Pravděpodobnostní strom
V elementární pravděpodobnosti je strom pravděpodobnosti diagram, který umožňuje shrnout náhodný experiment s vědomím podmíněných pravděpodobností .
Tyto stromy jsou široce používány v teorii rozhodování .
Příklad skutečného problému
Příklad těžby ropy . Nechť je místem, kde vypočítáme přítomnost oleje se známou pravděpodobností p .
Provedeme-li test, lze tuto pravděpodobnost korigovat na dosud neznámou hodnotu q . Zkouška je nákladná, ale může zabránit vrtání suché studny. Na druhou stranu úspěch zkoušky neznamená jistotu, že studna nebude suchá.
Měli bychom provést test? Měli bychom vrtat bez provedení testu?
Viz experimentální plán , Jednoruční bandita (matematika) .
Další příklad
Pokusíme se shrnout následující náhodný experiment:
Hodíme kostkou- Pokud je získaný počet násobkem 3, náhodně extrahujeme míč z urny 1, který obsahuje 3 černé koule, 4 bílé koule a 3 červené koule
- Pokud získaný počet není násobkem 3, extrahuje se z urny 2 koule, která obsahuje 3 černé koule a 2 bílé koule.
První krok umožňuje definovat vesmír Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, na které aplikujeme ekvipravděpodobnost (odhadujeme, že matrice je dokonale vyvážená). Poté zvážíme dvě doplňující se události
- U 1 = "házení vede k střelbě v urně 1"
- U 2 = "házení vede ke střelbě v urně 2"
Máme tedy U 1 = {3; 6} a p ( U 1 ) = 1/3, potom p ( U 2 ) = 2/3 .
Chcete-li studovat druhý krok, musíte studovat, co se stane, když střílíte v urně 1 nebo urně 2.
- Výkres v urně 1 umožňuje definovat vesmír Ω 1 = { N ; B ; R }, na kterou použijeme následující pravděpodobnost
- p ( N ) = 3/10
- p ( B ) = 4/10
- p ( R ) = 3/10 .
- Podobně kresba do volební urny 2 umožňuje definovat vesmír Ω 2 = { N , B } pravděpodobností 3/5 a 2/5.
Zkušenost je pak shrnuta v následujícím stromu:
Čtení pravděpodobností je pak snadné:
- Pravděpodobnost střelby v urně 1 a získání čtvrtinové noty:
- Pravděpodobnost střelby v urně 2 a získání čtvrtinové noty:
Pravděpodobnost zasažení černé koule je pak:
Vyřešené cvičení
Gerard může jít do práce dvěma cestami A nebo B. Pravděpodobnost, že se vydá cestou A, je 0,4. Pokud se vydá cestou A, je pravděpodobnost, že přijde pozdě, 0,2. Pokud se vydá cestou B, pravděpodobnost, že přijde pozdě, je 0,6. Buď R Event „Gerard je pozdě“ a R c komplementu R .Dedukujeme pravděpodobnosti
„Pravděpodobnost, že se vydá cestou A, je 0,4.“ : P ( A ) = 0,4 . Protože existují pouze dvě možné cesty, pak P ( B ) = 1 - P ( A ) = 0,6 . „Pokud se vydá cestou A, je pravděpodobnost, že přijde pozdě, 0,2.“ : P A ( R ) = 0,2 . Pravděpodobnost, že není pozdě vědět, že se vydala cestou A, je tedy komplementární P A ( R c ) = 1 - P A ( R ) = 0,8 . „Pokud se vydá cestou B, pravděpodobnost, že přijde pozdě, je 0,6.“ : P B ( R ) = 0,6 Podobně P B ( R c ) = 1 - P B ( R ) = 0,4 .Definice a vlastnosti
Říkáme pravděpodobnost strom režie a vážený graf poslouchat následující pravidla
- Součet hmotností (nebo pravděpodobností) větví vyplývajících ze stejného vrcholu dává 1.
- Pravděpodobnost cesty je součinem pravděpodobností větví, které ji tvoří.
- Váha větve přecházející z vrcholu A do vrcholu B je podmíněná pravděpodobnost, že B bude vědět, že A je již realizováno p A ( B ) .
Potom najdeme vlastnost podmíněné pravděpodobnosti :
(produkt cest).
Stejně jako vzorec celkových pravděpodobností :
pokud Ω 1 , Ω 2 , ..., Ω n definuje rozdělení Ω (dvě až dvě disjunktní množiny, jejichž sjednocení dává Ω ), pokud jsou Ω i nenulové pravděpodobnosti a pokud A je událost Ω,
Které jsme použili v příkladu pro výpočet p ( N )
Strom pravděpodobnosti také usnadňuje inverzi podmíněných pravděpodobností nebo Bayesovu větu :
Na předchozím obrázku to odpovídá položení otázky: „Jaká je pravděpodobnost, že jsme vystřelili čtvrtinu bankovky, jaká je pravděpodobnost, že jsme vystřelili do volební urny 1?“ "
