Plán experimentů

Volaný design experimentů (v angličtině design of experiments nebo DOE ) následně objednal testy experimentů , z nichž každý získal nové znalosti ovládáním jednoho nebo více vstupních parametrů pro získání výsledků ověřujících model s dobrou ekonomikou prostředků (nejnižší možný počet testů , například).

Klasickým příkladem je „hvězdná rovina“, kde, počínaje sadou hodnot vybraných pro parametry centrálního testu, je toto dokončeno testy, kde pokaždé se mění pouze jeden z faktorů „všechny věci jsou rovnocenné jinde“ .

Více vyčerpávajícím typem plánu je faktoriální plán spočívající ve výběru hodnot pro každý z faktorů současnou variací všech faktorů (vyčerpávající nebo ne). Počet testů pak může být velmi velký ( kombinatorická exploze ).

Problematický

Předpokládejme, že chceme vědět, jestli je podíl černých koulí v urně větší než 5%, přičemž urna obsahuje 1000 koulí. Začneme s myšlenkou nakreslit 100 v naději, že budeme mít dobrou aproximaci poměru.

Pokud během losování přivezeme zpět 51 černých koulí, lze to okamžitě zastavit: sledovat to by nemělo smysl, protože u 51 černých koulí z 1000 je nyní jistý podíl větší než 5% .
Můžeme to dále upřesnit tím, že si všimneme, že pravděpodobnost střelby například 5 černých koulí v prvních 5 tahech snižuje na 0,3 × 10 −6 pravděpodobnost, že podíl černých koulí je menší než 5%.
V praxi výpočet umožňuje stanovit přísná pravidla, která v závislosti na výsledcích určují, kdy by se kresba měla zastavit - s rozhodnutím přijatým v jednom nebo druhém směru - nebo zda by mělo pokračovat.

Návrh experimentů proto snižuje počet pokusů na to, co je nezbytně nutné pro rozhodnutí, což může ušetřit čas, peníze a životy .

Byl to návrh experimentů tohoto typu, který umožnil zastavit experiment na cestě k určení, zda aspirin měl preventivní účinek na infarkty, přičemž výsledky jednoznačně potvrzují, že tomu tak bylo (snížení rizika o 25%). Pokračování experimentu by se za těchto podmínek vrátilo, a to zbavilo pacienty kontrolní šarže přístupu k aspirinu až do původně plánovaného data, což by mohlo stát životy některých z nich.

V aplikovaných vědách (experimentální designy)

Existuje mnoho procesů a vlastností, o kterých víme, že závisí na velkém počtu externích parametrů (mluvíme o faktorech ), ale bez analytických modelů .

Když chceme znát závislost výstupní proměnné F takového procesu nebo vlastnosti, čelíme několika obtížím:

jaké jsou nejvlivnější faktory? ;

existují interakce mezi faktory ( korelace )? ;

můžeme linearizovat proces (nebo vlastnost) jako funkci těchto faktorů a je výsledný model prediktivní? ;

jak minimalizovat počet měřicích bodů procesu (nebo vlastnosti) pro získání maximální informace? ;

existují nějaké odchylky ve výsledcích měření?

Metoda návrhu experimentů odpovídá na tyto otázky a lze ji tedy použít v mnoha procesech / vlastnostech od klinických testů po hodnocení kvality nejsložitějších průmyslových procesů.

Tuto novou definici lze tedy stanovit pro průmysl: návrh experimentů je řada pečlivě organizovaných testů, aby bylo možné s minimem testů a maximální přesností určit příslušný vliv různých konstrukčních parametrů. Nebo výroba produkt za účelem optimalizace výkonu a nákladů.

Omezení komplexních experimentálních návrhů

Předpokládejme, že je to buď v přítomnosti procesu, který závisí na třech faktorech , B a C , z nichž každý má své definici domény (diskrétní) , , . $\ {a_ {i} | i = 1, \ tečky, l \}$ $\ {b_ {j} | j = 1, \ tečky, m \}$ $\ {c_ {k} | k = 1, \ tečky, n \}$

Systematický přístup by spočíval v provedení všech možných testů procesu změnou každého z parametrů v oblasti jeho definice:

test 1: Výsledek F 1 ; $\ {a_ {1}, b_ {1}, c_ {1} \} \ Longrightarrow$
test 2: Výsledek F 2 ; $\ {a_ {2}, b_ {1}, c_ {1} \} \ Longrightarrow$
test 3: Výsledek F 3 ; $\ {a_ {3}, b_ {1}, c_ {1} \} \ Longrightarrow$
...
Test · s · m n : Výsledek F · s · m n . $\ {a_ {l}, b_ {m}, c_ {n} \} \ Longrightarrow$

Počet požadovaných pokusů, který se rovná produktu l · m · n , může být poměrně velký a nedosažitelný z důvodu nákladů a / nebo času.

Příklad

Předpokládejme, že chceme charakterizovat elektrolytický proces měřením proudu mezi elektrodami.

Pro daný roztok elektrolytu hrubý model naznačuje, že tento proud bude záviset na třech hlavních faktorech: (1) ředění roztoku C , mezi 10% a 90%, (2) teplota roztoku T , mezi 50 ° C a 100 ° C a (3) druh použitých elektrod (cín, zlato a platina).

Za těchto podmínek, s kroky 10% pro koncentraci a 100 ° C pro teplotu, bude vyčerpávající experimentální plán sestaven z 9 × 6 × 3, tj. 162 nezávislých testů, které budou muset být provedeny za jinak stejných podmínek.

Za předpokladu, že každá zkouška vyžaduje 1 hodinu (včetně času na přípravu), studium tohoto jednoduchého procesu by vyžadovalo ne méně než 5 týdnů práce na plný úvazek ( 35 hodin týdně). Pokusy rozložené po tak dlouhou dobu mohou navíc zahrnovat faktory, které nejsou známy, ale liší se po dobu trvání této studie a mohou zkreslit výsledky.

Je snadné pochopit, že výše uvedené body se stanou dramatickými, jakmile se budeme zabývat trochu složitějšími procesy a experimentální náklady na vyčerpávající studii se rychle stanou neúnosnými, dokonce nepoužitelnými. Toto je běžný problém v průmyslových procesech, které vyžadují reprodukovatelnost a úplnou kontrolu kvality .

Správným způsobem, jak přistupovat k optimálnímu návrhu experimentů, je postupovat způsobem zcela analogickým s principem regresní přímky , za předpokladu, že v každé z těchto proměnných i v interakcích máme lineární (nebo nanejvýš kvadratickou) závislost procesu. mezi proměnnými. Nejčastěji se budeme opírat o jednoduché hypotézy a / nebo hraniční zkušenosti, abychom získali představu o existenci či neexistenci vzájemných závislostí. Viz článek o metodě povrchové odezvy .

Obnovme výše popsaný proces za předpokladu, že kromě T a C definujeme m jako fyzikální veličinu, která charakterizuje materiál elektrody (například její molekulovou hmotnost nebo její elektroventenci ).

Chceme to popsat zjednodušeným vzorcem typu:

F ( T , C , m ) = b 1 · T 2 + b 2 · C 2 + b 3 · m 2 ... + b 4 · T + b 5 · C + b 6 · m … + B 7 · T · C + b 8 · T · m + b 9 · C · m … + B 10 · T · C · m + b 11 · T 2 · C + b 12 · T 2 · m + b 13 · C 2 · T + b 14 · C 2 · m + b 15 · T · m 2 + b 16 · C · m 2 .

Pro zjednodušení budeme rozumně předpokládat, že podmínky řádu 3, v T 2 · C , T 2 · m , C 2 · T , C 2 · m , T · m 2 a C · m 2, jsou zanedbatelné vzhledem k podmínky prvního řádu, což znamená, že koeficienty b 11 až b 16 jsou nulové. Obecně je výraz v T · C · m také zanedbatelný.

Poté zbývá 10 proměnných b 1 ,…, b 10, které je třeba určit, aby analytické znalosti procesu byly ve stanovených intervalech.

„Vybereme“ 10 bodů v prostoru ( T , C , m ), pro které se test provádí, čímž získáme hodnoty F i pro každý z těchto bodů. Je zřejmé, že bude věnována pozornost tomu, aby všechny ostatní parametry testu zůstaly konstantní.

Pozn .: pracuje se přednostně se sníženými proměnnými, to znamená proměnnými T , C a m, které jsou bezrozměrné a normalizované na 1 přes jejich definiční interval.

Výsledkem je systém 10 rovnic s 10 neznámými:

{\ mathrm {F}} _ {i} = a _ {{i1}} \ cdot b_ {1} + a _ {{i2}} \ cdot b_ {2} + a _ {{i3}} \ cdot b_ {3} + a _ {{i4}} \ cdot b_ {4} + a _ {{i5}} \ cdot b_ {5} + a _ {{i6}} \ cdot b_ {6} + a _ {{ i7}} \ cdot b_ {7} + a _ {{i8}} \ cdot b_ {8} + a _ {{i9}} \ cdot b_ {9} + a _ {{i10}} \ cdot b _ { {10}}

s i = 1,…, 10.

Se získají jednoduše nahrazením T , C a m o jejich hodnoty v bodech, kde jsme provedli testy. $a _ {{ij}}$

Při psaní matice:

{\ begin {bmatrix} {\ mathrm {F}} _ {1} \\\ vdots \\ {\ mathrm {F}} _ {{10}} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} a_ {{1,1}} & \ cdots & a _ {{1,10}} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a _ {{10,1}} & \ cdots & a _ {{10 , 10}} \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} b_ {1} \\\ vdots \\ b _ {{10}} \ end {bmatrix}}

Abychom tento systém vyřešili, musíme převrátit matici : ${\ begin {bmatrix} a _ {{ij}} \ end {bmatrix}}$

{\ begin {bmatrix} b_ {1} \\\ vdots \\ b _ {{10}} \ end {bmatrix}} = {{\ begin {bmatrix} a _ {{1,1}} & \ cdots & a _ {{1,10}} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a _ {{10,1}} & \ cdots & a _ {{10,10}} \ end {bmatrix}}} ^ {{- 1}} \ cdot {\ begin {bmatrix} {\ mathrm {F}} _ {1} \\\ vdots \\ {\ mathrm {F}} _ {{10}} \ end {bmatrix} }

Teorie experimentálních návrhů umožňuje na základě více či méně složitých konkrétních modelů přesně určit, ve kterých bodech musí být měření prováděno. Většina skutečných případů vede k předurčeným maticím efektů. Řešení spočívá ve vytvoření čtverce matice pomocí jeho transpozice . Systém se stává:

{\ tilde {a}} \ cdot {\ vec {{\ mathrm {F}}}} = \ left [{\ tilde {a}} \ cdot a \ right] \ cdot {\ vec {b}}

Typologie

Faktoriální návrhy

Mezi různými experimentálními designy jsou faktoriální designy běžné, protože se nejjednodušší implementují a umožňují velmi rychle demonstrovat existenci interakcí mezi faktory.

Základním předpokladem je přiřadit každému (normalizovanému) faktoru jeho nejnižší hodnotu (-1) a jeho nejvyšší hodnotu (+1). U faktorů k tedy skončíme se sadou 2 k možných hodnot.

Aniž bychom zacházeli do podrobností, matice experimentu pak má zajímavé vlastnosti (máme například :), které jsou široce využívány softwarem, který vytváří experimentální plány. Zejména přidání dalších testů a algoritmů pro efektivní randomizaci počátečního návrhu experimentů umožňuje zvýraznit systematické předsudky a odstranit je nebo jinak zvýraznit vliv skryté proměnné, jejíž musíme vzít v úvahu. ${\ begin {bmatrix} a _ {{ij}} \ end {bmatrix}}$ $a ^ {{\ mathrm {T}}} \ cdot a = k \ cdot 1$

Abychom se vrátili k výše uvedenému příkladu, skončili jsme plánem 12 testů ( 2 extrémní teploty , 2 extrémní koncentrace a 3 páry elektrod).

Pojďme pracovat s normalizovanou teplotou a koncentrací:

t = {\ frac {T-75} {25}}

;

c = {\ frac {C-50} {40}}

Nyní se budeme snažit jen lineární závislosti na t a C , to znamená, že vztah typu: pro X = 1, 2 nebo 3 v závislosti na typu elektrody. ${\ mathrm {I_ {X}}} (t, c) = b_ {1} t + b_ {2} c + b_ {3} tc$

Měřením proudu ve 4 bodech ( 50 ° C , 10%) , ( 50 ° C , 90%) , ( 100 ° C , 10%) , ( 100 ° C , 90%) odpovídajících bodům (-1 , -1) , (-1, +1) , (+1, -1) a (+1, +1) v prostoru redukovaných faktorů, pro každý typ elektrody jsme redukováni na faktoriální rovinu 2 2 .

{\ begin {bmatrix} {\ mathrm {I}} _ {1} \\ {\ mathrm {I}} _ {2} \\ {\ mathrm {I}} _ {3} \\ {\ mathrm {I }} _ {4} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} -1 & -1 & + 1 \\ - 1 & + 1 & -1 \\ + 1 & -1 & -1 \\ + 1 & + 1 & + 1 \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} b_ {1} \\ b_ {2} \\ b_ {3} \ end {bmatrix}}

Jeden to efektivně kontroluje a jeden získá rozlišení systému: $a ^ {{\ mathrm {T}}} \ cdot a = k \ cdot 1$

\ Longrightarrow {\ begin {bmatrix} b_ {1} \\ b_ {2} \\ b_ {3} \ end {bmatrix}} = {\ frac {1} {4}} {\ begin {bmatrix} -1 & - 1 & + 1 & + 1 \\ - 1 & + 1 & -1 & + 1 \\ + 1 & -1 & -1 & + 1 \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} I_ { 1} \\ I_ {2} \ \ I_ {3} \\ I_ {4} \ end {bmatrix}}

Je :

b_ {1} = {\ frac {1} {4}} (- {\ mathrm {I}} _ {1} - {\ mathrm {I}} _ {2} + {\ mathrm {I}} _ { 3} + {\ mathrm {I}} _ {4})

b_ {2} = {\ frac {1} {4}} (- {\ mathrm {I}} _ {1} + {\ mathrm {I}} _ {2} - {\ mathrm {I}} _ { 3} + I_ {4})

b_ {3} = {\ frac {1} {4}} ({\ mathrm {I}} _ {1} - {\ mathrm {I}} _ {2} - {\ mathrm {I}} _ {3 } + {\ mathrm {I}} _ {4})

S určitými preventivními opatřeními jsme tedy redukovali studii neanalytického procesu skládajícího se ze 162 samostatných testů na proces tuctu testů, který poskytuje zajímavé výsledky v uvažovaných intervalech, zejména pokud jde o existenci a rozsah interakcí mezi různými faktory.

Optimalizované experimentální návrhy

Cílem matic designu experimentů s minimem možných testů je zaručit tři hlavní vlastnosti:

izovariance rotací: sloupec, kterému je přiřazena jedna z měřených fyzikálních veličin, nesmí mít vliv na výsledek;
jednotná přesnost: doména interpolovaná rovinou musí vykazovat charakteristiky jednotné nejistoty;
ortogonalita.

2 k faktoriální design často vede k příliš mnoha testům, které je třeba provést, zvláště pokud jsou dotyčné testy drahé. Hledání plánu, který má podobnou přesnost a zároveň je ekonomičtější, vede k použití optimalizovaných experimentálních matic.

Můžeme tedy citovat následující plány:

Hadamardovy matice ;
Síť Doehlert;
Plány Box-Behnken;
Taguchiho metoda ;
vystředěné kompozitní matice;
směšovací matice (Scheffe);
matice zlomkových faktorů;
Hoke matice;
zkřížený hyperpolyhedron ;
středová složená rovina;
Rechtschaffner výstřely.

Skutečná hodnota fyzické veličiny je spojena se sníženou hodnotou roviny pomocí:

{\ displaystyle \ mathrm {hodnota \ r {\ akutní {e}} elle} = \ left ({\ frac {x _ {\ max} + x _ {\ min}} {2}} - x _ {\ min } \ right) \ cdot x _ {\ mathrm {plan}} + {\ frac {x _ {\ max} + x _ {\ min}} {2}}}

podle limitů studované domény.

Hadamardovy matice

Tyto Hadamardova matice jsou matice pro optimální návrh experimentu bez interakcí. Zde jsou plány pro 2, 3, 4 a 7 faktorů . Tento typ plánu umožňuje mít první vyhodnocení vlivů faktorů na experimentální odezvu s velmi malým počtem testů, které mají být provedeny i pro významný počet faktorů. Často se používá jako první přístup.

2 faktory

3 faktory

4 faktory

7 faktorů

NE	X1	X2
1	+1	+1
2	-1	+1
3	+1	-1
4	-1	-1

NE	X1	X2	X3
1	+1	+1	-1
2	-1	+1	+1
3	+1	-1	+1
4	-1	-1	-1

NE	X1	X2	X3	X4
1	+1	+1	+1	-1
2	-1	+1	+1	+1
3	-1	-1	+1	+1
4	+1	-1	-1	+1
5	-1	+1	-1	-1
6	+1	-1	+1	-1
7	+1	+1	-1	+1
8	-1	-1	-1	-1

NE	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7
1	+1	+1	+1	-1	+1	-1	-1
2	-1	+1	+1	+1	-1	+1	-1
3	-1	-1	+1	+1	+1	-1	+1
4	+1	-1	-1	+1	+1	+1	-1
5	-1	+1	-1	-1	+1	+1	+1
6	+1	-1	+1	-1	-1	+1	+1
7	+1	+1	-1	+1	-1	-1	+1
8	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1

Doehlert Networks

Sítě Doehlert lze orientovat buď podél Ox1, nebo v prvním kvadrantu. Odpovídají hexagonální dlažbě hyperprostoru experimentu. Dále pro Ox1.

2 proměnné

3 proměnné

4 proměnné

NE	X1	X2
1	+0,0000	+0,0000
2	+1,0000	+0,0000
3	+0,5000	+ 0,8660
4	-1,0000	+0,0000
5	-0,5000	-0,8660
6	+0,5000	-0,8660
7	-0,5000	+ 0,8660

NE	X1	X2	X3
1	+0,0000	+0,0000	+0,0000
2	+1,0000	+0,0000	+0,0000
3	+0,5000	+ 0,8660	+0,0000
4	+0,5000	+0,2887	+0,8165
5	-1,0000	+0,0000	+0,0000
6	-0,5000	-0,8660	+0,0000
7	-0,5000	-0,2887	-0,8165
8	+0,5000	-0,8660	+0,0000
9	+0,5000	-0,2887	-0,8165
10	-0,5000	+ 0,8660	+0,0000
11	+0,0000	+0,5774	-0,8165
12	-0,5000	+0,2887	+0,8165
13	+0,0000	-0,5774	+0,8165

NE	X1	X2	X3	X4
1	+0,0000	+0,0000	+0,0000	+0,0000
2	+1,0000	+0,0000	+0,0000	+0,0000
3	+0,5000	+ 0,8660	+0,0000	+0,0000
4	+0,5000	+0,2887	+0,8165	+0,0000
5	+0,5000	+0,2887	+0,2041	+0,7906
6	-1,0000	+0,0000	+0,0000	+0,0000
7	-0,5000	-0,8660	+0,0000	+0,0000
8	-0,5000	-0,2887	-0,8165	+0,0000
9	-0,5000	-0,2887	-0,2041	-0,7906
10	+0,5000	-0,8660	+0,0000	+0,0000
11	+0,5000	-0,2887	-0,8165	+0,0000
12	+0,5000	-0,2887	-0,2041	-0,7906
13	-0,5000	+ 0,8660	+0,0000	+0,0000
14	+0,0000	+0,5774	-0,8165	+0,0000
15	+0,0000	+0,5774	-0,2041	-0,7906
16	-0,5000	+0,2887	+0,8165	+0,0000
17	+0,0000	-0,5774	+0,8165	+0,0000
18	+0,0000	+0,0000	+0,6124	-0,7906
19	-0,5000	+0,2887	+0,2041	+0,7906
20	+0,0000	-0,5774	+0,2041	+0,7906
21	+0,0000	+0,0000	-0,6124	+0,7906

Box-Behnken

Box-Behnken lze použít pouze ze 3 faktorů.

3 proměnné

4 proměnné

NE	X1	X2	X3
1	-1	-1	0
2	+1	- 1	0
3	- 1	+1	0
4	+1	+1	0
5	-1	0	- 1
6	-1	0	+1
7	+1	0	-1
8	+1	0	+1
9	0	-1	-1
10	0	+1	-1
11	0	-1	+1
12	0	+1	+1
13	0	0	0

NE	X1	X2	X3	X4
1	-0,5000	-0,2887	-0,2041	-0,1581
2	+0,5000	-0,2887	-0,2041	-0,1581
3	+0,0000	+0,5774	-0,2041	-0,1581
4	+0,0000	+0,0000	+0,6124	-0,1581
5	+0,0000	+0,0000	+0,0000	+0,6325
6	+0,0000	-0,4387	-0,3102	-0,2403
7	-0,3799	+0,2193	-0,3102	-0,2403
8	-0,3799	-0,2193	+0,3102	-0,2403
9	-0,3799	-0,2193	-0,1551	+0,3604
10	+0,3799	+0,2193	-0,3102	-0,2403
11	+0,3799	-0,2193	+0,3102	-0,2403
12	+0,3799	-0,2193	-0,1551	+0,3604
13	+0,0000	+0,4387	+0,3102	-0,2403
14	+0,0000	+0,4387	-0,1551	+0,3604
15	+0,0000	+0,0000	+0,4653	+0,3604
16	+0,0000	+0,0000	-0,4653	-0,3604
17	+0,0000	-0,4387	+0,1551	-0,3604
18	+0,0000	-0,4387	-0,3102	+0,2403
19	-0,3799	+0,2193	+0,1551	-0,3604
20	-0,3799	+0,2193	-0,3102	+0,2403
21	-0,3799	-0,2193	+0,3102	+0,2403
22	+0,3799	+0,2193	+0,1551	-0,3604
23	+0,3799	+0,2193	-0,3102	+0,2403
24	+0,3799	-0,2193	+0,3102	+0,2403
25	+0,0000	+0,4387	+0,3102	+0,2403
26	+0,0000	+0,0000	+0,0000	-0,6325
27	+0,0000	+0,0000	-0,6124	+0,1581
28	+0,0000	-0,5774	+0,2041	+0,1581
29	-0,5000	+0,2887	+0,2041	+0,1581
30	+0,5000	+0,2887	+0,2041	+0,1581
31	+0,0000	+0,0000	+0,0000	+0,0000

Hoke matrix

Matice Hoke umožňuje tříúrovňové návrhy experimentů. Existují tři typy matic: D1, D2 a D3. K vylepšení přesnosti je možné přidat blok C2. Níže jsou plány pro matici D1 bez bloku C2.

2 proměnné

3 proměnné

4 proměnné

NE	X1	X2
1	-1,0000	-1,0000
2	-1,0000	+1,0000
3	+1,0000	-1,0000
4	+0,0000	+1,0000
5	+1,0000	+0,0000
6	+1,0000	+1,0000

NE	X1	X2	X3
1	-1,0000	-1,0000	-1,0000
2	-1,0000	+1,0000	+1,0000
3	+1,0000	-1,0000	+1,0000
4	+1,0000	+1,0000	-1,0000
5	+0,0000	+0,0000	+1,0000
6	+1,0000	+0,0000	+0,0000
7	+0,0000	+1,0000	+0,0000
8	-1,0000	+1,0000	+1,0000
9	+1,0000	-1,0000	+1,0000
10	+1,0000	+1,0000	-1,0000

NE	X1	X2	X3	X4
1	-1,0000	-1,0000	-1,0000	-1,0000
2	-1,0000	+1,0000	+1,0000	+1,0000
3	+1,0000	-1,0000	+1,0000	+1,0000
4	+1,0000	+1,0000	-1,0000	+1,0000
5	+1,0000	+1,0000	+1,0000	-1,0000
6	+0,0000	+0,0000	+0,0000	+1,0000
7	+1,0000	+0,0000	+0,0000	+0,0000
8	+0,0000	+1,0000	+0,0000	+0,0000
9	+0,0000	+0,0000	+1,0000	+0,0000
10	-1,0000	-1,0000	+1,0000	+1,0000
11	+1,0000	-1,0000	-1,0000	+1,0000
12	+1,0000	-1,0000	+1,0000	-1,0000
13	-1,0000	+1,0000	-1,0000	+1,0000
14	-1,0000	+1,0000	+1,0000	-1,0000
15	+1,0000	+1,0000	-1,0000	-1,0000

Ostatní matice

Složené 3 proměnné se středem optimalizované pro ortogonalitu

dtto optimalizováno pro jednotnou přesnost

NE	X1	X2	X3
1	-1,0000	-1,0000	-1,0000
2	+1,0000	-1,0000	-1,0000
3	-1,0000	+1,0000	-1,0000
4	+1,0000	+1,0000	-1,0000
5	-1,0000	-1,0000	+1,0000
6	+1,0000	-1,0000	+1,0000
7	-1,0000	+1,0000	+1,0000
8	+1,0000	+1,0000	+1,0000
9	-1,6818	+0,0000	+0,0000
10	+1,6818	+0,0000	+0,0000
11	+0,0000	-1,6818	+0,0000
12	+0,0000	+1,6818	+0,0000
13	+0,0000	+0,0000	-1,6818
14	+0,0000	+0,0000	+1,6818
15	+0,0000	+0,0000	+0,0000
16	+0,0000	+0,0000	+0,0000
17	+0,0000	+0,0000	+0,0000
18	+0,0000	+0,0000	+0,0000
19	+0,0000	+0,0000	+0,0000
20	+0,0000	+0,0000	+0,0000
21	+0,0000	+0,0000	+0,0000
22	+0,0000	+0,0000	+0,0000
23	+0,0000	+0,0000	+0,0000

NE	X1	X2	X3
1	-1,0000	-1,0000	-1,0000
2	+1,0000	-1,0000	-1,0000
3	-1,0000	+1,0000	-1,0000
4	+1,0000	+1,0000	-1,0000
5	-1,0000	-1,0000	+1,0000
6	+1,0000	-1,0000	+1,0000
7	-1,0000	+1,0000	+1,0000
8	+1,0000	+1,0000	+1,0000
9	-1,6818	+0,0000	+0,0000
10	+1,6818	+0,0000	+0,0000
11	+0,0000	-1,6818	+0,0000
12	+0,0000	+1,6818	+0,0000
13	+0,0000	+0,0000	-1,6818
14	+0,0000	+0,0000	+1,6818
15	+0,0000	+0,0000	+0,0000
16	+0,0000	+0,0000	+0,0000
17	+0,0000	+0,0000	+0,0000
18	+0,0000	+0,0000	+0,0000
19	+0,0000	+0,0000	+0,0000
20	+0,0000	+0,0000	+0,0000

Příklad použití optimalizované matice

Pokud je možné měřit objem plynu (výsledek) a experimentátor si přeje určit vliv teploty a tlaku na něj minimalizací počtu provedených zkoušek a ignorováním stavové rovnice , může zvolit dva variabilní design Doehlert. Jeho transformací na reálné proměnné získáme sedm testů, které je třeba provést:

n o	P (atm)	T (° C)
1	1.5	150
2	2	150
3	1,75	193.3
4	1	150
5	1.25	106,7
6	1,75	106,7
7	1.25	193.3

Účinky matice stát, přidá sloupec pro výpočet konstanty: . ${\ mathrm {A}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0,00 & 0,00 \\ 1 & 1,00 & 0,00 \\ 1 & 0,50 & 0,87 \\ 1 & -1,00 & 0,00 \\ 1 & -0,50 & - 0,87 \\ 1 & 0,50 & -0,87 \\ 1 & -0,50 & 0,87 \\\ end {bmatrix}}$

Vzhledem k tomu, systém je přeurčen je transpozice pomocí: . ${\ tilde {{\ mathrm {A}}}} \ cdot {\ mathrm {A}} = {\ begin {bmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ \ end {bmatrix}}$

Je tedy možné provést každou zkoušku a pro každou z nich, experimentátor uvědomil měření objemu: . ${\ mathrm {Y}} = {\ začátek {bmatrix} 0,0234 \\ 0,0175 \\ 0,0221 \\ 0,0351 \\ 0,0252 \\ 0,0180 \\ 0,0310 \\\ konec {bmatrix}}$

Tento systém je řešen: . ${\ vec {b}} = \ left ({\ tilde {{\ mathrm {A}}}} \ cdot {\ mathrm {A}} \ right) ^ {{- 1}} \ cdot \ left ({\ tilde {{\ mathrm {A}}}} \ cdot {\ vec {{\ mathrm {Y}}}} \ right) = {\ begin {bmatrix} +0,02466 \\ - 0,0085 \\ + 0, 00285 \ end {bmatrix}}$

Je možné ověřit, že čím více se teplota zvyšuje, tím více se snižuje objem (na rozdíl od tlaku). Model poskytuje dobrou aproximaci stavové rovnice ve studované oblasti:

pro P = 1,1 atm a T = 150 ° C (tj. X 1 = -0,8 a X 2 = 0,0 u centrovaných redukovaných proměnných) je predikce V = 0,031 m 3 (namísto 0,032 m 3 teoreticky).

Limity a bezpečnostní opatření

Návrh techniky experimentů umožňuje urychlit vývoj za předpokladu, že přijmeme jeho limity a přijmeme obvyklá opatření:

modely jsou nejčastěji lineární, někdy s interakcemi ( X 1 · X 2), zřídka se čtvercovými členy; fyzikální zákony, které jsou základem fyzikálních jevů, nemusí tomu tak být, je žádoucí omezit rozdíl mezi limity pole;
je nutné učinit tichý předpoklad kontinuity; přítomnost přechodu nebo singularity v doméně způsobí, že plán je ze své podstaty nepravdivý;
je žádoucí přidat do domény několik ověřovacích bodů, aby byla zajištěna spolehlivost předpovědí modelu.

S ohledem na tato omezení, díky nimž jsou experimentální návrhy nedokonalé, byly v posledních několika letech vyvinuty metody návrhu digitálních experimentů, které umožňují rychlou identifikaci vlivu velkého počtu parametrů na aproximace použitých digitálních modelů.

V humanitních vědách

Hodnocení Rouanet a Lépine

V průběhu 1960 , vědců, šéf mezi nimi Henry Rouanet (1931 až 2008), se snaží formovat ponětí o experimentálně pomocí „přístup algebraické “, který je připomínající pohyb Bourbaki , které mají známou francouzskou matematiku na konci 30. léta . Vyškoleni v statistiky a analýzy dat , Rouanet, ve spolupráci s psychologem Dominique Lépine a nabízí tak - zvané „ set “ Systém hodnocení umožňuje „zbavit se nejednoznačnosti přirozeného jazyka “ , a který je přímo přeložit do . Jazyka počítače stroj času. Tato teoretická práce tak povede k vývoji softwaru VAR3, který umožní zejména vypočítat statistické testy spojené s experimentálními návrhy a který je v psychologických laboratořích velmi úspěšný.

I když se od té doby běžně vyučuje na francouzských psychologických fakultách kvůli jejímu pedagogickému zájmu , notace Rouanet a Lépine se ve vědeckých publikacích , včetně experimentální psychologie , setkává extrémně zřídka , přičemž k popisu plánu je obecně použit experiment. ". V jiných oborech humanitních věd, kde je experimentální přístup často méně častý, se tato notace více nepoužívá.

Symbolismus

<...> = Vnořeno, tj. Na jednu modalitu je jedna skupina.
* ... = Zkříženo, tj. Pro všechny způsoby existuje pouze jedna skupina.

S = znamená předmět.
S 10 <M 2 > = Znamená, že existuje 20 subjektů (protože 10 subjektů x 2 modality).
S 10 * M 2 = Znamená, že existuje 10 subjektů.

M 2 = M je symbol VI (nezávislá proměnná) a 2 jako dolní index označuje počet modalit.

Monofaktorový plán

Můžeme mít dva typy plánu monofaktorů:

	Metoda 1	Metoda 2
Typ plánu	Vnořené	Přejít
Typ skupiny	Nezávislé skupiny	Odpovídající skupiny
Vzorec	S 10 <M 2 >	S 10 * M 2
Počet údajů	20 dat pro 20 subjektů 10 subjektů pro m1 a 10 pro m2	20 dat pro 10 subjektů, 10 subjektů prošlo m1 a m2
Problém	Je těžké mít dvě skutečně rovnocenné skupiny.	Z jedné činnosti do druhé dochází k rušení.

Vícefaktorový plán

Mluvíme o multifaktorovém plánu založeném na dvou nezávislých proměnných testovaných současně. Můžeme mít tři typy multifaktorového plánu:

	Metoda 1	Metoda 2	Metoda 3
Typ plánu	Plně vnořené	Plný kříž	Smíšené nebo téměř kompletní
Typ skupiny	Jedna skupina subjektů na buňku plánu	Každý předmět splňuje všechny experimentální podmínky.	Máme dvě vnořené skupiny, které splňují všechny podmínky.
Vzorec	S 10 <M 2 > <R 3 >	S 10 * M 2 * R 3	S 10 <M 2 > * R 3
Počet údajů	60 dat pro 60 subjektů	60 údajů pro 10 subjektů	60 údajů pro 20 subjektů
Problém	Je těžké mít skutečně ekvivalentní skupiny a je zapotřebí spousta předmětů.	Může to být pro lidi únavné, účinky jedné podmínky na druhou.	Výhody a nevýhody jednoho nebo druhého typu v závislosti na uvažované proměnné.

Poznámky a odkazy

T. Lundstedt , „ Experimentální návrh a optimalizace “, Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems , sv. 42, n kost 1-2,1998, str. 3-40.
Gilbert Saporta, Pravděpodobnost, analýza dat a statistika , s. 535
Henry Scheffé , „ Experimenty se směsmi, “ Journal of Královské statistické společnosti. Série B (metodická) , Blackwell Publishing, sv. 20, n O 21958, str. 344-360 ( číst online ).
E. Marengo , MC Gennaro a S. Angelino , „ Neuronová síť a experimentální design ke zkoumání vlivu pěti faktorů ve vysokoúčinné kapalinové chromatografii s iontovými interakcemi “, Journal of Chromatography A , sv. 799, č . 1-2,1998, str. 47-55.
[PDF] G. Mozzo, Trundle kvadratický plán , Revue de statistika použity , tome 38, n o 3 (1990), str. 23-34.
Jack PC Kleijnen a J. Banks (editor), Handbook of Simulation: Principles, Methodology, Advances, Applications, and Practice , John Wiley & Sons, Inc.,2007, 864 s. ( ISBN 978-0-471-13403-9 , číst online ) , „Experimental Design for Sensitivity Analysis, Optimization, and Validation of Simulation Models“, str. 173-223.
Gilbert Saporta, Pravděpodobnost, analýza dat a statistiky
Astrid Jourdan, „ Plánování digitálních zážitků “, Revue Modulad ,2005, str. 63-73 ( číst online [PDF] )
Jessica Franco, Plánování numerických experimentů v průzkumné fázi pro simulaci složitých jevů ,21. března 2013( číst online [PDF] )
Patrick Priot, „ Plány experimentů s digitální slévárnou “ , na MetalBlogu ,15. června 2017
„ Pocta Dominique Lépine “, Psychologický rok , roč. 100, n O 22000, str. 377-381 ( číst online )
H. Rouanet a D. Lépine , „ Lineární struktury a analýza srovnání “, Mathematics and Human Sciences , sv. 56,1977, str. 5-46 ( číst online ).

Podívejte se také

Bibliografie

Richard Linder, Experimentální plány, základní nástroj pro experimentátora , Presses de l'École Nationale des Ponts et Chaussées. 320 s. , 2005, ( ISBN 2-85978-402-0 ) .

Jacques Goupy a Lee Creighton, Úvod do plánů zkušeností , Dunod / L'Usine nouvelle, 2006, ( ISBN 2-10-049744-8 )

Pierre Dagnelie, Principy experimentování: plánování experimentů a analýza jejich výsledků , Agronomic Press , Gembloux, 2012, 413 s. , ( ISBN 978-2-87016-117-3 ) a elektronické vydání

Jacques a Philippe Alexis, Průmyslová praxe navrhování experimentů , AFNOR, 1999, ( ISBN 2-12-465038-6 )

Pierre Souvay, návrhy experimentů - metoda Taguchi , A Savoir, AFNOR, 1995, ( ISBN 2-12-475028-3 )

Související články

externí odkazy

„ Kurz designu experimentů “ ( Archiv • Wikiwix • Archive.is • Google • Co dělat? )
[PDF] Příklad návrhu experimentů aplikovaných na proces leptání RIE plazmou pro Si ( kapitola 3 práce A. Martinez-Gil)
„ Online nástroj pro výpočet plánů až šesti proměnných “ ( Archiv • Wikiwix • Archive.is • Google • Co dělat? )
„ IMDR Methodological Sheets (Institute for Risk Management) “ ( Archiv • Wikiwix • Archive.is • Google • Co dělat? ) .