Groupoidní kategorie

V matematice , konkrétněji v teorii kategorií a algebraické topologii , pojem grupoid zobecňuje jak pojmy grupa , vztah ekvivalence na množině , tak působení skupiny na množinu. To bylo původně vyvinuto Heinrichem Brandtem (v) v roce 1927.

Grupoidy se často používají k reprezentaci určitých informací o topologických nebo geometrických objektech, jako jsou rozdělovače .

Definice

Definice ve smyslu kategorií

Grupoid je malý kategorie , ve které kterýkoliv morfismus je izomorfismus .

Algebraická definice

Grupoid G je množina obdařená dvěma operacemi: částečně definovaným zákonem složení a mapou (všude definovanou) , které splňují následující tři podmínky na prvcích f, gah h: $*$ $. ^ {{- 1}}$

kdykoli a jsou definovány současně, pak a jsou také definovány a jsou stejné, označujeme je nebo . Naopak, pokud jsou nebo jsou definovány, je to stejné pro a ; $f * g$ $g * h$ $(f * g) * h$ $f * (g * h)$ $fgh$ $f * g * h$ $(f * g) * h$ $f * (g * h)$ $f * g$ $g * h$
$f ^ {{- 1}} * f$ a jsou vždy definovány (ale možná odlišné); $f * f ^ {{- 1}}$
kdykoli je definováno, pak a . (Tyto výrazy jsou dobře definovány podle předchozích axiomů). $f * g$ $f * g * g ^ {{- 1}} = f$ $f ^ {{- 1}} * f * g = g$

Pak ukážeme, že:

tak tedy . Postačí vytočit vpravo o ; $x * f = u * f$ $x = u$ $f ^ {- 1}$
tak tedy . Postačí vytočit vlevo o ; $f * y = f * v$ $y = v$ $f ^ {- 1}$
$(f ^ {{- 1}}) ^ {{- 1}} = f$ . Opravdu ; $(f ^ {{- 1}}) ^ {{- 1}} = (f ^ {{- 1}}) ^ {{- 1}} * f ^ {{- 1}} * (f ^ {{ -1}}) ^ {{- 1}} = (f ^ {{- 1}}) ^ {{- 1}} * f ^ {{- 1}} * f * f ^ {{- 1}} * (f ^ {{- 1}}) ^ {{- 1}} = (f ^ {{- 1}}) ^ {{- 1}} * f ^ {{- 1}} * f = f$
pokud je definován, totéž platí pro , a . Ve skutečnosti tedy stačí k zajištění existence . Mimochodem, a to stačí zjednodušit vlevo , a . $f * g$ $g ^ {{- 1}} * f ^ {{- 1}}$ $g ^ {{- 1}} * f ^ {{- 1}} = (f * g) ^ {{- 1}}$ $f = f * g * g ^ {{- 1}}$ $f * f ^ {{- 1}} = f * g * g ^ {{- 1}} * f ^ {{- 1}}$ $g ^ {{- 1}} * f ^ {{- 1}}$ $f ^ {{- 1}} * f * g * (f * g) ^ {{- 1}} = f ^ {{- 1}} = f ^ {{- 1}} * f * f ^ {{ -1}} = f ^ {{- 1}} * f * g * g ^ {{- 1}} * f ^ {{- 1}}$ $f ^ {- 1}$ $F$ $G$

Spojení mezi těmito dvěma koncepty

Se grupoidem ve smyslu kategorií můžeme grupoid spojit v algebraickém smyslu (iso) morfismů této kategorie.

Naopak, pokud G je grupoid v algebraickém smyslu, můžeme jej spojit s grupoidem ve smyslu kategorií následovně. Objekty přidružené kategorie jsou, když se liší (všimli jsme si, že tyto prvky kontrolují :) . Množina morfismů x → y, je uvedena , je množina h, která je definována (tato množina může být prázdná). $x = f ^ {{- 1}} * f$ $F$ $x ^ {{- 1}} = x = x ^ {n}$ $G (f ^ {{- 1}} * f, g ^ {{- 1}} * g) = G (x, y)$ $y * h * x$

Příklady

Skupiny jsou grupoidy (s jediným objektem a pro sadu šipek (morfismů) ). $X$ $G (x, x) = G$
Poincaré Grupoid je grupoid.
Jakékoli disjunktní sjednocení skupin je grupoid, jehož množinou objektů je množina indexů. $\ bigsqcup _ {{i \ in I}} G_ {i}$ $Já$
Ze skupinové akce můžeme definovat grupoid nastavením G (x, y) = množina prvků skupiny, které posílají x na y.

Vlastnosti

Samotné ( malé ) grupoidy tvoří kategorii, přičemž morfismy jsou funktory mezi grupoidy. Počáteční grupoid je prázdný grupoid a konečný grupoid je triviální skupina .

Nechť G je grupoid, definujeme vztah ekvivalence, pokud G (x, y) není neprázdné. Definuje známý kvocientový grupoid . definuje funktor ( připojené komponenty ) z kategorie grupoidů do kategorie množin. $x \ equiv {} \, y$ $\ pi _ {0} (G)$ $\ pi_0$

Nechť G je grupoid a předmět G (říkáme také bod G). Zákon složení mezi šipkami omezený na tento podskupinu je zákon skupiny. Zaznamenáváme tuto skupinu. $X$ $G (x, x)$ $\ pi _ {1} (G, x)$

Poznámky a odkazy

(de) H. Brandt , „ Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes “ , Mathematische Annalen , roč. 96,1927, str. 360-366 ( číst online ).

(en) Ronald Brown , topologie a grupoidy , BookSurge,2006, 3 e ed. , 512 s. ( ISBN 978-1-4196-2722-4 )