ze studie řetězovými zlomky ze strany pafnutij lvovič čebyšev a byl žalován Andrei Markov a Thomas Stieltjes Joannes . Gábor Szegö , Sergej Bernstein , Naum Akhiezer , Arthur Erdélyi (en) , Yakov Geronimus , Wolfgang Hahn (en) , Theodore seio Chihara (en) , Mourad Ismail (en) , Waleed Al-Salam (en) a Richard Askey také pracovali na téma. Mnoho aplikací vedlo k matematice a fyzice .
Příklad: legendární polynomy
Nejjednoduššími ortogonálními polynomy jsou Legendrovy polynomy, pro které je interval ortogonality] -1, 1 [a váhová funkce je konstantní funkcí hodnoty 1:
P0(X)=1{\ displaystyle P_ {0} (x) = 1}
P1(X)=X{\ displaystyle P_ {1} (x) = x}
P2(X)=3X2-12{\ displaystyle P_ {2} (x) = {\ frac {3x ^ {2} -1} {2}}}
P3(X)=5X3-3X2{\ displaystyle P_ {3} (x) = {\ frac {5x ^ {3} -3x} {2}}}
P4(X)=35X4-30X2+38{\ displaystyle P_ {4} (x) = {\ frac {35x ^ {4} -30x ^ {2} +3} {8}}}
...{\ displaystyle \ tečky \,}![{\ displaystyle \ tečky \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f67d6cee45a37fca00ebf598881e60591110ab8)
Všechny jsou ortogonální na] -1, 1 [:
∫-11Pm(X)Pne(X) dX=0pÓurm≠ne{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} P_ {m} (x) P_ {n} (x) ~ \ mathrm {d} x = 0 \ qquad \ mathrm {for} \ qquad m \ neq n }![{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} P_ {m} (x) P_ {n} (x) ~ \ mathrm {d} x = 0 \ qquad \ mathrm {for} \ qquad m \ neq n }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab24fe110ebcfdd72f82ac44c6db88cf9cd3c96c)
Vlastnosti
Jakákoli posloupnost polynomů p 0 , p 1 , ... , kde každá p k má stupeň k , je základem vektorového prostoru (nekonečné dimenze) všech polynomů, „přizpůsobeného příznaku “. Posloupnost ortogonálních polynomů je takový základ, který je navíc pro určitý skalární součin ortogonální. Tento skalární součin, který se fixuje, je taková sekvence téměř jedinečná (jedinečná pro produkt v blízkosti jeho vektorů nenulovými skaláry) a lze ji získat z kanonického základu (1, x , x 2 , ...) (neortogonální obecně), Gram-Schmidtovou metodou .
R[X]{\ displaystyle \ mathbb {R} [x]}
(Rne[X])ne∈NE{\ displaystyle (\ mathbb {R} _ {n} [x]) _ {n \ in \ mathbb {N}}}![{\ displaystyle (\ mathbb {R} _ {n} [x]) _ {n \ in \ mathbb {N}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec1d635ace7923b6c4d2de6a93dc2e418b4b1518)
Když vytvoříme ortogonální základnu, můžeme být v pokušení udělat ji ortonormální , to znamená takovou, že pro všechna n , dělením každého p n jeho normou. V případě polynomů je výhodné neukládat tuto další podmínku, protože by často vedlo k koeficientům obsahujícím odmocniny. Často dáváme přednost volit multiplikátor tak, aby koeficienty zůstaly racionální, a dávat vzorce co nejjednodušší. Je to standardizace. „Klasické“ polynomy uvedené níže byly tedy standardizovány; obvykle byl koeficient jejich nejvyššího stupně termínu nebo jejich hodnota v bodě nastavena na danou veličinu (pro polynomy Legendre, P ' n (1) = 1 ). Tato standardizace je konvence, kterou lze také někdy získat změnou měřítka odpovídající váhové funkce. Poznámka
⟨pne,pne⟩ = 1{\ displaystyle \ langle p_ {n}, p_ {n} \ rangle \ = \ 1}![{\ displaystyle \ langle p_ {n}, p_ {n} \ rangle \ = \ 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3b058d9d84ea03c3e64bd1fb567a67a9f8f6fb9)
hne=⟨pne, pne⟩{\ displaystyle h_ {n} = \ langle p_ {n}, \ p_ {n} \ rangle}![{\ displaystyle h_ {n} = \ langle p_ {n}, \ p_ {n} \ rangle}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd5f09cfeb70795c15a5067959b3e3cf5e4e0e9d)
(normou p n je druhá odmocnina z h n ). Hodnoty h n pro standardizované polynomy jsou uvedeny v tabulce níže. My máme
⟨pm, pne⟩=δmnehne{\ displaystyle \ langle p_ {m}, \ p_ {n} \ rangle = \ delta _ {mn} h_ {n}}![{\ displaystyle \ langle p_ {m}, \ p_ {n} \ rangle = \ delta _ {mn} h_ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89ace9a78e137a901994d183cb218de0077aaad5)
;
kde δ mn je Kroneckerův symbol .
Jakákoli sekvence ( p k ) ortogonálních polynomů má velké množství pozoruhodných vlastností. Začít :
-
Kořen 1: ( p 0 , P 1 , ..., p n ) je základem zRne[X]{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {n} [x]}
-
Lemma 2: p n je kolmý k .Rne-1[X]{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {n-1} [x]}
![{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {n-1} [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6c9ef8fe672a3d5110d7fc960e26a3b718e19a9)
Lema 1 je způsobena skutečností, že p k je stupně k . Lemma 2 pochází ze skutečnosti, že p k jsou navíc dva po dvou ortogonálních.
Vztah opakování
Pro jakoukoli sekvenci ortogonálních polynomů existuje relace opakování relativně ke třem po sobě jdoucím polynomům.
pne+1 = (naneX+bne) pne - vs.ne pne-1{\ displaystyle p_ {n + 1} \ = \ (a_ {n} x + b_ {n}) \ p_ {n} \ - \ c_ {n} \ p_ {n-1}}![{\ displaystyle p_ {n + 1} \ = \ (a_ {n} x + b_ {n}) \ p_ {n} \ - \ c_ {n} \ p_ {n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9410752b8ca02ea2bef7a3df23d2cdd82f2037e3)
Koeficienty a n , b n , c n jsou dány vztahem
nane=kne+1kne,bne=nane(kne+1′kne+1-kne′kne),vs.ne=nane(kne-1hneknehne-1),{\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {k_ {n + 1}} {k_ {n}}}, \ qquad b_ {n} = a_ {n} \ left ({\ frac {k_ {n + 1 } '} {k_ {n + 1}}} - {\ frac {k_ {n}'} {k_ {n}}} \ right), \ qquad c_ {n} = a_ {n} \ left ({\ frac {k_ {n-1} h_ {n}} {k_ {n} h_ {n-1}}} \ right),}![{\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {k_ {n + 1}} {k_ {n}}}, \ qquad b_ {n} = a_ {n} \ left ({\ frac {k_ {n + 1 } '} {k_ {n + 1}}} - {\ frac {k_ {n}'} {k_ {n}}} \ right), \ qquad c_ {n} = a_ {n} \ left ({\ frac {k_ {n-1} h_ {n}} {k_ {n} h_ {n-1}}} \ right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/937b9852bb7b5c3b14bd6876f4faa0d0687d9aba)
kde k j a k j ' označují první dva koeficienty p j :
pj(X)=kjXj+kj′Xj-1+⋯{\ displaystyle p_ {j} (x) = k_ {j} x ^ {j} + k_ {j} 'x ^ {j-1} + \ cdots}![{\ displaystyle p_ {j} (x) = k_ {j} x ^ {j} + k_ {j} 'x ^ {j-1} + \ cdots}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3e56eeaee4eece07abb87641fa5c56a871523e0)
a h j tečkový produkt p j sám o sobě:
hj = ⟨pj, pj⟩{\ displaystyle h_ {j} \ = \ \ langle p_ {j}, \ p_ {j} \ rangle}![{\ displaystyle h_ {j} \ = \ \ langle p_ {j}, \ p_ {j} \ rangle}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f66d8490fe21bd4414fc500ed2ab59f21fd76be4)
.
(Podle konvence jsou c 0 , p – 1 , k ' 0 nula.)
Demonstrace
S hodnotami uvedenými pro s n a b n , polynomu
( n x + b n ) p n - p n 1 je stupeň menší než n (podmínkami stupňů n + 1 a n jsou odstraněny). Lze jej tedy vyjádřit ve formě lineární kombinace prvků základny ( p j )n –1
j = 0od :
Rne-1[X]{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {n-1} [x]}![{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {n-1} [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6c9ef8fe672a3d5110d7fc960e26a3b718e19a9)
(naneX+bne)pne-pne+1=∑j=0ne-1μne,jpj,{\ displaystyle (a_ {n} x + b_ {n}) p_ {n} -p_ {n + 1} = \ součet _ {j = 0} ^ {n-1} \ mu _ {n, j} p_ {j},}![{\ displaystyle (a_ {n} x + b_ {n}) p_ {n} -p_ {n + 1} = \ součet _ {j = 0} ^ {n-1} \ mu _ {n, j} p_ {j},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c15a7cc15876ecf22299ee3900819199fab5b772)
s
hjμne,j=⟨(naneX+bne)pne-pne+1,pj⟩=nane⟨Xpne,pj⟩{\ displaystyle h_ {j} \ mu _ {n, j} = \ langle (a_ {n} x + b_ {n}) p_ {n} -p_ {n + 1}, p_ {j} \ rangle = a_ {n} \ langle xp_ {n}, p_ {j} \ rangle}![{\ displaystyle h_ {j} \ mu _ {n, j} = \ langle (a_ {n} x + b_ {n}) p_ {n} -p_ {n + 1}, p_ {j} \ rangle = a_ {n} \ langle xp_ {n}, p_ {j} \ rangle}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae3eebd7c3e9c31583b961e7fc63fac2bbaeba1c)
(protože pro j < n je p j kolmé na p n a p n +1 ).
Navíc integrální formou skalárního součinu
⟨Xpne,pj⟩=⟨pne,Xpj⟩.{\ displaystyle \ langle xp_ {n}, p_ {j} \ rangle = \ langle p_ {n}, xp_ {j} \ rangle.}![{\ displaystyle \ langle xp_ {n}, p_ {j} \ rangle = \ langle p_ {n}, xp_ {j} \ rangle.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/668f57a7fa3f54609b223e5a377e84c844fc286d)
Pro j < n -1 je tento skalární součin nulový, protože xp j je stupně < n .
Pro j = n -1 se to rovná, protože (ze stejného důvodu jako na začátku) je n –1 x p n –1 - p n stupně menšího než n .
hnenane-1{\ displaystyle {\ frac {h_ {n}} {a_ {n-1}}}}![{\ displaystyle {\ frac {h_ {n}} {a_ {n-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60dda3deaf85681c037947986c2f65d06737343d)
Můžeme konstatovat:
(naneX+bne)pne-pne+1=vs.nepne-1,{\ displaystyle (a_ {n} x + b_ {n}) p_ {n} -p_ {n + 1} = c_ {n} p_ {n-1}, \,}![{\ displaystyle (a_ {n} x + b_ {n}) p_ {n} -p_ {n + 1} = c_ {n} p_ {n-1}, \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/287b398b0526807ca3ef97c7ba752f7bf74e41ce)
s
vs.ne=μne,ne-1=nanehne-1 hnenane-1=nane(kne-1hneknehne-1).{\ displaystyle c_ {n} = \ mu _ {n, n-1} = {\ frac {a_ {n}} {h_ {n-1}}} \ {\ frac {h_ {n}} {a_ { n-1}}} = a_ {n} \ left ({\ frac {k_ {n-1} h_ {n}} {k_ {n} h_ {n-1}}} \ right).}
Tento výsledek připouští konverzaci, Favardovu větu , která tvrdí, že za určitých dalších podmínek je posloupnost polynomů splňujících toto opakování posloupnost ortogonálních polynomů (pro určitou váhovou funkci W ).
Christoffel-Darboux jádro
V prostoru L 2, spojeného s W , ať S n označují na kolmý průmět na : pro všechny funkce f tak, že ,
Rne[X]{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {n} [x]}
∫nabF2(X)Ž(X) dX<∞{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f ^ {2} (x) W (x) ~ \ mathrm {d} x <\ infty}![{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f ^ {2} (x) W (x) ~ \ mathrm {d} x <\ infty}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6f37dcd9c487b122672cbc9f411ee87f3c1caa6)
(SneF)(X)=∑k=0ne⟨F,pk⟩hkpk(X)=∫nabK.ne(X,y)F(y)Ž(y) dy,{\ displaystyle (S_ {n} f) (x) = \ součet _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {\ langle f, p_ {k} \ rangle} {h_ {k}}} p_ { k} (x) = \ int _ {a} ^ {b} K_ {n} (x, y) f (y) W (y) ~ \ mathrm {d} y,}![{\ displaystyle (S_ {n} f) (x) = \ součet _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {\ langle f, p_ {k} \ rangle} {h_ {k}}} p_ { k} (x) = \ int _ {a} ^ {b} K_ {n} (x, y) f (y) W (y) ~ \ mathrm {d} y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ab8de840f7a59fb793d97f087112f142fec269)
kde K n je jádro z Christoffelovy - Darboux , definovaný:
K.ne(X,y)=∑k=0nepk(X)pk(y)hk.{\ displaystyle K_ {n} (x, y) = \ součet _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {p_ {k} (x) p_ {k} (y)} {h_ {k}} }.}![{\ displaystyle K_ {n} (x, y) = \ součet _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {p_ {k} (x) p_ {k} (y)} {h_ {k}} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f87be77c41cee1418262766d27c579af3c87027e)
Předchozí relace opakování pak umožňuje zobrazit:
K.ne(X,y)=knekne+1hne pne+1(X)pne(y)-pne(X)pne+1(y)X-y,{\ displaystyle K_ {n} (x, y) = {\ frac {k_ {n}} {k_ {n + 1} h_ {n}}} \ {\ frac {p_ {n + 1} (x) p_ {n} (y) -p_ {n} (x) p_ {n + 1} (y)} {xy}},}
K.ne(X,X)=knekne+1hne (pne+1′(X)pne(X)-pne′(X)pne+1(X)).{\ displaystyle K_ {n} (x, x) = {\ frac {k_ {n}} {k_ {n + 1} h_ {n}}} \ (p '_ {n + 1} (x) p_ { n} (x) -p '_ {n} (x) p_ {n + 1} (x)).}![{\ displaystyle K_ {n} (x, x) = {\ frac {k_ {n}} {k_ {n + 1} h_ {n}}} \ (p '_ {n + 1} (x) p_ { n} (x) -p '_ {n} (x) p_ {n + 1} (x)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54e072474226ab787bc185f25a25bb22d062a382)
Demonstrace
Prokážme první z těchto dvou vzorců (druhá se odvodí tak, že y bude mít tendenci k x ) indukcí na n . Pro n = -1 to platí (podle konvence K -1 = 0). Předpokládejme, že to platí na hodnosti n -1 a dokažte to na hodnosti n . Nahrazením p n +1 získáme
pne+1(X)pne(y)-pne(X)pne+1(y)=nane(X-y)pne(X)pne(y)-vs.ne(pne-1(X)pne(y)-pne(X)pne-1(y)){\ displaystyle p_ {n + 1} (x) p_ {n} (y) -p_ {n} (x) p_ {n + 1} (y) = a_ {n} (xy) p_ {n} (x ) p_ {n} (y) -c_ {n} \ vlevo (p_ {n-1} (x) p_ {n} (y) -p_ {n} (x) p_ {n-1} (y) \) že jo) \,}![{\ displaystyle p_ {n + 1} (x) p_ {n} (y) -p_ {n} (x) p_ {n + 1} (y) = a_ {n} (xy) p_ {n} (x ) p_ {n} (y) -c_ {n} \ vlevo (p_ {n-1} (x) p_ {n} (y) -p_ {n} (x) p_ {n-1} (y) \) že jo) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bfdf8d03f98a0842edd7c069f8a2ba35835ca0b)
s, indukční hypotézou,
-vs.ne(pne-1(X)pne(y)-pne(X)pne-1(y))=vs.nenane-1hne-1(X-y)K.ne-1(X,y)=nanehne(X-y)K.ne-1(X,y),{\ displaystyle -c_ {n} \ left (p_ {n-1} (x) p_ {n} (y) -p_ {n} (x) p_ {n-1} (y) \ right) = c_ { n} a_ {n-1} h_ {n-1} (xy) K_ {n-1} (x, y) = a_ {n} h_ {n} (xy) K_ {n-1} (x, y) ), \,}![{\ displaystyle -c_ {n} \ left (p_ {n-1} (x) p_ {n} (y) -p_ {n} (x) p_ {n-1} (y) \ right) = c_ { n} a_ {n-1} h_ {n-1} (xy) K_ {n-1} (x, y) = a_ {n} h_ {n} (xy) K_ {n-1} (x, y) ), \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44133f1625d6f17f361524ba79f243075d0ba0f6)
odkud
pne+1(X)pne(y)-pne(X)pne+1(y)nanehne(X-y)=pne(X)pne(y)hne+K.ne-1(X,y)=K.ne(X,y).{\ displaystyle {\ frac {p_ {n + 1} (x) p_ {n} (y) -p_ {n} (x) p_ {n + 1} (y)} {a_ {n} h_ {n} (xy)}} = {\ frac {p_ {n} (x) p_ {n} (y)} {h_ {n}}} + K_ {n-1} (x, y) = K_ {n} ( x, y).}
Existence skutečných kořenů
Libovolný polynom řady ortogonálních polynomů, jejichž stupeň n je větší nebo roven 1, připouští n odlišných kořenů, všechny skutečné a umístěné striktně uvnitř integračního intervalu (to je pozoruhodná vlastnost: je to u polynomu vysokého stupně vzácné jejichž koeficienty byly vybrány náhodně, aby měly všechny své skutečné kořeny).
Kořenová poloha
Kořeny polynomů leží striktně mezi kořeny polynomu vyššího stupně v následujícím textu.
Demonstrace
Nejprve umístíme všechny polynomy do standardizované formy tak, aby dominantní koeficient byl kladný (což nemění kořeny), pak provedeme rekurenci na n . Pro n = 0 není co dokazovat. Předpokládejme, že vlastnost byla získána až na pozici n . Nechť x 1 <... < x n značí kořeny p n a y 0 <... < y n ty p n + 1 . Recyklační relace dává p n +1 ( x j ) = - c n p n –1 ( x j ) s (podle volby standardizace) c n > 0 . Indukční hypotézou však (–1) n - j p n –1 ( x j )> 0 . Dedukujeme (–1) n + 1– j p n +1 ( x j )> 0 . Dále ∀ x > y n , p n +1 ( x )> 0 a ∀ x < y 0 , (–1) n +1 p n +1 ( x )> 0 . To nám umožňuje uzavřít: y 0 < x 1 < y 1 <... < x n < y n .
Další metodou dokazování je dokázat (indukcí nebo jednodušeji pomocí jádra Christoffel-Darboux), že pro všechna n a všechna x , p n +1 '( x ) p n ( x )> p n +1 ( x ) p n '( x ) , k odvození, že p n +1 ' ( y j ) a p n ( y j ) mají stejné znaménko, takže (–1) n - j p n ( y j )> 0 , což umožňuje dojít k závěru, že p n mizí mezi y j .
Diferenciální rovnice vedoucí k ortogonálním polynomům
Důležitá třída ortogonálních polynomů pochází ze Sturm-Liouvilleovy diferenciální rovnice formy
Q(X)F„+L(X)F′+λF=0{\ displaystyle {Q (x)} \, f '' + {L (x)} \, f '+ {\ lambda} f = 0 \,}![{\ displaystyle {Q (x)} \, f '' + {L (x)} \, f '+ {\ lambda} f = 0 \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e9895f1bbaf7be16ca22c147a0a7336d481b019)
kde Q je daný kvadratický polynom a L je daný lineární polynom. Funkce f není známa a konstanta λ je parametr. Můžeme si všimnout, že pro takovou rovnici je a priori možné polynomiální řešení, přičemž stupně termínů jsou kompatibilní. Řešení této diferenciální rovnice však mají singularity, pokud λ nebere konkrétní hodnoty. Pořadí těchto hodnot λ 0 , λ 1 , λ 2 atd. vede k posloupnosti polynomů řešení P 0 , P 1 , P 2 ... pokud platí jedno z následujících tvrzení:
-
Q je skutečně kvadratický a má dva odlišné skutečné kořeny, L je lineární a jeho kořen leží mezi dvěma kořeny Q a nejvyšší stupeň Q a L má stejné znaménko.
-
Q není kvadratické, ale lineární, L je lineární, kořeny Q a L se liší a termíny nejvyššího stupně Q a L mají stejné znaménko, pokud je kořen L menší než kořen Q , Nebo naopak.
-
Q je nenulový polynom konstanta, L je lineární, a termín nejvyšší stupeň L je s opačným znaménkem, že z Q .
Tyto tři případy vedly k polynomům Jacobi , Laguerre a Hermite . Pro každý z těchto případů:
- Řešením je řada polynomů P 0 , P 1 , P 2 …, každý P n má stupeň n a odpovídá počtu λ n ;
- Interval ortogonality je omezen kořeny Q ;
- Kořen L je uvnitř intervalu ortogonality.
- Všimněte si , že polynomy jsou ortogonální pod váhovou funkcíR(X)=exp(∫X0XL(t)Q(t) dt){\ displaystyle R (x) = \ exp \ left (\ int _ {x_ {0}} ^ {x} {\ frac {L (t)} {Q (t)}} ~ \ mathrm {d} t \ že jo) \,}
Ž(X)=R(X)Q(X){\ displaystyle W (x) = {\ frac {R (x)} {Q (x)}} \,}
-
W ( x ) nemůže v intervalu zmizet nebo nabrat nekonečnou hodnotu, i když na koncích může.
-
W ( x ) lze v intervalu zvolit kladně (v případě potřeby vynásobte diferenciální rovnici –1)
Kvůli integrační konstantě je veličina R ( x ) definována až do multiplikativní konstanty. V následující tabulce jsou uvedeny „oficiální“ hodnoty R ( x ) a W ( x ).
Rodriguesův vzorec
S předpoklady předchozí části je
P n ( x ) úměrné1Ž(X) dnedXne(Ž(X)[Q(X)]ne){\ displaystyle {\ frac {1} {W (x)}} \ {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} \ vlevo (W (x) [Q (x)] ^ { n} \ vpravo)}
rovnice lépe známá jako „ Rodriguesův vzorec “, pojmenovaná po Olinde Rodrigues . Často se píše:
Pne(X)=1EneŽ(X) dnedXne(Ž(X)[Q(X)]ne){\ displaystyle P_ {n} (x) = {\ frac {1} {{e_ {n}} W (x)}} \ {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} \ left (W (x) [Q (x)] ^ {n} \ right)}![{\ displaystyle P_ {n} (x) = {\ frac {1} {{e_ {n}} W (x)}} \ {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} \ left (W (x) [Q (x)] ^ {n} \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39a07e5e38a366b32be8a4fa7b6ec39cfe8b51e8)
kde čísla e n závisí na normalizaci. Hodnoty e n jsou uvedeny v tabulce níže.
K prokázání tohoto vzorce ověříme, v každém z těchto tří výše uvedených případech, že P n , že poskytuje skutečně polynom stupně n , pak se tím, že integrace opakovanými části, že pro každý polynomu P ,
je proto rovná nula jestliže P je stupně menšího než n . Tato metoda to dále ukazuje .
⟨1Ž(ŽQne)(ne),P⟩{\ displaystyle \ left \ langle {\ frac {1} {W}} (WQ ^ {n}) ^ {(n)}, P \ right \ rangle}
(-1)ne⟨Qne,P(ne)⟩,{\ displaystyle (-1) ^ {n} \ langle Q ^ {n}, P ^ {(n)} \ rangle,}
hneEne=(-1)nene!kne∫nab(Q(X))neŽ(X) dX{\ displaystyle h_ {n} e_ {n} = (- 1) ^ {n} n! k_ {n} \ int _ {a} ^ {b} (Q (x)) ^ {n} W (x) ~ \ mathrm {d} x}![{\ displaystyle h_ {n} e_ {n} = (- 1) ^ {n} n! k_ {n} \ int _ {a} ^ {b} (Q (x)) ^ {n} W (x) ~ \ mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39f66b5ac48baa7d1714a61029bcdaf7463f612e)
Čísla λ n
S předpoklady předchozí části
λne=ne(1-ne2 Q„-L′){\ displaystyle {\ lambda} _ {n} = n \ vlevo ({\ frac {1-n} {2}} \ Q '' - L '\ vpravo)}![{\ displaystyle {\ lambda} _ {n} = n \ vlevo ({\ frac {1-n} {2}} \ Q '' - L '\ vpravo)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db232113f0631b07017111f005a94311b0cd6db9)
Všimněte si, že Q je kvadratické a L lineární, Q '' a L ' jsou skutečně konstanty.
Druhá forma diferenciální rovnice
S .
R(X)=exp(∫X0XL(t)Q(t) dt){\ displaystyle R (x) = \ exp \ left (\ int _ {x_ {0}} ^ {x} {\ frac {L (t)} {Q (t)}} ~ \ mathrm {d} t \ že jo) \,}![{\ displaystyle R (x) = \ exp \ left (\ int _ {x_ {0}} ^ {x} {\ frac {L (t)} {Q (t)}} ~ \ mathrm {d} t \ že jo) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf7d96b7a52391f817b4d3adf38cb9d938c5d8e3)
Tak
(Ry′)′=Ry„+R′y′=Ry„+RLQy′{\ displaystyle (Ry ')' = R \, y '' + R '\, y' = R \, y '' + {\ frac {R \, L} {Q}} \, y '}![{\ displaystyle (Ry ')' = R \, y '' + R '\, y' = R \, y '' + {\ frac {R \, L} {Q}} \, y '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7774d88ce3c824ba135da03fee2dbdb32a836ca3)
Nyní vynásobte diferenciální rovnici
Qy„+Ly′+λy=0{\ displaystyle {Q} \, y '' + {L} \, y '+ {\ lambda} \, y = 0 \,}![{\ displaystyle {Q} \, y '' + {L} \, y '+ {\ lambda} \, y = 0 \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f8354bc82b31bd24df44655e6c936b57f8c69a1)
od R / Q , dostaneme
Ry„+RLQy′+RλQy=0{\ displaystyle R \, y '' + {\ frac {R \, L} {Q}} \, y '+ {\ frac {R \, \ lambda} {Q}} \, y = 0 \,}![{\ displaystyle R \, y '' + {\ frac {R \, L} {Q}} \, y '+ {\ frac {R \, \ lambda} {Q}} \, y = 0 \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a17195cae1f4ed0e951bfeb97f693931ecfcb4e1)
nebo
(Ry′)′+RλQy=0{\ displaystyle (Ry ')' + {\ frac {R \, \ lambda} {Q}} \, y = 0 \,}![{\ displaystyle (Ry ')' + {\ frac {R \, \ lambda} {Q}} \, y = 0 \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7779defeb9441e720cc73c99e98f8126ea3f74a7)
Toto je normalizovaná Sturm-Liouvilleova forma rovnice.
Třetí forma diferenciální rovnice
Pózováním .
S(X)=R(X)=exp(∫X0XL(t)2Q(t) dt){\ displaystyle S (x) = {\ sqrt {R (x)}} = \ exp \ left (\ int _ {x_ {0}} ^ {x} {\ frac {L (t)} {2 \, Q (t)}} ~ \ mathrm {d} t \ vpravo) \,}![{\ displaystyle S (x) = {\ sqrt {R (x)}} = \ exp \ left (\ int _ {x_ {0}} ^ {x} {\ frac {L (t)} {2 \, Q (t)}} ~ \ mathrm {d} t \ vpravo) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b05cd348b91fb01d3b9ce176fa52ee07807ac45)
Tak :
S′=SL2Q.{\ displaystyle S '= {\ frac {S \, L} {2 \, Q}}.}![{\ displaystyle S '= {\ frac {S \, L} {2 \, Q}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc5e3381d49d864b79457b419e6c1b604273b810)
Nyní vynásobte diferenciální rovnici
Qy„+Ly′+λy=0{\ displaystyle {Q} \, y '' + {L} \, y '+ {\ lambda} \, y = 0 \,}![{\ displaystyle {Q} \, y '' + {L} \, y '+ {\ lambda} \, y = 0 \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f8354bc82b31bd24df44655e6c936b57f8c69a1)
pomocí S / Q dostaneme:
Sy„+SLQy′+SλQy=0{\ displaystyle S \, y '' + {\ frac {S \, L} {Q}} \, y '+ {\ frac {S \, \ lambda} {Q}} \, y = 0 \,}![{\ displaystyle S \, y '' + {\ frac {S \, L} {Q}} \, y '+ {\ frac {S \, \ lambda} {Q}} \, y = 0 \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b883eed8155bb5ae364fa91ecac1af954bb53a32)
nebo
Sy„+2S′y′+SλQy=0{\ displaystyle S \, y '' + 2 \, S '\, y' + {\ frac {S \, \ lambda} {Q}} \, y = 0 \,}![{\ displaystyle S \, y '' + 2 \, S '\, y' + {\ frac {S \, \ lambda} {Q}} \, y = 0 \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56bbe1115b8d79bde7aef38b0ea33fb0bb0f1899)
Ale ano
(Sy)„=Sy„+2S′y′+S„y{\ displaystyle (S \, y) '' = S \, y '' + 2 \, S '\, y' + S '' \, y}![{\ displaystyle (S \, y) '' = S \, y '' + 2 \, S '\, y' + S '' \, y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c20c44efaba16493384296b4081e9194165783b)
(Sy)„+(SλQ-S„)y=0,{\ displaystyle (S \, y) '' + \ vlevo ({\ frac {S \, \ lambda} {Q}} - S '' \ vpravo) \, y = 0, \,}![{\ displaystyle (S \, y) '' + \ vlevo ({\ frac {S \, \ lambda} {Q}} - S '' \ vpravo) \, y = 0, \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fa0f5625e1f58c0247ea93fe5ed6e25a8e526d8)
nebo nastavením u = Sy ,
u„+(λQ-S„S)u=0.{\ displaystyle u '' + \ left ({\ frac {\ lambda} {Q}} - {\ frac {S '}} {S}} \ right) \, u = 0. \,}![{\ displaystyle u '' + \ left ({\ frac {\ lambda} {Q}} - {\ frac {S '}} {S}} \ right) \, u = 0. \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/806e1bd07c121dc3e6ac3afaf3db7ed7510b536f)
Tabulka klasických ortogonálních polynomů
Z důvodů rozvržení je tato tabulka rozdělena do tří částí.
Jméno a symbol
|
Čebyšev , Tne{\ displaystyle \ T_ {n}}
|
Čebyšev (druhý druh), Une{\ displaystyle \ U_ {n}}
|
Legendre , Pne{\ displaystyle \ P_ {n}}
|
Poustevník (fyzická forma), Hne{\ displaystyle \ H_ {n}}
|
---|
Limit ortogonality |
-1,1{\ displaystyle -1,1 \,}
|
-1,1{\ displaystyle -1,1 \,}
|
-1,1{\ displaystyle -1,1 \,}![{\ displaystyle -1,1 \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07625933be80e4cfc29f57d4101a3b8dccdd1969) |
-∞,∞{\ displaystyle - \ infty, \ infty}
|
Hmotnost, Ž(X){\ displaystyle W (x) \,}
|
(1-X2)-1/2{\ displaystyle (1-x ^ {2}) ^ {- 1/2} \,}
|
(1-X2)1/2{\ displaystyle (1-x ^ {2}) ^ {1/2} \,}
|
1{\ displaystyle 1 \,}![1 \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfd1e7984fe6e1b79a26404a8138a6c6ee41a476) |
E-X2{\ displaystyle e ^ {- x ^ {2}}}
|
Standardizace |
Tne(1)=1{\ displaystyle T_ {n} (1) = 1 \,}
|
Une(1)=ne+1{\ displaystyle U_ {n} (1) = n + 1 \,}![{\ displaystyle U_ {n} (1) = n + 1 \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26c8cf4e571b67d519aa532f478ba314a6d786cb) |
Pne(1)=1{\ displaystyle P_ {n} (1) = 1 \,}
|
Koeficient dominance 2ne{\ displaystyle 2 ^ {n} \,}
|
Standardní čtverec hne{\ displaystyle h_ {n} \,}
|
{π: ne=0π/2: ne≠0{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} \ pi &: ~ n = 0 \\\ pi / 2 &: ~ n \ neq 0 \ end {matrix}} \ right.}
|
π/2{\ displaystyle \ pi / 2 \,}![{\ displaystyle \ pi / 2 \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5145b1ceeed3ff342b36ddf4c8629fa260edc3b6) |
22ne+1{\ displaystyle {\ frac {2} {2n + 1}}}
|
2nene!π{\ displaystyle 2 ^ {n} \, n! \, {\ sqrt {\ pi}}}
|
Dominantní koeficient kne{\ displaystyle k_ {n} \,}
|
2ne-1{\ displaystyle 2 ^ {n-1} \,}![{\ displaystyle 2 ^ {n-1} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/925bc7ea79e92c2e198dc10b005c9cfbf8c9292c) |
2ne{\ displaystyle 2 ^ {n} \,}
|
(2ne)!2ne(ne!)2{\ displaystyle {\ frac {(2n)!} {2 ^ {n} \, (n!) ^ {2}}} \,}
|
2ne{\ displaystyle 2 ^ {n} \,}
|
Další koeficient kne′{\ displaystyle k '_ {n} \,}
|
0{\ displaystyle 0 \,}
|
0{\ displaystyle 0 \,}
|
0{\ displaystyle 0 \,}![0 \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db4b06f9315849466a0502680377e30a9da8a1b5) |
0{\ displaystyle 0 \,}
|
Q{\ displaystyle Q \,}![Q \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b23c85e3da723c6f662dfd28b9ea209f3f0df613) |
1-X2{\ displaystyle 1-x ^ {2} \,}
|
1-X2{\ displaystyle 1-x ^ {2} \,}
|
1-X2{\ displaystyle 1-x ^ {2} \,}![{\ displaystyle 1-x ^ {2} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a09e974ecaab5677a4844b08e1afc9453d4095fc) |
1{\ displaystyle 1 \,}
|
L{\ displaystyle L \,}![L \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d330bc0cd693cc87e3943137dc591038a89f77e2) |
-X{\ displaystyle -x \,}
|
-3X{\ displaystyle -3x \,}
|
-2X{\ displaystyle -2x \,}![{\ displaystyle -2x \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23553e8384a4c6f0dff75c60540af382bef8973b) |
-2X{\ displaystyle -2x \,}
|
R(X)=E∫L(X)Q(X) dX{\ displaystyle R (x) = e ^ {\ int {\ frac {L (x)} {Q (x)}} ~ \ mathrm {d} x}}
|
(1-X2)1/2{\ displaystyle (1-x ^ {2}) ^ {1/2} \,}![{\ displaystyle (1-x ^ {2}) ^ {1/2} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d0f40ab643c82605c6e80eeeccdc2761c5713f5) |
(1-X2)3/2{\ displaystyle (1-x ^ {2}) ^ {3/2} \,}
|
1-X2{\ displaystyle 1-x ^ {2} \,}![{\ displaystyle 1-x ^ {2} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a09e974ecaab5677a4844b08e1afc9453d4095fc) |
E-X2{\ displaystyle e ^ {- x ^ {2}} \,}
|
Konstantní v diferenciální rovnici, λne{\ displaystyle {\ lambda} _ {n} \,}
|
ne2{\ displaystyle n ^ {2} \,}![{\ displaystyle n ^ {2} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90cee51aae1283734bbde1736bfbbc8a5e7374b7) |
ne(ne+2){\ displaystyle n (n + 2) \,}
|
ne(ne+1){\ displaystyle n (n + 1) \,}![{\ displaystyle n (n + 1) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eecf4b6b489ecd1af4244aa897ed0e868ec5260) |
2ne{\ displaystyle 2n \,}
|
Konstantní v Rodriguesově vzorci ,Ene{\ displaystyle e_ {n} \,}
|
(-2)neΓ(ne+1/2)π{\ displaystyle (-2) ^ {n} \, {\ frac {\ gama (n + 1/2)} {\ sqrt {\ pi}}} \,}
|
2(-2)neΓ(ne+3/2)(ne+1)π{\ displaystyle 2 (-2) ^ {n} \, {\ frac {\ gama (n + 3/2)} {(n + 1) \, {\ sqrt {\ pi}}}} \,}
|
(-2)nene!{\ displaystyle (-2) ^ {n} \, n! \,}![{\ displaystyle (-2) ^ {n} \, n! \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a29606cb56c839dda61c0dea28035caddac8263) |
(-1)ne{\ displaystyle (-1) ^ {n} \,}
|
Relace opakování, nane{\ displaystyle a_ {n} \,}
|
2{\ displaystyle 2 \,}![2 \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53f0585b3d3c0d207a91af7a41e4173b58f309ae) |
2{\ displaystyle 2 \,}
|
2ne+1ne+1{\ displaystyle {\ frac {2n + 1} {n + 1}} \,}![{\ displaystyle {\ frac {2n + 1} {n + 1}} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5923686972e73b408f842d0e964c8f07d6674e9) |
2{\ displaystyle 2 \,}
|
Relace opakování, bne{\ displaystyle b_ {n} \,}
|
0{\ displaystyle 0 \,}![0 \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db4b06f9315849466a0502680377e30a9da8a1b5) |
0{\ displaystyle 0 \,}
|
0{\ displaystyle 0 \,}![0 \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db4b06f9315849466a0502680377e30a9da8a1b5) |
0{\ displaystyle 0 \,}
|
Relace opakování, vs.ne{\ displaystyle c_ {n} \,}
|
1{\ displaystyle 1 \,}![1 \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfd1e7984fe6e1b79a26404a8138a6c6ee41a476) |
1{\ displaystyle 1 \,}
|
nene+1{\ displaystyle {\ frac {n} {n + 1}} \,}![{\ displaystyle {\ frac {n} {n + 1}} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae7661809e6a7f6eb3e9658758a9a7d4317fac3c) |
2ne{\ displaystyle 2n \,}
|
Jméno a symbol
|
Laguerre partner ,Lne(α){\ displaystyle L_ {n} ^ {(\ alfa)}}
|
Laguerre , Lne{\ displaystyle \ L_ {n}}
|
---|
Limity ortogonality |
0,∞{\ displaystyle 0, \ infty \,}
|
0,∞{\ displaystyle 0, \ infty \,}
|
Hmotnost, Ž(X){\ displaystyle W (x) \,}
|
XαE-X{\ displaystyle x ^ {\ alpha} e ^ {- x} \,}
|
E-X{\ displaystyle e ^ {- x} \,}
|
Standardizace
|
Koeficient dominance (-1)nene!{\ displaystyle {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}} \,}
|
Koeficient dominance (-1)nene!{\ displaystyle {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}} \,}
|
Standardní čtverec hne{\ displaystyle h_ {n} \,}
|
1{\ displaystyle 1 \,}![1 \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfd1e7984fe6e1b79a26404a8138a6c6ee41a476) |
1{\ displaystyle 1 \,}
|
Dominantní koeficient kne{\ displaystyle k_ {n} \,}
|
(-1)nene!{\ displaystyle {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}} \,}![{\ displaystyle {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b7940678552e70ee42f8e12fbf387fc01485a3f) |
(-1)nene!{\ displaystyle {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}} \,}
|
Další koeficient kne′{\ displaystyle k '_ {n} \,}
|
(-1)ne+1(ne+α)(ne-1)!{\ displaystyle {\ frac {(-1) ^ {n + 1} (n + \ alpha)} {(n-1)!}} \,}
|
(-1)ne+1ne(ne-1)!{\ displaystyle {\ frac {(-1) ^ {n + 1} n} {(n-1)!}} \,}
|
Q{\ displaystyle Q \,}![Q \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b23c85e3da723c6f662dfd28b9ea209f3f0df613) |
X{\ displaystyle x \,}
|
X{\ displaystyle x \,}
|
L{\ displaystyle L \,}![L \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d330bc0cd693cc87e3943137dc591038a89f77e2) |
α+1-X{\ displaystyle \ alpha + 1-x \,}
|
1-X{\ displaystyle 1-x \,}
|
R(X)=E∫L(X)Q(X) dX{\ displaystyle R (x) = e ^ {\ int {\ frac {L (x)} {Q (x)}} ~ \ mathrm {d} x}}
|
Xα+1E-X{\ displaystyle x ^ {\ alpha +1} \, e ^ {- x} \,}![{\ displaystyle x ^ {\ alpha +1} \, e ^ {- x} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d77e515e232bb58649cb11ac12b97e9332c3e91) |
XE-X{\ displaystyle x \, e ^ {- x} \,}
|
Konstantní v diferenciální rovnici, λne{\ displaystyle {\ lambda} _ {n} \,}
|
ne{\ displaystyle n \,}![ne\,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/205e33e6845813cc72ca346b896a7945f90ca373) |
ne{\ displaystyle n \,}
|
Konstantní ve vztahu Rodrigues, Ene{\ displaystyle e_ {n} \,}
|
ne!{\ displaystyle n! \,}![{\ displaystyle n! \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/945282047859fba9f177762482a86d00c899dd82) |
ne!{\ displaystyle n! \,}
|
Relace opakování, nane{\ displaystyle a_ {n} \,}
|
-1ne+1{\ displaystyle {\ frac {-1} {n + 1}} \,}![{\ displaystyle {\ frac {-1} {n + 1}} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc709688c847a6f8b2469032ccd8f8d8d86da6c3) |
-1ne+1{\ displaystyle {\ frac {-1} {n + 1}} \,}
|
Relace opakování, bne{\ displaystyle b_ {n} \,}
|
2ne+1+αne+1{\ displaystyle {\ frac {2n + 1 + \ alpha} {n + 1}} \,}
|
2ne+1ne+1{\ displaystyle {\ frac {2n + 1} {n + 1}} \,}
|
Relace opakování, vs.ne{\ displaystyle c_ {n} \,}
|
ne+αne+1{\ displaystyle {\ frac {n + \ alpha} {n + 1}} \,}![{\ displaystyle {\ frac {n + \ alpha} {n + 1}} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41ebf1dc91b176fdc09e1283549bbdc02495e5cf) |
nene+1{\ displaystyle {\ frac {n} {n + 1}} \,}
|
Jméno a symbol
|
Gegenbauer ,VSne(α){\ displaystyle C_ {n} ^ {(\ alfa)}}
|
Jacobi ,Pne(α,β){\ displaystyle P_ {n} ^ {(\ alfa, \ beta)}}
|
---|
Limity ortogonality |
-1,1{\ displaystyle -1,1 \,}
|
-1,1{\ displaystyle -1,1 \,}
|
Hmotnost, Ž(X){\ displaystyle W (x) \,}
|
(1-X2)α-1/2{\ displaystyle (1-x ^ {2}) ^ {\ alpha -1/2} \,}
|
(1-X)α(1+X)β{\ displaystyle (1-x) ^ {\ alpha} (1 + x) ^ {\ beta} \,}
|
Standardizace
|
VSne(α)(1)=Γ(ne+2α)ne!Γ(2α){\ displaystyle C_ {n} ^ {(\ alfa)} (1) = {\ frac {\ gama (n + 2 \ alfa)} {n! \, \ gama (2 \ alfa)}} \,} tis α≠0{\ displaystyle \ alpha \ neq 0}
|
Pne(α,β)(1)=Γ(ne+1+α)ne!Γ(1+α){\ displaystyle P_ {n} ^ {(\ alfa, \ beta)} (1) = {\ frac {\ gama (n + 1 + \ alfa)} {n! \, \ gama (1+ \ alfa)} } \,}
|
Čtverec standardu, hne{\ displaystyle h_ {n} \,}
|
π21-2αΓ(ne+2α)ne!(ne+α)(Γ(α))2{\ displaystyle {\ frac {\ pi \, 2 ^ {1-2 \ alpha} \ Gamma (n + 2 \ alpha)} {n! (n + \ alpha) (\ Gamma (\ alpha)) ^ {2 }}}}
|
2α+β+1Γ(ne+α+1)Γ(ne+β+1)ne!(2ne+α+β+1)Γ(ne+α+β+1){\ displaystyle {\ frac {2 ^ {\ alpha + \ beta +1} \, \ Gamma (n \! + \! \ alpha \! + \! 1) \, \ Gamma (n \! + \! \ beta \! + \! 1)} {n! (2n \! + \! \ alpha \! + \! \ beta \! + \! 1) \ Gamma (n \! + \! \ alpha \! + \ ! \ beta \! + \! 1)}}}
|
Dominantní koeficient kne{\ displaystyle k_ {n} \,}
|
Γ(2ne+2α)Γ(1/2+α)ne!2neΓ(2α)Γ(ne+1/2+α){\ displaystyle {\ frac {\ Gamma (2n + 2 \ alfa) \ gama (1/2 + \ alfa)} {n! \, 2 ^ {n} \, \ gama (2 \ alfa) \ gama (n + 1/2 + \ alpha)}} \,}
|
Γ(2ne+1+α+β)ne!2neΓ(ne+1+α+β){\ displaystyle {\ frac {\ Gamma (2n + 1 + \ alpha + \ beta)} {n! \, 2 ^ {n} \, \ Gamma (n + 1 + \ alpha + \ beta)}} \, }
|
Další koeficient kne′{\ displaystyle k '_ {n} \,}
|
0{\ displaystyle 0 \,}
|
(α-β)Γ(2ne+α+β)(ne-1)!2neΓ(ne+1+α+β){\ displaystyle {\ frac {(\ alpha - \ beta) \, \ Gamma (2n + \ alpha + \ beta)} {(n-1)! \, 2 ^ {n} \, \ Gamma (n + 1 + \ alpha + \ beta)}} \,}
|
Q{\ displaystyle Q \,}![Q \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b23c85e3da723c6f662dfd28b9ea209f3f0df613) |
1-X2{\ displaystyle 1-x ^ {2} \,}
|
1-X2{\ displaystyle 1-x ^ {2} \,}
|
L{\ displaystyle L \,}![L \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d330bc0cd693cc87e3943137dc591038a89f77e2) |
-(2α+1)X{\ displaystyle - (2 \ alfa +1) \, x \,}
|
β-α-(α+β+2)X{\ displaystyle \ beta - \ alfa - (\ alfa + \ beta +2) \, x \,}
|
R(X)=E∫L(X)Q(X) dX{\ displaystyle R (x) = e ^ {\ int {\ frac {L (x)} {Q (x)}} ~ \ mathrm {d} x}}
|
(1-X2)α+1/2{\ displaystyle (1-x ^ {2}) ^ {\ alpha +1/2} \,}
|
(1-X)α+1(1+X)β+1{\ displaystyle (1-x) ^ {\ alfa +1} (1 + x) ^ {\ beta +1} \,}
|
Konstantní v diferenciální rovnici, λne{\ displaystyle {\ lambda} _ {n} \,}
|
ne(ne+2α){\ displaystyle n (n + 2 \ alfa) \,}![{\ displaystyle n (n + 2 \ alfa) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181f538b154c71cd9bcde156f006fa2933b70ea6) |
ne(ne+1+α+β){\ displaystyle n (n + 1 + \ alpha + \ beta) \,}
|
Konstanta v Rodriguesově rovnici, Ene{\ displaystyle e_ {n} \,}
|
(-2)nene!Γ(2α)Γ(ne+1/2+α)Γ(ne+2α)Γ(α+1/2){\ displaystyle {\ frac {(-2) ^ {n} \, n! \, \ gama (2 \ alfa) \, \ gama (n \! + \! 1/2 \! + \! \ alfa) } {\ Gamma (n \! + \! 2 \ alpha) \ Gamma (\ alpha \! + \! 1/2)}}}
|
(-2)nene!{\ displaystyle (-2) ^ {n} \, n! \,}
|
Relace opakování, nane{\ displaystyle a_ {n} \,}
|
2(ne+α)ne+1{\ displaystyle {\ frac {2 (n + \ alpha)} {n + 1}} \,}
|
(2ne+1+α+β)(2ne+2+α+β)2(ne+1)(ne+1+α+β){\ displaystyle {\ frac {(2n + 1 + \ alpha + \ beta) (2n + 2 + \ alpha + \ beta)} {2 (n + 1) (n + 1 + \ alpha + \ beta)}} }
|
Relace opakování, bne{\ displaystyle b_ {n} \,}
|
0{\ displaystyle 0 \,}
|
(α2-β2)(2ne+1+α+β)2(ne+1)(2ne+α+β)(ne+1+α+β){\ displaystyle {\ frac {({\ alpha} ^ {2} - {\ beta} ^ {2}) (2n + 1 + \ alpha + \ beta)} {2 (n + 1) (2n + \ alpha + \ beta) (n + 1 + \ alpha + \ beta)}}}
|
Relace opakování, vs.ne{\ displaystyle c_ {n} \,}
|
ne+2α-1ne+1{\ displaystyle {\ frac {n + 2 {\ alpha} -1} {n + 1}} \,}
|
(ne+α)(ne+β)(2ne+2+α+β)(ne+1)(ne+1+α+β)(2ne+α+β){\ displaystyle {\ frac {(n + \ alpha) (n + \ beta) (2n + 2 + \ alpha + \ beta)} {(n + 1) (n + 1 + \ alpha + \ beta) (2n + \ alpha + \ beta)}}}
|
Zobecnění
Je možné definovat vícerozměrné ortogonální polynomy pomocí více integrálů . To je například případ Zernikeových polynomů , užitečných v geometrické optice a oftalmologii, nebo obecněji sférických harmonických .
Poznámka
-
Viz například otázku II.2 tohoto problému ze CAPES 2000 externí ( 1 st test) a její opravené nebo cvičením korigovat na Wikislovníku .
Dodatky
Bibliografie ve francouzštině
- Jean Dieudonné, „Pokračující zlomky a ortogonální polynomy“ , v EN Laguerre, Ortogonální polynomy a aplikace , Springer,1985( číst online ) , s. 1-15
- Jean-Louis Ovaert, Ortogonální polynomy , Slovník matematiky, algebra, analýza, geometrie , Albin Michel a Encyclopædia Universalis , Paříž, 1997
Bibliografie v angličtině
- (en) Milton Abramowitz a Irene Stegun , Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami [ podrobnosti vydání ] ( číst online ) , kap. 22 („Ortogonální polynomy“) , s. 22 773-792
- (en) Theodore Seio Chihara (en) , An Introduction to Orthogonal Polynomials , Dover Publications ,2011( 1 st ed. 1978), 270 str. ( ISBN 978-0-486-47929-3 , číst online )
- (en) Mourad EH Ismail (en) , Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable , Cambridge (GB), Cambridge University Press , coll. "Encyclopedia of matematiky a její aplikace" ( n o 98)2005, 706 s. ( ISBN 978-0-521-78201-2 , číst online )
- (en) Tom H. Koornwinder (de) , Roderick SC Wong, Roelof Koekoek a René F. Swarttouw, kap. 18 „Orthogonal Polynomials“ , Frank WJ Olver et al. , Digitální knihovna matematických funkcí ( číst online )
- (en) Qazi Ibadur Rahman a Gerhard Schmeisser, Analytická teorie polynomů , Oxford University Press ,2002( číst online )
- (en) PK Suetin , „Ortogonální polynomy“ , v Michiel Hazewinkel , Encyklopedie matematiky , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , číst online )
- (en) Gábor Szegő , Orthogonal Polynomials , AMS , coll. "Colloquium Publikace" ( n o 23),1939( ISBN 978-0-8218-1023-1 , číst online )
Související články
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">