Kolineárnost

V lineární algebře , dva vektory u a V z vektorového prostoru E jsou kolineární , pokud je skalární k takové, že u = kV nebo V = ku . Libovolné dva vektory vektorové čáry jsou kolineární. Když se týká dvojice vektorů, kolinearita je opakem lineární nezávislosti  : dva vektory u a v jsou kolineární, pokud dvojice ( u , v ) není volná .

Etymologicky, kolineární znamená na stejné linii  : v klasické geometrii jsou dva vektory kolineární, pokud můžeme najít dva zástupce umístěné na stejné linii.

Ko-linearita je důležitým nástrojem v geometrii na středních školách: několik bodů z rovinných nebo prostorových definuje geometrický vektor  ; if and (resp and ) are non-coincident points, the vectors and are collinear if and only if the lines and are parallel. Tato ekvivalence vysvětluje význam kolineárnosti v afinní geometrii . (NA,B){\ displaystyle (A, B)}NAB→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}}}NA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}NA′{\ displaystyle A '}B′{\ displaystyle B '}NAB→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}}}NA′B′→{\ displaystyle {\ overrightarrow {A'B '}}}(NAB){\ displaystyle (AB)}(NA′B′){\ displaystyle (A'B ')}

Příklady

V každém rozměru, pokud u je nula vektor , potom u a v jsou kolineární pro všechny V v E , protože u = 0, V .

Pokud u je nenulový vektor E , množina vektorů kolineární s U je čára K u .

Ve vektorovém prostoru na poli F 2 jsou dva nenulové vektory kolineární právě tehdy, pokud jsou stejné.

Afinní geometrie

V afinní geometrii jsou dva vektory kolineární právě tehdy, když jsou dva zástupci těchto vektorů umístěných na stejné linii, tj. Jsou tam tři body A, B, C zarovnané tak, že

NAB→=u→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}} = {\ vec {u}}} a NAVS→=proti→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AC}} = {\ vec {v}}}

Kollinearita je důležitý pojem v afinní geometrii, protože umožňuje charakterizovat

• Zarovnání  : body A, B a C jsou vyrovnány v případě, a pouze tehdy, pokud vektorů a jsou kolineární.NAB→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}}}NAVS→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AC}}}
• Rovnoběžnost dvou přímek: linie (AB) a (CD) jsou rovnoběžné nebo shodné, jestliže a pouze v případě, vektory a jsou kolineárníNAB→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}}}VSD→{\ displaystyle {\ overrightarrow {CD}}}

Vztah ekvivalence

Na množině nenulových vektorů je vztah kolinearity

• reflexivní  : vektor je kolineární sám se sebou
• symetrický: Pokud je vektor kolineární s vektorem, pak je kolineární su→{\ displaystyle {\ vec {u}}}proti→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}proti→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}
• tranzitivní : Pokud je vektor kolineární s a pokud je kolineární s, pak je kolineární su→{\ displaystyle {\ vec {u}}}proti→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}proti→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}w→{\ displaystyle {\ vec {w}}}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}w→{\ displaystyle {\ vec {w}}}

To nám umožňuje říci, že (na množině nenulových vektorů) je vztah kolinearity vztah ekvivalence, jehož třídy ekvivalence tvoří projektivní prostor spojený s vektorovým prostorem

Výpočet v souřadnicích

Nechť je dva vektory ua a V v rovině R 2 , jehož souřadnice jsou u = ( u 1 , u 2 ), a V = ( V 1 , V 2 ). Pokud jsou obě nenulové se kolinearitě ze dvou vektorů uz a proti výsledkům ve vztahu úměrnosti mezi páry ( u 1 , u 2 ) a ( V 1 , V 2 ). Pravidlo křížového produktu znamená: u a v jsou kolineární právě tehdy, když u 1 v 2 = u 2 v 1 .

Tuto rovnocennost lze zobecnit na vyšší dimenzi. Nechť u a v jsou dva vektory, jejichž souřadnice v pevné základně jsou

u=(u1,...,une){\ displaystyle u = (u_ {1}, \ tečky, u_ {n})} proti=(proti1,...,protine).{\ displaystyle v = (v_ {1}, \ tečky, v_ {n}).}

Pak u a v jsou kolineární právě tehdy, když u i v j = u j v i pro jakýkoli index i a jakýkoli index j > i .

V dimenzi tři jsou dva vektory kolineární právě tehdy, pokud je jejich součin nulový.

Ve fylogenezi

V biologii hovoříme o kolinearitě při studiu genomu organismu a zakládání fylogenetických stromů . Pojem kolinearita svým způsobem odpovídá syntéze , to znamená udržování pořadí genů mezi dvěma genomy.

Podívejte se také